单相正弦交流电路.ppt

1、第二章 单相正弦交流电路,上一章的电信号是直流信号，其大小和方向随时间是不变化的。但由于发电厂生产的电压信号主要是以正弦规律变化的（称为正弦交流电），在需要直流电时，通常也是由正弦交流电经过变换得到的；而且因为它在生产、传输及应用中有其特有的优越性，它是学习其它后续课程如电机、电器及电子技术的理论基础。 由于本章的电信号都是正弦交流电，其大小与方向随时间按正弦规律变化，因此学习本章内容时，要建立起交流的概念，如有效值、相位等概念。本章重点是正弦交流电路的分析与计算，其方法为相量法,2.1正弦交流电的三要素,正弦交流电也称为正弦量，其数值是随时间按正弦规律变化的，它的数学表示方法有三角函数形式及

2、波形图 。三角形式的正弦电压函数式如下,其波形如图2-11所示,由于正弦交流电的大小和方向都随时间变化而变化，而利用电路定律分析电路时，必须知道电压或电流的方向,因此规定,其关系为,当u正半周时，即u 0，正方向与实际极性相同，如图2-1-2中“+”、“-”表示正半周的实际极性,2.1.1周期、频率与角频率 ：表示正弦量变化的快慢,1.周期T ：正弦量变化一次所需的时间，即为正弦量的周期，单位为秒（S），如图2-1-1所示,2.频率f ：正弦量每秒内变化的次数，称为正弦量的频率，其单位为1 / 秒，即赫兹（Hz,一个正弦量可用三个参数来描述它的特征，即周期（频率）、幅值（有效值）及相位（初相位

3、），这三个量称为正弦量的三要素，下面分别介绍这三个量,3.角频率：正弦量每秒内变化的角弧度，称为正弦量的角频率，其单位为弧度/秒（rad/s,注意：在我国生产的正弦交流电的频率为50Hz，称为工频。不同的国家，工频电压的频率也不相同,上面三个量的关系为,例2-1-1 已知正弦电流为 ，试求其周期、频率及角频率,解：由电流的表达式可知，3140rad/s ，则,1.瞬时值： 即是正弦量在每一时刻的值，用小写字母表示，如电压 u 、电流 i 与电动势 e,2.幅值（最大值）：正弦量的最大瞬时值，称为它的幅值，用大写字母与小写字母m做下标来表示，如电压的幅值Um、电流的幅值Im与电动势的幅值Em,2

4、.1.2幅值与有效值：表示正弦量的大小,3.有效值,正弦量的瞬时值和幅值都是表示正弦量的大小。但在实际测量正弦量的大小时，测量仪表测量的不是瞬时值，也不是幅值，而是有效值，因为仪表的刻度是按有效值刻度的。那么有效值是怎么定义的呢,注：正弦量的有效值用大写字母表示，如电压、电流与电动势的有效值用U、I和E表示,设正弦电流为 iImsin（t），则其有效值为,正弦量的有效值是根据电流的热效应定义的，其大小为正弦量的均方根值，若设某正弦量为f（t），则有效值为,解 ：由已知可知314rad/s ，可得,即正弦量电流i 的有效值I是其幅值Im（最大值）的,例2-1-2 已知正弦电压为 ，试求其频率和周

5、期；幅值和有效值；当t1/600秒时的电压瞬时值,同理正弦电压 u 与正弦电动势 e 的有效值 U、E 与最大值Um、Em的关系为,有效值为,当t1/600秒时，电压瞬时值为,幅值为,2.1.3 相位、初相位及相位差,1.相位（相位角）：正弦量的表达式中正弦符号后面的部分。如正弦电压的表达式为,则其相位为（t45o,2. 初相位（初相角）：t0(计时时刻）时的相位（相位角），称为正弦量的初相位，用表示,注：相位决定正弦量在任一时间t的瞬时值，而初相位则决定正弦量在t=0时的初始值。0时正弦量的初始值为正；0时正弦量的初始值为负,如,其初相角为45o,例2-1-3 已知u=12sin(314t-

