不可约多项式的判定及应用详解

1、不可约多项式的判定及应用摘要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式的判定方法。对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein判别法、Kronecker判别法、Perron判别法、Browm判别法等。研究了各判定方法的等价和包含关系。此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P是一个数域，对于Plx 1中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x) = 0， 一定有Plx 中的多项式q(x)，

2、 r(x)存在，使得f(x)二q(x)g(x) r(x)成立，其中：(r(x) ： ：(g(x)或者r(x)=0，并且这样的q(x)， r(x)是唯一决定的。定义2.1数域P上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P上的多 项式h(x)使等式f(x) = g(x)h(x)成立，我们用“3(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。定理2.1 对于数域P上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中 g(x) =0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。证明:如果r(x) = 0那么f(x)

3、 = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。注1:带余除法中g(x)必须不为零。下面介绍整除性的几个常用性质：(1) 如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。(2) 如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。(3) f(x)|g(x), f (x) | g(x)i=1,2，HI,r，那么f(x)| u1(x)g1(x) U2(x)g2(

4、xMIT ur(x)gr(x)，其中Ui(x)是数域P上任意多项式。22本原多项式若是一个整系数多项式f (x)的系数互素， 那么f (x)叫做一个本原多项式。2.3有理数域上多项式的等价设g(x)有理数域上的一个多项式， 若g(x)的系数不全是整数，那么以g(x) 系数分母的一个公倍数乘g(x)就得到一个整系数多项式f(x)。显然，多项式g(x) 与f(x)在有理数域上同时可约或同时不可约。2.4多项式的不可约相关概念在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘 积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可 再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的

5、，而是相对于系数的数域而言， 有例如下把x-9进行分解，可分解为x9= x2 3 x2_3但这是相对于有理数域而言的，对于实数域来说还可分进一步为X4 9 = X2 3 x 、一3 x而在复数域上，还可以再进一步分解为X4 -9 = x , 3i x- 3T x ,3 x-、3由此可见，必须明确系数域后，所谓的不可再分，才有确切的涵义。在下面的讨论中，仍然须选定一个数域P作为系数域，数域 P上多项环PX中多项式的因式分解相关的不可约定义如下定义2.4.1数域P上的次数-1的多项式p(x)称为域P上的不可约多项式，如果它不能表示成数域 P上两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积。我们要谈的多项

6、式的不可约性问题的相关事实如下(1) 一次多项式总是不可约多项式；(2) 一个多项式是否不可约是依赖于系数域的；(3) 不可约多项式p(x)与任一多项式f (x)之间只能是有两种关系，或者p(x)|f(x)或者 p(x), f (x) =1，事实上,如果 p(x), f(X)i= d(x)，那么 d(x)或者是 1， 或者是 cp(x)(c=O)，当 d(x) = cp(x)时，就有 p(x) | f (x) 。 12.5有理数域上不可约多项式的定义如果f (x)是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两个次数比它低的多项式的乘积，则f(x)称为有理数域上的不可约多项式。3. 有理

7、数域上不可约多项式的判定方法3.1 Eisensteir判别法在高等代数中，Eisenstein判别法是最为经典和著名的，也是现行有理数域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。而人们长久以来的研究衍生出 了许多不同的方法。3.1.1直接判别法2定理311设f (x)二anxn -a0是一个整系数多项式，其中n_1，设存在一一 个素数P，使得P不整除an，p整除ai( i n)但p2不整除a。，那么多项式f(x) 在有理数域上不可约。3.1.2间接判别法对于分圆多项式不能直接应用Eisenstein判别法，可以做适当的变形之后便可以应用了。在学习的过程中，面对此类问题，因为其系数较高，不能用定

