2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)

1、-2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 + 答案 +解析 )2013 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第 卷（选择题） 和第 卷（非选择题） 两部分， 共 6 页考试时间120 分钟满分 150 分答题前， 考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第 卷答题卡和第 卷答题纸规定的位置参考公式：样本数据xn 的标准差x1 , x2 ,( x1 x) 2(x2x) 2( xn x) 2sn其中 x 为样本平均数球的面积公式S4 R 2第卷（选择题共 60 分）注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干

2、净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上2第 卷只有选择题一道大题一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 复数 1 2i （ i 是虚数单位）的虚部是1i3B1D 1A C 32222. 已知 R 是实数集， Mx1 , N y yx 1 1 ，则 N C RMxA (1,2)B 0,2C.D 1,23. 现有 10 个数，其平均数是4 ，且这 10 个数的平方和是200 ，那么这个数组的标准差是A1B2C3D4S4.设 Sn 为等比数列 a n 的前 n 项和， 8a2a5 0则 4，S2A 5B 85.已知函数 f (

3、x)sin(2x)6的值是C8D15，若存在 a(0, ) ，使得f (xa)f (xa) 恒成立，则 a-1-/11-2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 + 答案 +解析 )A B CD 63426. 已知 m、 n 表示直线，, 表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（ 1）m,n, nm, 则（ 2）,m,n,则 n m（ 3） m, m, 则（ 4） m, n, mn,则A（ 1）、（ 2）B（3）、（4）C（ 2）、（ 3）D（ 2）、（ 4）O, A, B, C ，若 OA 3OB2OC, 则|AB|7. 已知平面上不共线的四点等于|BC |A 1B 2C 3D 48. 已

4、知三角形ABC 的三边长成公差为3，则这个三2 的等差数列，且最大角的正弦值为2角形的周长是A 18B 21C 24D 159. 函数 f ( x)1lg x的零点所在的区间是xA 0,1B 1,10C 10,100D (100, )10. 过直线yx 上一点 P 引圆 x2y26x 70 的切线，则切线长的最小值为2B3210D 2AC22211. 已知函数 f ( x)x 2ax2b. 若 a,b 都是区间 0,4内的数，则使f (1)0 成立的概率是3B135ACD448812. 已知双曲线的标准方程为x 2y 2设 P91 ，F 为其右焦点， A1 , A2是实轴的两端点，为16双曲线

5、上不同于A1,A2的任意一点， 直线 A1 P, A 2P 与直线 xa 分别交于两点M,N ,若FM FN0 , 则 a 的值为1692516A B CD9595-2-/11-2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 + 答案 +解析 )第卷 （非选择题共90分）注意事项：1 请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第卷答题纸的指定位置书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案2 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效在试题卷上答题无效3 第卷共包括填空题和解答题两道大题二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分开始13.如图所示的程序框图输出的结

6、果为_.a 2, i 1否14.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_.i10是1a1输出 a1a11第 14题图ii1结束第13题图215. 地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R(lg E 11.4)2011 年 3 月 11日，日3本东海岸发生了9.0 级特大地震，2008 年中国汶川的地震级别为8.0 级，那么 2011年地震的能量是2008年地震能量的倍16. 给出下列命题：已知都是正数，且a ,b , maa1 ，则 a b ；b1b已知f ( x) 是 f ( x) 的导函数，若xR , f (x) 0 ，则 f (1)f

7、(2)一定成立；命题“xR ，使得 x22 x1 0 ”的否定是真命题；“ x1, 且 y1 ”是“ xy2 ”的充要条件 .其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)-3-/11-2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 + 答案 +解析 )三、解答题：本大题共小题，共74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分12 分）已知向量（）若a(1, cos x) 与 b( 3 sinxcos x , y) 共线，且有函数 y f ( x) 222f ( x)22x) 的值；1，求 cos(3（）在ABC 中，角 A, B, C ,的对边分别是a, b, c ，且满

8、足2a cosCc2b ，求函数f ( B) 的取值范围.18 （本小题满分12 分）已知等差数列n的前 n 项和为n ，公差且351413 成等比数列aSd 0,SS50, a , a, a（）求数列an的通项公式；（）设bn是首项为1，公比为3 的等比数列，求数列bn 的前n项和Tn .an-4-/11-2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 + 答案 +解析 )19. （本小题满分 12 分）已知四棱锥，其中，CD面ABC ，A BCDEAB BC ACBE 1CD2BECD，F 为 AD 的中点 .D（）求证：EF 面ABC ；（）求证：面ADE面ACD ；F（ III）求四棱锥A

9、BCDE 的体积 .ECAB20. （本小题满分 12 分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：时间 x （秒）51015203040深度 y （微米）61010131617现确定的研究方案是：先从这6 组数据中选取2 组，用剩下的4 组数据求线性回归方程，再对被选取的2 组数据进行检验（）求选取的2 组数据恰好不相邻的概率；（）若选取的是第2 组和第5 组数据，根据其它4 组数据，求得y 关于 x 的线性回归方4 x139程 y?，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误1326差均不超过2 微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判