6、30 0)V,i=3sin(314t+60 0)A。试画出这两个正弦量的波形，并求它们在t=0时的值,解：这两个正弦量的波形图如图2-1-3所示,在t0时,a.当 0，即1 2 ，说明从t=0（计时时刻）开始后，电压 u 比电流 i 的幅值先来到，我们称 u 超前 i，其角度为 ，如图2-1-4所示,3.相位差,对于两个或两个以上同频率的正弦量，它们之间的相位之差或初相位之差称为正弦量的相位差,如设 u=Umsin(t+1) ,i=Imsin(t+2)，则 与 的相位差为,b.当0，即12 ，说明从t=0（计时时刻）开始后，电压 u 比电流 i 的幅值后来到，我们称 u 滞后 i，其角度为 ，

7、如图2-1-5所示,c.当0，即12 ，说明从t=0（计时时刻）开始后，电压 u 与电流 i 的幅值同时来到，我们称 u 与i同相位，如图2-1-6所示,注意：只有同频率的正弦量（两个以上）才可以比较它们的相位，而且在正弦交流电路中，各处的信号不仅有大小的关系，还有相位的不同。比较相位的超前与滞后，可判断电路的性质，故相位差的概念是很重要的,d.当，即12 ，说明从t=0（计时时刻）开始后，电压 u 的正幅值与电流 i 的负幅值同时来到，我们称 u 与i 反相位，如图2-1-7所示,解：三个正弦量的波形图如图2-1-8所示,例2-1-4已知三个正弦量为u=100sin(t 450)V i1=2

8、0sin(t)A ，i2=40sin(t-45 0)A ,试画出它们的波形，求出它们之间的相位差，并比较它们的相位关系,u的初相位为,i1的初相位为,i2的初相位为,u与i2的相位差为,u与i1的相位差为,i1与i2的相位差为,由相位差及波形图可知u 超前i1 ，其角度为1=450 ； u 超前i2 ，其角度为2=900 ; i1 超前i2 ，其角度为3=450,则它们之间的相位差为,2.2 正弦量的相量表示法,一个正弦交流量的三要素可以用波形表示出来，也可以用正弦函数表示出来。 在分析和计算复杂正弦交流电路时，利用画波形图的方法，虽然直观，但繁琐且不精确；利用正弦函数对电路进行分析和计算时，

9、三角函数的变换更令人望而却步。而正弦交流量的三要素也可以用另一种形式表述出来，那就是数学中的复数，在电工学中被称为相量,假如在图2-2-1的虚平面内,OA为一有向线段，其长度为Um，与实轴的夹角即辐角为；它在虚轴上的投影为Uo，即线段AB长度；且此有向线段OA在虚平面内以角速度逆时针方向旋转,1.有向线段,2.2.1有向线段及其复数表示,则在任意时刻此有向线段在虚轴上的投影为,若现有一正弦量u ，其幅值为Um，角速度为，初相位角为，用三角函数表示为uUmsin（t），则有向线段OA就具有正弦量u的三个要素，因此可以用有向线段OA表示正弦量u,根据数学理论，有向线段可以用复数表示，其形式为,代数

10、式,复数的辐角,2.有向线段的复数表示,其中,OB= Umcos,实部,BA= Umsin,虚部,复数的模,指数式,极坐标式,注意：在复数的运算中，加、减法运算可使用复数的代数形式，而乘、除法可使用其指数形式,复数还可以用下面的形式表示，即为,例2-2-1 在虚平面内标出下列有向线段，并变成指数式和极坐标式。 OA2+j2; OB6-j8; OC4-j3,解：虚平面内的各有向线段如图2-2-2所示,2.2.2正弦量的相量表示,由于正弦量可以用复平面的有向线段表示，而有向线段又可以用复数表示，故正弦量也可以用复数表示。为了和数学中的复数相区别，将电工学中表示正弦量的复数称为相量,1.正弦量相量的

11、概念,2.正弦量的相量表示形式,正弦量的相量是用大写字母上面加点表示，如正弦量uUmsin（t）V，其最大值相量的代数式为,由上式可知：正弦量的最大值相量，其模为正弦量幅值Um，辐角为初相位角,为了区别电工中电流的表示i,与有向线段的表示法相同，除了代数形式外，还可以表示成指数式和极坐标式，即,由于在分析和计算正弦交流电路中常用到正弦量的有效值，故我们常常把有效值相量称为正弦量的相量，其模为正弦量的有效值，辐角仍为正弦量的初相角，如上面电压uUmsin（t）V 的相量为,注意：（1）只有正弦交流量才可以用相量来表示；（2）正弦量的相量形式只表示它，而不等于它，即 ；（3）| |应取小于1800