8、 义法去判定。我们所学的也只有 Eisenstein判别法，但不能直接运用。考虑到 多项式的等价，对多项式我们可以做适当代换x=ay b，这样产生了 Eisenstein 判别法的间接判别法。定理3.1.2有理系数多项式f (x)在有理数域上不可约的充分必要条件是： 对于任意的有理数a = 0和b，多项式f (ax b)在有理数域上不可约。例1 证明f ( x)= x在Q上不可约。证明：f (x 1) = (x 1)4 1 = x4 4x3 6x2 4x 2取p=2，则p不整除1，p整除4,6,2, p2不整除2由Eisenstein判别法知f (x 1)在Q上不可约，因此f (x)在Q上不可

9、约。3.1.3其他派生出的判别法这种由Eisenstein判别法派生出的方法与 Eisenstein判别法相类似，能够 用来判定Eisenstein判别法所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式。定理3.1.3设f (x) =anXn an4Xn亠亠ax a是一个整系数多项式，如果存在一个素数P，使P整除常数项ao但整除其他各项系数且p2不整除最高次数项系数，那么多项式在有理数上不可约。例2下列多项式在有理数域上是否可约？ x2 1 ；(2) x4 -8x3 12x2 2 ；(3)x6 x3 1(4)xp px 1， p 为奇素数；(5)x4 - 4kx 1， k 为整数.解:(1)令x =

10、y 1，则有g(y) =f(y 1) = (y 1)2 仁 y2 2y 2取素数p =2,由于2 1,2 | 2,但是22 2故由Eisenstein判别法可知，g(y)在有理 数上不可约，从而f (x) = x2 1在有理数域上也不可约。(2)取素数p =2,则2 1,2 | -8,2 | 12但是22 2故由Eisenstein判别法可知，该多 项式在有理数域上也不可约。 令 x =y 1，代入 f (x) = x6 x3 1，得g(y) = f (y 1) = y6 6y5 15y4 21y3 18y2 9y 3取素数 p =3。由于 3 1,3 | 6,3 | 15,3 | 21,3

11、| 18,3 | 9,3 | 3，但是 32 3,故由Eisenstein判别法可知，g(y)在有理数上不可约，从而f (x)在有理数域上也不可 约。令 X =y -1，代入 f (x) = xp px 1,得g(y)=f(y_1)=yp_C；ypC：y2-川-C汇y2Cppp y-p由于 p是素数，且 p |1, p|c； ,(i =1,2川|, p-2)p|(cp+p) p21 p，故由 Eisenstein判别法可知，g(y)在有理数上不可约，从而f (x)在有理数域上也不可约。(5)令 x 二 y 1，代入 f (x) = x4 4kx 1,得g(y) = f(y 1) = y4 4y

12、3 6y2 (4k 4)y 4k 2取素数 p =2,由于 2 1,又 2 | 4,2 | 6,2|(4k+4) , 2 | (4k+2)，但 22 (4k+2)，故由Eisenstein判别法可知，g(y)在有理数上不可约，从而f(x)在有理数域上也不可 约。3.2 Kronerker 判别法2定理3.2.1设f(x) Qx 1，这里Q为有理数域。则在有限步下f(x)能分解成不 可约多项式的乘积。(只考虑整系数多项式的情形)例3证明f (x) = x5 1在Q上不可约。5证明：s = 2取 a。- -1,ai =,0, a2 = 1，2则 f(-1) =0, f(0) =1,f(1) =2f

13、(-1)=0, f(0) =1, f(1)=2从而f(-1 )的因子是0，f(0)的因子是1， f (1)的因子是1,故令 g(-1)=0,g(0) =1,g(1)=1;g(1) = 0,g(0) =0,g(1) = 2应用插值多项式:gdx)g2(x)(x1)(x-1)(x1)(x-0)12=0(x2_x_2)(01)(0-1)(11)(1-0)2=0 十(x+1)(x-1)十 2(x + 1)(x_0)十(0 1)(0 -1)(1 1)(1-0)由带余除法可知,gdx)不整除f (x)，g2(x)不整除f (x)，所以f (x)在Q上不可约。3.3 Perron判别法定理 3.3.1 设