10、断该线性回归方程是否可靠-5-/11-2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 + 答案 +解析 )21. （本小题满分 12 分）axb已知函数f (x)在点 (1, f ( 1) 的切线方程为xy30 .x 21（）求函数f ( x) 的解析式；（）设g ( x)ln x ，求证：g (x)f ( x) 在 x1,) 上恒成立 .22. （本小题满分 14 分）实轴长为4 3 的椭圆的中心在原点，其焦点F 1, , F2 在 x 轴上 . 抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且 AF 1AF 2 ， AF 1 F2 的面积为3 .（）求椭圆和抛物线的标准

11、方程；（）过点A 作直线 l 分别与抛物线和椭圆交于B,C ,若 AC2 AB ,求直线 l 的斜率 k .yAF1B oF2xC-6-/11-2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 + 答案 +解析 )参考答案及评分标准一选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分）BDBADBBDBCCB二填空题（本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分）313 214.1915. 10216. 3三解答题17（本小题满分12 分）解：（）a 与 b 共线cos x123 sinxcosxy22xxcos 2 x31cos x) sin( x)1? 3 分y3 sincossin x(1222

12、2262 f ( x)sin( x)11 ，即 sin(x)1?4 分22x)62x)2cos2 (622sin 2 ( x) 11cos(cos2(x)133362?6 分（）已知2a cosC c2b由正弦定理得：2sin A cosCsin C2sin B2 sin( AC )2sin A cosCsin C2sin A cosC2 cos Asin C cosA1 ，在ABC中A321f (B)sin(B)622 ,5 A 0BB 133666sin(B)1, 1f ( B) 32623函数f (B) 的取值范围为(1,-7-/11?8 分10 分12 分-2013 年高考数学全国卷1

13、(完整版试题 + 答案 +解析 )18（本小题满分12 分）解：（）依题意得32453a12d5a12d50?( a13d ) 2a1 ( a 112d )解得 a13，?d22 分4 分ana1 (n 1) d 3 2(n 1) 2n 1 a n，即bn3n 1 ， bn an 3n(2n 1) 3 n 1( )1anTn353732(2n 1) 3 n 13T n3 3 5327 33(2n 1) 3 n 12T n32 32 3 22 3 n 1(2n1)3 n32 3(13n 1 ) ( 2n 1)3 n132n 3 n Tnn 3 n19 （本小题满分12 分）解：（）取AC 中点

14、G,连结 FG、 BG， F,G 分别是 AD,AC 的中点1 FG CD, 且 FG= DC=1 2 BE CD FG 与 BE 平行且相等 EF BG ?2 分EF 面 ABC, BG面 ABC EF 面 ABC?4 分（） ABC 为等边三角形 BG AC又 DC 面 ABC,BG面 ABC DC BG-8-/112n 1 ?(2n1) 3 n ?DFEGCB6 分7 分9 分12 分A-2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 + 答案 +解析 ) BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ， BG 面 ADC ?6 分 EF BG EF 面 ADC EF 面 ADE ，面 AD

15、E 面 ADC ?8 分（）连结EC, 该四棱锥分为两个三棱锥EABC 和 E ADC VA BCDEVE ABCVE ACD13 111333334321264 ?12 分另法：取BC 的中点为 O ，连结AO ，则 AOBC ，又 CD平面 ABC ,平面，为的高，CDAO, BCCDCAOBCDEAOVA BCDE3AO, SBCDE (12)1 3 ,VA BCDE1333 222322420 （本小题满分12 分）解：（）设 6 组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A，从 6组数据中选取2组数据共有15 种情况：（ 1,2 ）（ 1,3 ）（1,4

16、）（ 1,5 ）（ 1,6 ）（ 2,3 ）（ 2,4 ）（ 2,5 ）（ 2,6 ）（ 3,4 ）（ 3,5 ）（ 3,6 ）（ 4,5）（ 4,6 ）（ 5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种?3 分所以P( A)1022所以选取的2 组数据恰好不相邻的概率是 ?6 分1533( )当x10?413921921910 |2;?9 分时， y10, |13262626当x30时， ?430139379,| 37916 |2;1326262612 分所以，该研究所得到的回归方程是可靠的?21 （本小题满分12 分）解：（）将x1 代入切线方程得y2 f ( 1)ba2 ，化简得 b a4

17、 ?2 分11f ( x)a( x 21)(ax b) 2 x(1x 2 ) 2-9-/11-2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 + 答案 +解析 )2a2(ba)2bb1 ?f ( 1)442解得： a2, b2 f ( x)2x2x 2?12x2（）由已知得ln x在 1,) 上恒成立x21化简得 ( x 21) ln x2x2即 x2 ln xln x2 x20在1,) 上恒成立 ?设 h(x)x 2 ln x ln x2x2 ，h (x)2xln xx12x1 x 1 2x ln x0,2 ，即 h ( x) 0 x?x h(x)在 1,) 上单调递增，h( x)h(1) 0 g

18、(x)f (x) 在 x1,) 上恒成立?22 （本小题满分14分）4 分6 分8 分10 分12 分x2y21 (a b 0) ， AF 1 m, AF 2 n解（ 1）设椭圆方程为b2a2m 2n24c 2由题意知mn4 3mn6解得 c 29 ， b 2129 3椭圆的方程为x 2y 21123?2 分4 分 y A c 3， y A1,代入椭圆的方程得x A2 2 ，将点 A 坐标代入得抛物线方程为x 28 y ?6 分（ 2）设直线l 的方程为y1 k ( x2 2 ) ， B(x 1, y 1 ), C (x 2 , y 2 )-10-/11-2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 + 答案 +解