12、,例2-2-2 写出下面正弦量的有效值相量的所有形式,解,例2-2-3 写出下面相量的正弦量的函数形式,解：先将i1的有效值相量转换成指数式,故,若正弦电压u的有效值相量为,则：当A0,B0时，在第一象限；当A0时，在第二象限；当A0,B0时，在第四象限,注意：由相量的代数式化为指数式时其初相角所在的象限,2.2.3相量图,在同一虚平面内，对于同频率正弦量，将它们相量的初始位置以有向线段的形式画出来，这样的图称为相量图。各相量与实轴的夹角为初相角，其长度为相量的模,注意：（1）只有同频率的正弦量才可以画在同一相量图上；（2）在相量图上，不仅可以比较同频率正弦量的大小关系，还可以比较它们的相位。

13、按逆时针方向，在前面的相量，其相位超前（但1800,解：相量图如图2-2-3所示,例2-2-4 画出下列相量的相量图,2.2.4 虚数单位 j 的意义旋转90o算子,由于,设有一相量,则此相量与j 相乘时，有,由上式可以看出，当一个相量乘以j 后，产生的新相量的模与原相量相同，但辐角却逆时针或顺时针旋转了900，如图所示,与数学的虚数单位相同。在数学中虚数单位用 i 表示，这与电工学中表示电流的符号 i 相冲突，故在电工中用 j 表示,若+j乘以+j，则相当于虚轴逆时针旋转了900，为实轴的反方向，即,在计算正弦交流电路时，利用三角函数计算很繁琐；用正弦波形虽可以将几个正弦量的相互关系在图形上

14、清晰表示出来，但作图不方便，且结果不准确。而相量运算是将三角函数运算变成代数运算，并同时求出正弦量的大小和相位，是分析正弦交流电路的主要运算方法。另外相量图也是分析正弦电路的辅助方法,表示正弦量有三种方法：三角函数式，波形图和相量形式,例2-2-5已知两正弦电流， 试用三种方法计算,解：1. 三角函数式,3.相量计算,故,2.作波形图：如图2-2-4所示,故,4.作相量图：如图2-2-5所示，由图可得,2.3 单一元件的正弦交流电路,在正弦交流电路中，不仅有电阻元件，还有电感元件和电容元件，其两端的电压与电流不仅有大小的关系，还有相位的关系，除此之外，还有功率问题。因此在讨论复杂的正弦交流电路

15、之前，先讨论单一元件的正弦交流电路,2.3.1纯电阻元件的正弦交流电路,1.有效值的关系,一、 电压与电流的关系,对于线性电阻元件，若在其两端加一正弦交流电压uR ，如图2-3-1中,则会产生电流 iR 。设电流 ，为参考正弦量，即,由欧姆定律得,则,或,以上说明电阻两端的电压与电流为同频率的正弦量，电阻两端电压有效值与电流有效值之比等于电阻R，且电压的初相角Ru0,从上面的分析可以看出，电阻元件两端的电压与电流之间的相位差为零，即,说明纯电阻两端的电压与电流同相位，其相量图如图2-3-2所示,3.相量形式,将电压与电流写成相量形式，即,则,或者,2.相位关系,二、功率,说明电阻两端电压相量与

16、电流相量符合欧姆定律，即为欧姆定律的相量式 ，如图2-3-3所示,a.瞬时功率pR 等于电压瞬时值与电流瞬时值的乘积 ,即,由上式可以看出，瞬时功率是以2角频率变化的，而且由于 ,故瞬时功率pR0，即电阻为取用电能的元件,图2-3-4为电阻两端电压、电流及瞬时功率的波形图,b.平均功率PR（有功功率,瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率或有功功率。即,注：功率的单位为瓦特（W）、千瓦特（KW）等。上式与直流电路电阻元件功率的计算公式相同，但注意这里电压UR和电流IR不是直流值，而是交流电压与电流的有效值,一、电压与电流之间的关系,1.瞬时值的关系,在图2-3-5中，若忽略线圈的电阻，则L

17、为不带铁芯的纯电感线圈,2.3.2纯电感元件的正弦交流电路,若加正弦电压，即,则会产生同频率的正弦电流 iL,由电磁感应定律可知，交变的电流产生交变的磁通；而交变的磁通又产生感应电动势，且由电磁感应定律可知，感应电动势与磁通的关系为,其中负号说明感应电动势的变化与磁链N的变化相反,或,注：电感的单位为亨利（H）或毫亨利（mH,对于无铁芯的电感线圈元件，其磁链与电流成正比，其系数即为电感参数L，简称为电感，即,将 代入 得,对于图2-3-5 ，根据kVL定律可得,则,这就是正弦交流电路中纯电感元件两端的电压瞬时值和电流瞬时值的关系，即电感元件两端的电压与电流的变化量成正比,设电流 iL为参考正弦