14、f(x)=xn an2 an/XnJ o),a = 0 是多项式|an| 1 land |an J卡 | |a|，则 f(x)在 Q 上不可约。例4证明f(x) =x5 - 4x4 - x2 1在Q上不可约证明：该题不满足艾森斯坦判别法，但其为整系数多项式，满足Perron判别法的条件，由题意可知4.11，所以据Perron判别法可知该多项式在 Q 上不可约。3.4 Brown判别法定理3.4.1设f(x)是n次整系数多项式，令S(f)-|f(-1)|,|f(O)|,f(1) 汕表示S(f)中1的个数，N p表示S( f)中的素数的个数，如果Np 2N, n 4， 则f(x)在Q上不可约。例5

15、证明f (x) =2x3 -x2 x -1在Q上不可约证明：f(0H-1, f (11, f(-1H-5, f(2) =13, f2H -23, f 二 47.Np _4N 一2故 Np 22 一8 _4 3所以多项式在Q上不可约。3.5多项式无有理因式判别法7定理3.5.1设f(x)=a0 yx亠亠anxn是一个整系数多项式，若f (x)没有次数 小于和等于r的有理因式，并且存在素数p，使：(1) p至少不整除an, an 4,an #中的一个(2) p |a,i =0,1,2,n -r -1(3) p2 |a那么，f (x)在有理数域上不可约。定理352设f(x)axanXn是一个整系数多

16、项式，若f (x)没有次数小于和等于r的有理因式，并且存在素数p，使：(1) p至少不整除冼,印，,中的一个(2) p|ai =r 1, r 2, n(3) p2 | an那么，f (x)在有理数域上不可约。这种方法在应对没有不小于二次的有理因式的判定时，因为其需要计算机计算来得到，所以在此种情况下，没有克罗奈克的方法更加的简便。3.6模p约化处理判定法定理 3.6.1 f(x)二 a0 ex爲爲 anxn Zx(an = 0,n _ 2) ， p 是 素数，p | ani p |ao,ai,an，p2 | a。，p | a.-b，其中 b | ，则 f (x)在 Qx中不可约。p定 理 36

17、2 f (x)二 a0 exanxn Zx(an = 0, n _ 2) ， p 是 素数，p | 印，p | a2,a3, ,an, p2 | a., p | ai -b，其中 b|a，则 f (x)在Qx中不可约。p定 理 363 f (x) =a0 ex 亠亠 anxn Zx(an = 0, n _ 2) ， p 是 素数，p | 6(0 ： j ： n), p|a,ai, 4 1,佝，p2 | a。, p | ai -b其中 b|V，贝U f(x)在Qxp中不可约。定 理 364 f (x)二 a0 a/ anxn Zx(an = 0, n - 3) , p 是 素数，1 勻兰n 2,

18、 p |a,a+ p|a,ai,耳4七，耳七，,a., p2 |a,an, p | q b,a“b , 其 中b|睥,f(x)无理想根，则f(x)在Qx中不可约。P例6判断以下多项式在Qx中是否可约：(1) fi(x) =5xn 7xn，-22(n 一 2);(2) f2(x) =7xn 2000x5 7(n 一 6);(3) f3(x)二 5 97x99 2008x100 5xn(n 100).解：(1) 11|务=7,11心0,和，an,112 |a = -22,11|7-b其中b|5*2)= -10，由定理2.5.1, fi(x)在Q x中不可约.11(2) 7 | a2007,7|a0

19、,a1,a2,a3,a4,a6,a7 ,an,72 | 2000-b其中b|a0an =1，由定理253, f2(x)在Qx中不可约(3) 5 | a? =97,気0 =2008, 5整除其余各项系数，52 | a。=5 =5,5 |97 -b,2008 -b，其中?？=1，因为 fs(x)的系数全为正数,5所以f3(x)的有理根只可能为负数，设v,(u,v)=1,u 0,v t右存在素数p便得(1)P | an 1 , an 2 ,； a2n(2)p2 |a,a0, ,an(3)P | a2n 1(4)P3 |a。那么，f (x)在有理数域上不可约。4.2系数为1的不可约多项式的判定10n定

