2019春浙江省绍兴市高二(下)期末数学试卷

1、2019 春浙江省绍兴市高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10 小题，共40.0 分）1.复数 z=1-i （i 为虚数单位）的虚部为（）A. 1B.C. iD.2.已知空间向量=1，-10=3 -21），则|=（）（， ），（ ，A.B.C. 5D.f x2，则 f（ x）在 x=3 处的导数为（）3.）=3x已知函数 （A. 6B. 12C. 18D.274.设 xR，则 “2 x 3”是 “|x-2|1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知双曲线=1（a 0， b0）的一条渐近线方程为y=-2 x，则此双曲线的离心率为（）

2、A.5B.C.D.6.已知椭圆=1（ ab 0）的左右焦点分别为F1， F2，焦距为4，若以原点为圆心， F 1F 2 为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，则此椭圆方程为（）A.B.C.D.7. 若函数fx =mx3+2x2-3x-1存在单调递增区间，则实数m 的值可以为（）（ ）A.B.C.D.8. 若过点 P（1， n）可作两条不同直线与曲线A. 既有最大值又有最小值B.C. 有最小值无最大值D.9. 已知 a b 0，则下列不等式正确的是（y=x2+2x（ -1x2）相切，则n（）有最大值无最小值既无最大值也无最小值）A.B.C.D.10. 对任意的n N*1+）ne）a 恒成立（其中 e

3、 是自然对数的底数）， ，不等式（则实数 a 的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共7 小题，共36.0 分）11.已知向量=x1 1），=410|=，则x=_，? =_（ ， ，（， ），12.复数 z=1-2i ，则 |z|=_， |=_13.用数学归纳法证明“1-+-+ +=（ nN* ）”，第一步应验证的等式是 _，从 “n=k”到 “n=k+l ”左边需增加的代数式是_14.432a已知函数 f（ x） =x +ax +2 x +b，其中 a，bR若 f（ x）仅在 x=0 处有极值，则的取值范围是 _；若 a=4，则 f（x）的所有极值点之和为_第1页，共 12页15.

4、 已知 F 为抛物线2F 且斜率为1 的直线交抛物线于A， B 两点，y =4x 的焦点，过点设 |FA| |FB|，则=_16.函数 f （ x） =-ln x-2 的零点个数为_17. 已知椭圆 C1 ：m2x2+y2=1 （ 0 m 1）与双曲线 C2： n2x2-y2=1（ n 0）有共同的焦点， e1 ，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则e1?e2 的取值范围是 _三、解答题（本大题共5 小题，共74.0 分）18. 已知函数 f（ x） = x3+ax+4 ， aR（ ）若 a=-4 ，求函数 f（ x）的单调递增区间；（ ）若 a-9，且函数 f（x）在区间 0，3 上单调递

5、减，求 a 的值19. 如图， FA 平面 ABC，ABC=90 ，ECFA ，FA=3， EC=1，AB =2， AC=4 ，BDAC交 AC于点 D（ ）证明： FD BE；（ ）求直线BC 与平面 BEF 所成角的正弦值20.己知等比数列 an ， bn 的公比分别为p， q（ pq， nN* ）（ ）若 a1=b1=1，p=2q=4，求数列 的前 n 项和 Sn；（ ）若数列 cn 满足 cn=an+bn，求证：数列 cn 不是等比数列第2页，共 12页21.如图， F 是椭圆 C：=1（ a b0）的右焦点，直线AB： x-2y+2=0 与椭圆 C相切于点A（ ）若 a=，求 b；（

6、 ）若 |=|，=0，求椭圆C 的方程22. 已知函数 f（ x） =ln （ 1+ ）， f （ 1）=ln2 （ ）证明： f（ ） x；（ ）若f（ 2）+f（ 22）+ +f（2n） m 对任意的 nN* 均成立，求实数m 的最小值第3页，共 12页答案和解析1.【答案】 B【解析】 解：复数z=1- i （ i 为虚数单位）的虚部是-1故选： B利用虚部的定义即可得出本题考查了复数的虚部，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.【答案】 D【解析】 解： 空间向量=（ 1， -1，0），=（ 3， -2， 1），=（ 4，-3， 1），|=故选： D利用向量坐标运算法则先求出，由此能

7、求出|本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.【答案】 C【解析】 解： f（x） =6 x；f（ 3） =18故选： C可求导函数得出f（ x） =6x，从而得出f（ x）在 x=3 处的导数为f（ 3） =18考查基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法4.【答案】 A【解析】 解： xR， “2 x3”? “|x-2| 1”，|x-2| 1? 1 x3，“2 x 3”是 “|x-2| 1”的充分不必要条件故选： A“2 x 3”? “|x-2| 1”， |x-2| 1? 1x 3本题考查命题真假的判断，考查不等式性质等基础知识，考