18、量，即,2.有效值的关系,其初相角为Li0,则可得电感两端的电压为,其中,或,电感两端的电压与电流为同频率的正弦量，其初相角Lu 900，电感元件两端电压有效值与电流有效值之比等于感抗XL。其中XLL2f L ，其单位也是欧姆（ ），其大小与频率有关。当f 0 即为直流时，XL0，电感元件相当于短路；当f 增加时，XL 也随之增大,由上面分析可以看出,从上面可以得出，电感元件两端的电压与电流之间的相位差为900，且电压超前电流900角，即,其相量图如图2-3-6所示,3.相位关系,3. 相量形式,注：电工学中规定：若电压超前电流，相位差 0 ；若电压滞后电流，相位差 0, 说明电压超前电流90

19、 0,用相量的形式表示电感元件两端的电压与电流，即,则,或者,此式也可以称为电感元件的欧姆定律相量式，只是用jXL代替电阻R。其电路如图2-3-7所示,二、功率,a. 瞬时功率 pL,由上式可以看出，电感元件的瞬时功率是一个角频率为2的正弦量,从图中可以看出，在电流的第一个1/4周期内，由于PL0，故电感相当于负载元件，取用电能，即将电能转化成磁能存储在电感元件中。而在电流的第二个 1/4 周期内，由于 PL 0 ，故相当于电源元件，发出电能，即将存储的磁能转化为电能释放出来,如图2-3-8为纯电感元件的电压、电流与瞬时功率的波形,b.平均功率PL（有功功率）,上式说明纯电感元件是不消耗电能的

20、,虽然电感元件不消耗电能，但却与电源有能量交换的过程，此过程的大小规模用瞬时功率的幅值来度量，称为储能元件的无功功率，即,其单位为乏（Var）或千乏（Kvar,c.无功功率QL,解：对于电阻电路，其电流与电压同频率且同相位，其最大值的关系为,例2-3-1 交流电压u311sin（314t60o） ，作用在20的电阻上，试写出电流的瞬时值函数式、相量，画出相量图，并求其平均功率,故电流的瞬时值函数式为,电流相量为,其平均功率为,其相量图如图2-3-9所示,例2-3-2 在纯电感元件的正弦交流电路中，L100mH， f 为工频，（1)已知 ，求电压u；（2)已知 ，求电流 ，并画出相量图,解：（1

21、)感抗XL为,电压有效值为,2) 由已知可得,其相量图如图2-3-10所示,对于纯电感电路，电压超前电流900角，故,2.3.4 纯电容元件的正弦交流电路,一、电压与电流之间的关系,1. 瞬时值的关系,若uC 为正弦交流电压，则电容器极板上的电荷是变化的。而电流则是电荷的变化率，即,如图2-3-11为纯电容元件的正弦交流电路,上式代入到,其中C的单位为法拉（F），微法（F）及皮法（pF,由于纯电容元件极板上的电荷与两端电压成正比，其系数为电容器参数C，即,得,1F10 6 F 10 12 pF,2.有效值的关系,上式即为电容器两端电压与电流的瞬时值的关系,即电容器中的电流是和电压的变化率成正比

22、的,注意：以上元件无论是电阻元件、电感元件还是电容元件，其两端的电压与电流的正方向都取关联方向,设电容元件两端电压为参考正弦量，即 也就是电压的初相角 ，则,或,由上式可知：（1)电容元件的电流与两端电压为同频率的正弦量，初相角为C i90 o ；（2)电容元件两端的电压与电流有效值之比等于容抗,其中,其中容抗Xc为,其单位为欧姆（），表示电容元件对正弦交变电流的阻碍作用。当为直流时，即f0，电容相当于开路；当频率增加时，容抗减小,在相位上，电容元件两端电压与电流的相位差为,说明电压滞后电流900角，其相量图如图2-3-12所示,3.相位关系,若电流为,则电压为,4.相量形式,那么电压相量和电

