2021_2022学年新教材高中数学第1章预备知识2.2第2课时全称量词命题与存在量词命题的否定课件北师大版必修第一册

1、2.2全称量词与存在量词 第第2课时课时全称量词全称量词命题命题 与与存在量词命题的否定存在量词命题的否定 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.掌握对含有一个量词的命题的否定方法掌握对含有一个量词的命题的否定方法.正确正确 掌握量词的否定的各种形式掌握量词的否定的各种形式. 2.明确全称量词命题的否定是存在量词命题明确全称量词命题的否定是存在量词命题,存存 在量词命题的否定是全称量词命题在量词命题的否定是全称量词命题. 3.通过对命题否定的学习通过对命题否定的学习,体会常用逻

2、辑用语在体会常用逻辑用语在 表述数学内容和论证数学结论中的作用表述数学内容和论证数学结论中的作用,提升交提升交 流的严谨性与准确性流的严谨性与准确性. 一、全称量词命题的否定一、全称量词命题的否定 【问题思考】【问题思考】 1.观察下列命题观察下列命题: 所有矩形都是平行四边形所有矩形都是平行四边形; 每一个数的平方都是正数每一个数的平方都是正数; xR,|x|0. (1)上述命题是全称量词命题还是存在量词命题上述命题是全称量词命题还是存在量词命题?你能写出它你能写出它 们的否定吗们的否定吗? 提示提示:它们都是全称量词命题它们都是全称量词命题.(1)的否定是的否定是“存在一个矩形不存在一个矩

3、形不 是平行四边形是平行四边形”;命题命题(2)的否定是的否定是“存在一个数的平方不是正存在一个数的平方不是正 数数”;(3)的否定是的否定是“ xR,使使|x|4,有有x2”的否定是的否定是() A. x24,有有x2B. x24,有有x2 C. x24,使使x2D. x24,使使x2 解析解析:所给命题所给命题“ x24,有有x2”是全称量词命题是全称量词命题,它的否定是存它的否定是存 在量词命题在量词命题,为为“ x24,使使x2”. 答案答案:C 二、存在量词命题的否定二、存在量词命题的否定 【问题思考】【问题思考】 1.给出下列命题给出下列命题: 有些实数的绝对值是正数有些实数的绝对

4、值是正数; 某些平行四边形是菱形某些平行四边形是菱形; xR,x2+10. (1)上述命题是全称量词命题还是存在量词命题上述命题是全称量词命题还是存在量词命题?你能写出它你能写出它 们的否定吗们的否定吗? 提示提示:它们是存在量词命题它们是存在量词命题.其中其中的否定是的否定是“所有实数的绝所有实数的绝 对值都不是正数对值都不是正数”,的否定是的否定是“每一个平行四边形都不是菱每一个平行四边形都不是菱 形形”,的否定是的否定是“ xR,x2+10”. (2)观察以上三个命题的否定在形式上有什么变化观察以上三个命题的否定在形式上有什么变化?这种变化这种变化 是否对任意一个存在量词命题都有此规律是

5、否对任意一个存在量词命题都有此规律?你能概括出来吗你能概括出来吗? 提示提示:这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题,这这 种变化对任意一个存在量词命题都有这种规律种变化对任意一个存在量词命题都有这种规律,即即“ xM,使使 p(x)成立成立”的否定为的否定为“ xM,p(x)都不成立都不成立”. 2.存在量词命题的否定存在量词命题的否定 (1)语言描述语言描述 一般地一般地,要否定一个存在量词命题要否定一个存在量词命题,需要判定给定集合中每一需要判定给定集合中每一 个元素均不能使存在量词命题的结论成立个元素均不能使存在量词命题的结论成立. (

6、2)存在量词命题的否定是存在量词命题的否定是全称量词全称量词命题命题. 对于存在量词命题对于存在量词命题p: xM,x具有性质具有性质p(x),通常把它的否定通常把它的否定 表示为表示为 xM,x不具有性质不具有性质p(x). (3)一些常见词语的一些常见词语的否定否定 3.做一做做一做: 命题命题:“有的四边形是平行四边形有的四边形是平行四边形”的否定为的否定为 . 答案答案:“所有的四边形都不是平行四边形所有的四边形都不是平行四边形” 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画正确的在它后面的括号里画“ ”,错错 误的画误的画“”. (1)