20、理421已知fn(x)八，y(n. N,n_2)是系数为1的多项式。当n为奇数时，i卫fn(x)在Qx上可约；当n为偶数时，如果为合数，fn(x)在Qx上可约，如果n 1 为素数，fn(X)在Qx上不可约。n推论422已知fn(x)工嘉(-1)仝(n N,n_2)是系数在Q的多项式。当n为奇数i 30时，fn(x)在Qx上可约；当n为偶数时，如果n1为合数，fn(x)在Qx上可约， 如果n 1为素数，fn(x)在Qx上不可约。n推论423已知fn(x)=v xki( nN, n_ 2,k为正整数)是系数在Q的多项式。当n为i =0奇数时，fn(x)在Qx上可约；当n为偶数时，如果n1为合数，f

21、n(x)在Qx上可 约。5不可约多项式的应用51不可约多项式在重因式中的应用定义511不可约多项式p(x)称为多项式f(x)的k重因式，如果pk(x)|f(x)， 而pk1(x)|f(x)。如果k =0，那么根本不是f (x)的因式；如果k=1，那么称为f(x) 的单因素；如果k 1，那么称为f(x)的重因式。如果f (x)的标准分解式为f(x)二 cpr(x)P2r2(x) Psrs(x)那么p(x), P2,(x),Pr(x)分别是f (x)的ri重，2重，s重因式。定理512如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k_1)，那么它是微商 f (x)的k -1重因式。推论513如果不

22、可约多项式p(x)是f(x)的重因式，那么p(x)是 f(x), f(x), , f(kl)(x)的因式，但不是 f(k)(x)的因式。推论514不可约多项式P(x)是f (x)的重因式的充分必要条件为P(x)是f(x)与f(x)的公因式。作为重因式的概念定义的基础，不可约多项式的应用从此可见一斑。52不可约多项式在多项式互素中的应用定理521 Px中两个多项式f(x),g(x)互素的充要条件是有Px中的多项式 u(x),v(x)使u(x) f (x) v(x)g(x) =1。定理 522 如果(f (x), g(x) =1,且 f(x)|g(x)h(x)，那么 f(x) | h(x)。例 7

23、 证明：如果 f(x),g(x) =1,f(x),h(x) =1，那么f (x),g(x)h(x) =1.解：假设f(x),g(x)h(x) =1，则一定存在不可约多项式p(x) : p(x) 0使得 p(x) | f (x) 和 p(x) | g(x)h(x)又因为p(x)不可约，则有p(x) | g(x)或 p(x) | h(x)这样f(x),g(x) -1或f(x),h(x) -1，与条件矛盾。所以f (x),g(x)h(x)=1 .例8设fi(x),川,fm(x),gi(x),|,gn(x)都是多项式，而且fi(x)g(x)i =1,2,|山 m; j =12H),n。求证：fi(x)

24、, f2(x). Ill fm(x),gi(x),g2,|l|, gn(x) i=1。解： 假设 fi(x), f2(x). Ill, fm(x), gi(x), g2,lll,gn(x) -1 ,则存在不可约多项式p(x) ; p(x) 0，使得p(x) | fi(x), f2(x)，川,fm(x)和 p(x) |gi(x),g2(x)，川，gn(x)又因为p(x)不可约，故存在i, j，使得p(x)| fi(x), p(x)|gj(x)则有fi(x),gj(x)=1这与条件矛盾，故8fi(x), f2(x), III, fm(x),gi(x),g2,|l|,gn(x) =1 例9 证明：如果 f(x),g(x) =1，那么 f(x)g(x),