23、流相量的比为,或者,1. 瞬时功率pC,若已知电流iC为参考正弦量，即,二、功率,上式也可以称为电容元件的欧姆定律相量式，只是用jXc代替电阻R。其电路如图2-3-13所示,则电压uC为,故瞬时功率为,由上式可以看出，电容元件的瞬时功率也是一个角频率为2的正弦量，如图2-3-14为电容元件的电压、电流与瞬时功率的波形,从图中可以看出,在电流的第一个1/4周期内，由于pC0 ，故相当于负载元件，取用电能，即将电能转化为电场能存储在电容元件中,2.平均功率PC（有功功率,上式说明纯电容元件也是不消耗电能的,虽然电容元件不消耗电能，但也与电源有能量交换的过程，此过程的规模用瞬时功率的幅值来度量，但与

24、电感元件的能量交换过程相反，故规定电容元件的无功功率为负值，即,其单位为乏（Var）或千乏（Kvar,3. 无功功率QC,例2-3-3 把一个25F的电容接到频率为50Hz，电压的有效值为10V的正弦电源上，问电流是多少？如果保持电压值不变，而电源频率改为5000Hz，这时电流将为多少,解：当f = 50Hz时,当f = 5000Hz时,由此可见，当电压有效值一定时，频率越高，则通过电容元件的电流有效值越大,解：（1)由已知可得,例2-3-4 对于纯电容元件的正弦交流电路中，电容C4F，f = 50Hz,(1)已知 ，求电流 i ;（2)已知 ，求电压 u ，并画出相量图,则电流i 为,其相量

25、图如图2-3-15所示,2）已知电流,则,2.4 RLC串联的正弦交流电路的分析与计算,纯电感元件只是忽略了线圈的电阻R；纯电容元件只是认为其电阻R无穷大,上节讨论了单一元件的正弦交流电路，是理想化的模型。但在实际中，电感元件、电容元件的实际电路如图2-4-1所示,在这一节中，讨论电阻元件、电感元件与电容元件三者串联的正弦交流电路，分析其电压与电流的关系及功率等,2.4.1 电压与电流的关系,1. 瞬时值的关系,如图2-4-2中为RLC串联电路,两端加一正弦电压u，则产生正弦电流 i 。由于各元件通过的电流相同，故取电流 i 作为参考正弦量，i0 o，即,由基尔霍夫电压定律（KVL）可得,则各

26、元件的瞬时电压为,则,即同频率的正弦量相加， 其结果仍为同频率的正弦量,2. 相量图,若i为参考正弦量，即初相角i 0o 。由上节内容可知，电阻两端电压与电流同相位，电感两端电压超前电流90o角，电容两端电压滞后电流90o角。其相量图如2-4-3所示,从上面可知u与i的频率相同，它们的相位差为,3. 有效值的关系,由图2-4-3相量图可得,注意,而,则,即,R为电阻，XXLXC称为电抗。上式说明RLC串联电路两端电压有效值U与电流有效值I之比等于电路的阻抗 ，即,其中,称为RLC串联电路的阻抗，与电阻的单位相同，也是欧姆（,由图2-4-3相量图可得,由上式可知，电压与电流之间的相位差是由电路的

27、参数决定的,4. 相位关系,当X0即XLXC时 ，电压超前电流 角，如图2-4-4所示，电路为电感性质,当X0即XLXC时 ，电压滞后电流 角，如图2-4-5所示，电路为电容性质,这是一种特殊情况，由于发生在RLC串联电路，故被称之为串联谐振。此时 ，且因为相位相反，故互相抵消，,当X0即XLXC时,0 ，电压与电流同相位，如图2-4-6所示，电路为电阻性质,由于电流 i为参考正弦量，即其相量为,且它们为同频率的正弦量，故可写成,5. 相量形式,而,即,也就是说RLC串联电路两端电压与电流的相量之比等于Z,图2-4-7为相量表示的RLC串联电路。其中,Z称为RLC串联电路的复数阻抗，单位为欧姆

28、（），是一个纯复数，而不是相量，故不能写成,辐角为,是电路的阻抗，它等于电路两端电压与电流有效值之比,它确定了电路两端电压与电流的相位之差，也确定了电路的性质,复数阻抗Z的模为,总结,0，说明电压超前电流角，电路为电感性质； 0，说明电压滞后电流角，电路为电容性质； 0，说明电压与电流同相位，电路为电阻性质,例2-4-1 在RLC串联电路中，试计算下列各题，并说明电路的性质,解,由于Z的辐角45o0，故电压超前电流，是感性电路,则：R10，X0,由于Z的辐角为 0，故此电路为阻性电路,则：R0，X20,由于Z的辐角为 -90o0,故此电路为容性电路,例2-4-2 如图2-4-8交流两端网络，已