7、全称量词命题的否定就是把结论否定全称量词命题的否定就是把结论否定.( ) (2)“ 锐角锐角A,使使sin A=cos A”的否定是的否定是“ 角角A,使使sin Acos A”. ( ) (3)小于的否定是大于小于的否定是大于.( ) 探究探究一一 全称量词全称量词命题的否定命题的否定 【例【例1】 写出下列全称量词命题的否定写出下列全称量词命题的否定: (1)任何一个平行四边形的对边都平行任何一个平行四边形的对边都平行; (2)任意任意a,bR,方程方程ax=b都有唯一解都有唯一解; (3)可以被可以被5整除的整数整除的整数,末位是末位是0. 解解:(1)原命题的否定是原命题的否定是“存在

8、一个平行四边形存在一个平行四边形,它的对边不都它的对边不都 平行平行”. (2)原命题的否定是原命题的否定是“存在存在a,bR,使方程使方程ax=b的解不唯一或不的解不唯一或不 存在存在”. (3)原命题的否定是原命题的否定是“存在被存在被5整除的整数整除的整数,末位不是末位不是0”. 全称量词命题的否定的两个关键全称量词命题的否定的两个关键 (1)看格式看格式:写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词 命题的全称量词和结论命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词把全称量词改为存在量词,结论变为结论变为 否定的形式就得到命题的否定否定的形式就得到

9、命题的否定. (2)看含义看含义:有些全称量词命题省略了量词有些全称量词命题省略了量词,在这种情况下在这种情况下,千万千万 不要将否定写成不要将否定写成“是是”或或“不是不是”. 【变式训练【变式训练1】 写出下列全称量词命题的否定写出下列全称量词命题的否定: (1)p:所有自然数的平方都是正数所有自然数的平方都是正数; (2)p:任何实数任何实数x都是方程都是方程5x-12=0的根的根. 解解:(1)原命题的否定是原命题的否定是“有些自然数的平方不是正数有些自然数的平方不是正数”. (2)原命题的否定是原命题的否定是“存在实数存在实数x不是方程不是方程5x-12=0的根的根”. 探究探究二二

10、 存在量词存在量词命题的否定命题的否定 【例【例2】 写出下列存在量词命题的否定写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真并判断其否定的真 假假. (1)有些实数的相反数是正数有些实数的相反数是正数; (2)某些菱形是正方形某些菱形是正方形; 分析分析:先把存在量词改为全称量词先把存在量词改为全称量词,然后把结论否定然后把结论否定,推理或举推理或举 特例判断命题的真假特例判断命题的真假. 解解:(1)命题的否定是命题的否定是“不存在一个实数不存在一个实数,它的相反数是正数它的相反数是正数”,即即 “所有实数的相反数都不是正数所有实数的相反数都不是正数”.它为假命题它为假命题. (2)命题的否

11、定是命题的否定是“没有一个菱形是正方形没有一个菱形是正方形”,即即“每一个菱形都每一个菱形都 不是正方形不是正方形”.由于邻边互相垂直的菱形是正方形由于邻边互相垂直的菱形是正方形,因此命题的因此命题的 否定是假命题否定是假命题. 写存在量词命题的否定的方法写存在量词命题的否定的方法: (1)将存在量词改写为全称量词将存在量词改写为全称量词. (2)将结论否定将结论否定. 【变式训练【变式训练2】 命题命题“存在一个无理数存在一个无理数,它的平方是有理数它的平方是有理数” 的否定是的否定是() A.任意一个有理数任意一个有理数,它的平方是有理数它的平方是有理数 B.任意一个无理数任意一个无理数,

