高数下十一章重点总结+例题_0

1、高数下十一章重点总结+例题 高等数学教案 曲线积分与曲面积分 第十一章 曲线积分与曲面积分 【教学目标与要求】 1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2.掌握计算两类曲线积分的方法。 3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。 4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 5.知道散度与旋度的概念，并会计算。 6.会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 【教学重点】 1.两类曲线积分的计算方法； 2.格林公式及其应用； 3.两

2、类曲面积分的计算方法； 4.高斯公式、斯托克斯公式； 5.两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 【教学难点】 1.两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； 2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 4.应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 5.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 6.两类曲线积分的计算方法，两类曲线积分的关系； 7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 8.两类曲面积分的计算方法及两类曲面积分的关系； 9.高斯公式、斯托克斯公式，应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 10.两类曲线积分与两类曲面积分的应用； 11.应用斯托克

3、斯公式计算对坐标的曲线积分。 【教学课时分配】 (14学时) 第1 次课 第2 次课 2 第3 次课 3 第4 次课 4 第5次课 5 第6次课 6 第7次课 习题课 【参考书】 1同济大学数学系.高等数学（下），第五版.高等教育出版社. 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 曲线积分与曲面积分 2 同济大学数学系.高等数学学习辅导与习题选解，第六版.高等教育出版社. 3 同济大学数学系.高等数学习题全解指南（下），第六版.高等教育出版社 11.1 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量? 设一曲线形构件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧l上? 已知曲线形构

4、件在点(x? y)处的线密度为?(x? y)? 求曲线形构件的质量? 把曲线分成n小段? ?s1? ?s2? ? ? ? ?sn(?si也表示弧长)? 任取(?i ? ?i)?si? 得第i小段质量的近似值?(?i ? ?i)?si? 整个物质曲线的质量近似为m?(?i,?i)?si? i?1n 令?max?s1? ?s2? ? ? ? ?sn?0? 则整个物质曲线的质量为 m?lim?(?i,?i)?si? ?0i?1n 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到? 定义 设函数f(x? y)定义在可求长度的曲线l上? 并且有界?，将l任意分成n个弧段? ?s1? ?s2? ? ? ? ?sn?

5、并用?si表示第i段的弧长? 在每一弧段?si上任取一点(?i? ?i)? 作和 ?f(?i,?i)?si? 令?max?s1? ?s2? ? ? ? ?sn? 如果当?0时? 这和的极限总存在? 则称此 i?1n极限为函数f(x? y)在曲线弧l上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分? 记作 ?lf(x,y)ds? 即 n lim?f(?i,?i)?si? ?lf(x,y)ds?0i?1其中f(x? y)叫做被积函数? l 叫做积分弧段? 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 曲线积分与曲面积分 曲线积分的存在性? 当f(x? y)在光滑曲线弧l上连续时? 对弧长的曲线积分 ?lf(x,y

6、)ds是存在的? 以后我们总假定f(x? y)在l上是连续的? 根据对弧长的曲线积分的定义?曲线形构件的质量就是曲线积分中?(x? y)为线密度? 对弧长的曲线积分的推广? ?l?(x,y)ds的值? 其 lim?f(?i,?i,?i)?si? ?f(x,y,z)ds?0i?1n 如果l(或?)是分段光滑的? 则规定函数在l(或?)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和? 例如设l可分成两段光滑曲线弧l1及l2? 则规定 ?l?l12f(x,y)ds?f(x,y)ds?f(x,y)ds? l1l2 闭曲线积分? 如果l是闭曲线? 那么函数f(x? y)在闭曲线l上对弧长的曲线积分记作

7、 ?lf(x,y)ds? 对弧长的曲线积分的性质? 性质1 设c1、c2为常数? 则 ?lc1f(x,y)?c2g(x,y)ds?c1?lf(x,y)ds?c2?lg(x,y)ds? 性质2 若积分弧段l可分成两段光滑曲线弧l1和l2? 则 ?lf(x,y)ds?lf(x,y)ds?l1f(x,y)ds? 2 性质3设在l上f(x? y)?g(x? y)? 则 特别地? 有 |?lf(x,y)ds?lg(x,y)ds? ?lf(x,y)ds|?l|f(x,y)|ds 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义? 如果曲线形构件l的线密度为f(x? y)? 则曲线形构件l的质量为

8、?lf(x,y)ds? x?(t)? y? (t) (?t?)? 三峡大学高等数学课程建设组 另一方面? 若曲线l的参数方程为 高等数学教案 曲线积分与曲面积分 则质量元素为 f(x,y)ds?f?(t), ?(t)曲线的质量为 即 ?2(t)?2(t)dt? ?f?(t), ?(t)?2(t)?2(t)dt? f(x,y)ds?f?(t), ?(t)?2(t)?2(t)dt? ?l 定理 设f(x? y)在曲线弧l上有定义且连续? l的参数方程为 x?(t)? y?(t) (?t?)? 其中?(t)、?(t)在? ?上具有一阶连续导数? 且?2(t)?2(t)?0? 则曲线积分在? 且 应注

9、意的问题? 定积分的下限?一定要小于上限? 讨论? (1)若曲线l的方程为y?(x)(a?x?b)? 则提示? l的参数方程为x?x? y?(x)(a?x?b)? ?lf(x,y)ds存 ?lf(x,y)ds?f?(t),?(t)?2(t)?2(t)dt(?lf(x,y)ds? ?lf(x,y)ds?fx,?(x)1?2(x)dx? ab (2)若曲线l的方程为x?(y)(c?y?d)? 则提示? l的参数方程为x?(y)? y?y(c?y?d)? ?lf(x,y)ds? ?lf(x,y)ds?f?(y),y?2(y)?1dy? cd (3)若曲?的方程为x?(t)? y?(t)? z?(t)

10、(?t?)? 则 ?f(x,y,z)ds? 提示? ?f(x,y,z)ds?f?(t),?(t),?(t)?2(t)?2(t)?2(t)dt? ? 例1 计算 ?lyds? 其中l是抛物线y?x2上点o(0? 0)与点b(1? 1)之间的一段弧? 解 曲线的方程为y?x2 (0?x?1)? 因此 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 曲线积分与曲面积分 11yds?x21?(x2)?2dx?x1?4x2dx?1(55?1)? 0012 ?l 例2 计算半径为r、中心角为2?的圆弧l对于它的对称轴的转动惯量i(设线密度为 ?1)? 解 取坐标系如图所示? 则i?ly2ds? 曲线l的参数方程

11、为 x?rcos? y?rsin? (? ?r3?sin2?d?r(?sin? cos?)? 3 ? 例3 计算曲线积分 ?(x2?y2?z2)ds? 其中?为螺旋线x?acost、y?asint、z?kt上相应 于t从0到达2?的一段弧? 解 在曲线?上有x2?y2?z2?(a cos t)2?(a sin t)2?(k t)2?a2?k 2t 2? 并且 ds?(?asint)2?(acost)2?k2dt?a2?k2dt? 于是 ?(x2?y2?z2)ds?(a2?k2t2)a2?k2dt 02? ? 2?a2?k2(3a2?4?2k2)? 3小结 用曲线积分解决问题的步骤? (1)建立曲线积分? (2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) ? 确定参数的变