29、知 ， ，试写出电压与电流的相量，并求其阻抗、复数阻抗，判断电路的性质,解：电压与电流的相量为,由于复数阻抗Z的辐角为150o 0，故电路为感性,复数阻抗为,2.4.2功率,阻抗为,1. 瞬时功率,即瞬时功率是以2角频率变化的正弦量,由于电感元件与电容元件不耗能，故电路的有功功率就是电阻所消耗的功率，即,由上式可知，若电路中有几个电阻元件，不管储能元件有多少，电路所消耗的有功功率即为所有电阻所消耗的功率之和，即,2.有功功率,由图2-4-3的相量图可得,则,即电路的有功功率也是电路所消耗的功率，它等于电路两端电压与电流的有效值乘积再乘以cos，我们将cos 称为电路的功率因数,故cos 是由电

30、路的参数决定的，其值越小（ 越大），电路所得到的有功功率越少，因此要尽量减小 ，提高电路的功率因数，一般要求在0.9以上,3.无功功率,由于电路有储能元件的存在，故电路与电源有能量交换，其交换的规模仍用无功功率表示,由于电压与电流的相位差 为,由于电感电压与电容电压相位相反，在通入同一电流时，其瞬时功率也是反相的，如图2-4-9所示,故当电感元件取用功率时，电容元件释放功率。因此RLC串联电路总的无功功率等于电感的无功功率与电容的无功功率之和（实际为差值），即,由图2-4-3的相量图可知,4视在功率,将RLC电路两端电压u与电流i的有效值的乘积，称为视在功率，即,其单位为伏安（VA），或千伏安

31、（KVA），由于不是电路实际消耗的功率，故不用功率的单位瓦特。视在功率一般表示某些电源设备的额定容量，说明该电源可能提供的最大功率,由于,故,讨论,a. 三个三角形：电压、阻抗和功率,1.电压：如图2-4-9，可得,2.阻抗：如图2-4-10，可得,3.功率：如图2-4-11，可得,由PUI cos 可得,由上式可知，电源输出的功率与功率因数有关；另外当电源有功功率和电压一定时，电路电流是和电路的功率因数成反比的。所以功率因数的提高，有利于发电设备容量的充分利用，有利于电路功率损耗的减少,b. 功率因数cos的提高,功率因数低的原因是由于感性负载的存在（如电动机等）。按照供电规则，高压供电的工

32、业企业的平均功率因数不低于0.95,其它单位不低于0.9,提高功率因数的常用方法是在感性负载两端并联电容器（设置在用户端或变电所中,其相量图如图2-4-13所示,对于图2-4-12所示的电感线圈，有,现在为了提高功率因数，在电感线圈两端并联一电容器，如图2-4-14所示,但由于电容元件不消耗有功功率，故并联电容后电路的有功功率不变，为,其相量图如图2-4-15所示。由图可知，并联后功率因数角2 1,减小了，即电路的功率因数提高了,可见，并联电容后无功功率减小了,电路的无功功率为,电容值选取的大小决定补偿后的功率因数。对于图2-4-16,过补偿,谐振,对于（c）图，由于补偿前后有功功率不变，即,

33、由于,其中：为电源电压角频率；U为电源电压有效值；P为电路的有功功率，其值在并联补偿电容器前、后不变。1为补偿前感性负载的功率因数角，2为补偿后电路的功率因数角,由此可知，若有功功率与电压不变，则 cos 越高，电流越小，故并联电容器后，电路的电流比并联前变小了,故,解： 当闭合并入电容后,例2-4-3 在图2-4-17所示电路中，电源电压u为工频正弦电压。在S未闭合前，电压表的读数为220V，两个电流表A与A1的读数均为10A，功率表的读数为900W。今维持电源电压不变， 试问S闭合并入电容C100F后，各电表的读数应如何变化？试求此时它们的读数； 计算并联电容前后电路的功率因数,由于电源电

