2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练

1、【解析】(1)因为f(x)|x1|x2|1,1x2,2x-3,x2.(2)因为f(x)1,1x2,所以f(x)min1.2x-3,x2.2020年高考理科数学不等式选讲题型归纳与训练【题型归纳】题型一解绝对值不等式例1、设函数f(x)|x1|x2|.(1)解不等式f(x)3；(2)若f(x)a对xr恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）(，0)(3，)；（2）(，1).3-2x,x1,所以当x1时，32x3，解得x0；当1x2时，f(x)3无解；当x2时，2x33，解得x3.所以不等式f(x)3的解集为(，0)(3，).3-2x,x1,因为f(x)a恒成立，【易错点】如何恰当的去掉绝对值符

2、号.【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值题型二利用绝对值的几何意义或图象解不等式例2、1(1)若不等式|x1|x2|a22a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是【答案】(1)117117.a2a23，解得a.即实数a的取值范围是117，117._44【解析】(1)|x1|x2|(x1)(x2)|3，111711724444【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等

3、式的恒成立问题，可1转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)a恒成立acd，则abcd；(2)abcd是|ab|cd得(ab)2(cd)2.因此abcd.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得abcd.若abcd，则(ab)2(cd)2，即ab2abcd2cd.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd是|ab|cd|的充要条件【易错点】不等式的恒等变形.【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之

4、间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆【巩固训练】题型一解绝对值不等式1.不等式|x1|x2|5的解集为_【答案】x|x3或x2.x1，【解析】原不等式等价于（x1）（x2）52x1，或（x1）（x2）5x2，或（x1）（x2）5，解得x2或x3.故原不等式的解集为x|x3或x22.已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围【答案】（1）x|x1或x4；（2）3,02x5，x2，【解析】(1)当a3时，f(x)1，2x3，2x5，x3.当x2时，由f(x)3得2x5

5、3，解得x1；当2x1的解集13【解析】如图所示：(1，3)(5，+).4-x,x3x-4,x-1f=3x-2,-1x232-1x或1x1解得x5或x3，x5综上，x或1x5，f(x)1解集为-,(1,3)(5,+)f(x)1,当x1，x-41,解得x5或x3，x-1（2）当-1x1,解得x1或xk的解集为r，则实数k的取值范围是_【答案】(，3)【解析】解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，1,2在数轴上对应的点分别为p，a，b，则原不等式等价于papbk恒成立ab3，即|x1|x2|3.故当k3时，原不等式恒成立解法二：令y|x1|x2|，3，x1，则y2x1，1xk恒成立，从图象中可以看

6、出，只要k3即可故k3满足题意题型三不等式的证明与应用1.已知a、b、cr，且abc1；求证：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c).【答案】略.【解析】证明：因为a、b、cr，且abc1，所以要证原不等式成立，即证(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是证(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab).因为(ab)(bc)2(ab)(bc)0，(bc)(ca)2(bc)(ca)0，(ca)(ab)2(ca)(ab)0，三式相乘得式成立，故原不等式得证.2.设a、b、c、d均为正数，且abcd，证明：(1)若ab

7、cd，则abcd；(2)abcd是|ab|cd|的充要条件【答案】略.【解析】证明(1)因为(ab)2ab2ab，(cd)2cd2cd，由题设abcd，abcd得(ab)2(cd)2.因此abcd.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)得abcd.若abcd，则(ab)2(cd)2，即ab2abcd2cd.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.5(1)abbcac；(2)1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.因此|ab|cd|.综上，abcd是|ab|cd|的充要条件3.设a、b、c均为正数，且abc1.证明：13a2b2c2bca【答案】略