12、它的平方都不是有理数它的平方都不是有理数 C.存在一个有理数存在一个有理数,它的平方是有理数它的平方是有理数 D.存在一个无理数存在一个无理数,它的平方不是有理数它的平方不是有理数 解析解析:根据存在量词命题的否定是全称量词命题根据存在量词命题的否定是全称量词命题,先将存在量先将存在量 词改为全称量词词改为全称量词,然后否定结论然后否定结论,故该命题的否定为故该命题的否定为“任意一个任意一个 无理数无理数,它的平方都不是有理数它的平方都不是有理数”. 答案答案:B 探究探究三三 全称全称(存在存在)量词命题的否定的应用量词命题的否定的应用 【例【例3】 已知命题已知命题“对于任意对于任意xR,

13、x2+x+a0”是假命题是假命题,求求 实数实数a的取值范围的取值范围. 分析分析:由其否定是真命题由其否定是真命题先求其否定先求其否定转化为不等式恒成转化为不等式恒成 立立求解求解 解解:因为全称量词命题因为全称量词命题“对于任意对于任意xR,x2+x+a0”的否定形的否定形 式为式为“存在存在xR,x2+x+a0, 1.本例中把条件本例中把条件“假命题假命题”改为改为“真命题真命题”,求实数求实数a的取值范围的取值范围. 2.本例中把条件本例中把条件“对于任意对于任意xR,x2+x+a0”改为改为“对任意对任意 x0,x2+ax+10”,则实数则实数a的取值范围是的取值范围是. 解析解析:

14、由题意由题意,命题的否定是命题的否定是“存在存在x0,x2+ax+10”,且为真命题且为真命题,即对即对 xR,有有mx2-2x+2. 只需只需m(x2-2x+2)min,又又x2-2x+2=(x-1)2+11,则则m1,故故a=1. 答案答案:1 对命题的否定理解不透彻致误对命题的否定理解不透彻致误 【典例】【典例】 写出下列命题的否定写出下列命题的否定. (1) xR,都有都有x2=1. (2) xR,使使x2=1. 错解错解 它们的否定分别是它们的否定分别是: (1) xR,都有都有x21. (2) xR,使使x21. 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什

15、么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? 提示提示:对对命题进行否定时没有改变量词命题进行否定时没有改变量词. 正正解解:它们它们的否定分别是的否定分别是: (1) xR,使使x21. (2) xR,都有都有x21. 全称量词命题的否定是存在量词命题全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定存在量词命题的否定 是全称量词命题是全称量词命题,对全称量词命题和存在量词命题否定时对全称量词命题和存在量词命题否定时,不不 仅要否定结论仅要否定结论,还要将全称量词变为存在量词还要将全称量词变为存在量词,存在量词变为存在量词变为 全称量词全称量词. 【变式训练】【变式训

16、练】 写出下列命题的否定写出下列命题的否定. (1)所有的负数都小于零所有的负数都小于零; (2)至少有一个实数至少有一个实数x,使使x3+1=0. 解解:(1)命题的否定为命题的否定为“至少存在一个负数不小于零至少存在一个负数不小于零”. (2)命题的否定为命题的否定为“ xR,x3+10”. 1.命题命题“ xR, nN+,使得使得nx2”的否定形式是的否定形式是() A. xR, nN+,使得使得nx2 B. xR, nN+,有有nx2 C. xR, nN+,使得使得nx2 D. xR, nN+,有有nx2 解析解析: 的否定是的否定是 , 的否定是的否定是 ,nx2的否定是的否定是n0

17、,使使x2-3x+20的否定为的否定为() A. x0,x2-3x+20 B. x0,x2-3x+20 C. x0,有有x2-3x+20 D. x0,有有x2-3x+20 解析解析:该命题是一个存在量词命题该命题是一个存在量词命题, 它它的否定为的否定为“ x0,有有x2-3x+20”. 答案答案:C 3.下列命题的否定为假命题的是下列命题的否定为假命题的是() A. xR,使使x2+2x+20 B.任意一个四边形的四个顶点共圆任意一个四边形的四个顶点共圆 C.所有能被所有能被3整除的整数都是奇数整除的整数都是奇数 D. xR,有有x20 解析解析:因为因为x2+2x+2=(x+1)2+11,原命题为假命题原命题为假命题,则其否定为则其否定为 真命题真命题;根据