34、压不变，且电容元件不消耗有功功率，故线圈的电流、电路的功率都不变，即电压表的读数仍为220V，电流表A1的读数仍为10A，功率表的读数仍为900W,由有功功率公式可知,而电路总的电流减少，即电流表A的读数下降,则并联电容之前电路的功率因数为,功率因数角为,并入电容后其电路如图2-4-18所示，电容支路的电流为,电路的相量图如图2-4-19所示,由电路相量可得,并联电容后电流表A的读数为4.65A,并联电容后，有功功率、电路两端的电压均不变，则由有功功率的公式可得,并联电容前电路的功率因数为,2.4.3复数阻抗串联的正弦交流电路,在实际工程中，电路可以是多个复数阻抗的串联，图2-4-20为两个复

35、数阻抗串联的电路。其中Z1和Z2可以是电阻，或是电感元件和电容元件，也可以是RLC串联,由于,则,即,其中Z为两个复数阻抗串联的等效复数阻抗，它等于两个串联复数阻抗之和,注意：等效阻抗之和不等于两个串联阻抗之和，即,由上面的式子可得,上面两式与电阻的分压公式相同，但在这里电压与电流用相量表示，电阻用复数阻抗表示,解： 用户取用的电流为,例2-4-4 某用户负载ZL的等值电阻为RL10，感抗XL10.2 ，额定电压UN为220V。配电所到用户的输电线电阻r0=0.5 ，感抗 XL01 ，电路如图2-4-21所示。试问：在保证用户电压为额定值时，配电所电源电压US应为多少？线路损失功率P1等于多少

36、？若用户拟将功率因数cos2提高到0.98,应并联多大电容器？配电所电源电压应为多少？线路损失功率P2为多少？并联电容后用户一年为配电所节约电能多少度？（以每年365天，每天用电8小时计算）用户用电量有无变化,本题化工、纺织不讲,电源电压为,提高后的功率因数角为,用户消耗的功率为,用户没并联电容前的功率因数为,功率因数角为,则应并联的电容为,此时线路总的电流为,设用户电压为,则,则此时配电所的电源电压为,即,此时线路的功率损耗为,并联电容后线路减少的功率损耗为,每年为配电所节约电能为,由于用户额定电压、电流和功率均不变，故用户的用电量无任何变化,2.5 RLC并联的正弦交流电路的分析与计算,根

37、据上一节的内容，在RLC串联的正弦交流电路中，由于各元件通入同一电流，故取电流作为参考相量；而在RLC并联的正弦交流电路中，各元件两端加同一电压，故取电压作为参考相量,2.5.1 电压与电流的关系,如图2-5-1所示为RLC并联的交流电路，设电压作为参考相量，即,则总的电流为,则各支路电流为,则,当,其相量图如图2-5-2所示,IL IC,电压超前电流为感性电路,其相量图如图2-5-3所示,IL IC,电压滞后电流为容性电路,当,其相量图如图2-5-4所示,IL IC,电压与电流同相位为阻性电路,当,电路发生谐振。由于是在RLC并联电路，故称为并联谐振,2.5.2 功率,在RLC并联电路中，其

38、功率的计算公式与RLC串联电路是一样的，即有功功率、无功功率、视在功率为,2.5.3复数阻抗的并联,在实际工程中，电路可以是多个复数阻抗的并联，如图2-5-5为两个复数阻抗并联的电路,而,则,即可写成,由图2-5-5和基尔霍夫电流定律（KCL）得,其中,或写成,即两个复数阻抗的并联，其等效复数阻抗的倒数等于两个并联复数阻抗倒数之和,注：这两个式子与电阻的分流公式相似，但这里电压与电流用相量表示，电路参数用复数阻抗表示,而且有,解,例2-5-1 求图2-5-6所示电路的复数阻抗Zab，已知104rad/s,则,例2-5-2 如图2-5-7所示电路中，已知 ，求 ，电路的有功功率P、无功功率Q和视在功率S,解：画出电路的相量图，如图2-5-8所示,故,按教材P51顶的方法讲,故电流IC和IR为,由于,由相量图得,再由相量图得,故,相量为,则,电压的初相角为,则总电压和电流的相位差为,63.4o - 45o18.4o,故电路的功率为,解：设电容两端电压为参考相量，则相量图如图2-5-12所示，由相量图得,例2-5-4 如图2-5-11所示电路，已知U100V， I1I2 =10A，u 与i同相，试求：I、XC、R及XL,2-6 复杂的正弦交流电路的分析与计算,在复杂的正弦交流电路中，电路的结构是多种多样的，元件也不是单一的。但电路的基