8、查运算求解能力， 是基础题5.【答案】 B【解析】 解：双曲线 ， 的渐近线方程为y= x，双曲线的一条渐近线方程为y=-2x，即 =2，则 b=2a，则双曲线的离心率为e= =故选： B根据双曲线的渐近线方程建立方程关系，结合双曲线的离心率公式进行计算即可本题主要考查双曲线离心率的计算，结合双曲线的渐近线方程是解决本题的关键6.【答案】 A第4页，共 12页【解析】 解：椭圆=1（ a b0）的左右焦点分别为F 1， F2，焦距为4， c=2；若以原点为圆心，F1F2 为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，可得b=c=2，则 a=2所以椭圆的方程为：故选： A利用椭圆的性质以及圆与椭圆的位置关系

9、，求出b， c， a 即可得到椭圆方程本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.【答案】 D【解析】 解：函数 f（ x） =mx3+2x2-3x-1，所以 f（ x）=3mx2+4x-3，当 m 0 时导函数是开口向下的抛物线，要使 f（ x）在 R 上存在子区间使 f（ x） 0，只需 =16+36 m 0，解得0m- ，当 m0时，导函数存在满足 f（ x） 0 的 x 的区间，所以 m 的取值范围是（ - ， +）因为，所以 D 正确；故选： D若函数 f（ x）在 R 上存在单调递增区间? 存在区间 I，使得 xI 时， f（ x

10、） 0，求解即可本题主要考查了函数存在极值的性质：函数在 x=x0 处取得极值， 则 f（x0）=0，但 f（ x0）=0 ，函数在处不一定是极值点；函数f（ x）在 R 存在单调递增区间与函数f（ x）在 R调递增是两个完全不同的概念，要注意区分8.【答案】 C【解析】 解：设切点为（ x ，）（ -1x 200 ），由 y=x2+2x（ -1x2），得 y=2 x0 +2，则过切点处的切线方程为y-=（ 2x0+2）（ x-x0），代入点（ 1， n），可得，即由方程 x2-2x+n-2=0 在 -1 ， 2上有两个不同实数根，解得 2n 3得n 有最小值无最大值故选： C设切点为（ x0

11、，）（- 1x02），求出曲线在切点处的切线方程，把点P（ 1，n）代入，可得关于x0 的一元二次方程，然后利用一元二次方程根的分布列式求解本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查一元二次方程根的分布，是中档题9.【答案】 C【解析】 解：由 ab 0，取 a=4， b=1，则 |3a-b|=|34-1|=80， |3b-a|=|3-4|=1 故 B 不正确；|lg a-b|=|lg4-1| |lg1-4|=4 ，故 C 不正确；第5页，共 12页取 a=1 ， b= ，则= = ，故 A 不正确故选： C取 a=4 ， b=1 可排除 B， C，取 a=1， b= 可排除 A，从而

12、得到正确选项本题考查了基本不等式的性质，属基础题10.【答案】 B【解析】解：不等式（ 1+na?，）（e）?设， ，则 af（n） min，当 n 0 时， f（n）为增函数，又nN* ，即实数 a 的最大值为故选： B不等式（ 1+） ne（） a?，构造函数， ，则 af（n） min本题考查对数不等式的恒成立问题，考查变形及化简能力，考查函数思想， 属于中档题11.【答案】 01【解析】 解：向量=（x， 1， 1）， | |=，则 x=0 ，向量=（ 0，1， 1），=（ 4， 1， 0），? =0 4+1 1+1 0=1故答案为： 0； 1利用向量的模求出 x，然后求解空间向量的数

13、量积即可本题考查空间向量的数量积以及向量的模的求法，是基本知识的考查12.【答案】【解析】 解：由 z=1-2i ，得 |z|=，| |=故答案为：，利用复数商的模等于模的商求解即可得答案本题考查了复数模的求法，是基础题13.【答案】 1- =第6页，共 12页【解析】 解：用数学归纳法证明“1-+-+ +=n N*”（ ） ，第一步应验证不等式为：1-=；从 n=k 到 n=k+1 时，左边需增加的代数式是：=，故答案为： 1- = ；直接利用数学归纳法写出n=1 时左边的表达式即可， 不等式的左边需要从1 加到，不要漏掉项从n=k 到 n=k+1 时，左边需增加的代数式即可在利用数学归纳法

14、证明问题中，第一步是论证n=1 时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误14.【答案】 - ， -3【解析】 解：由题意，f（ x） =4x3+3 ax2+4x=x（ 4x2+3ax+4），要保证函数 f（ x）仅在 x=0 处有极值，必须满足f（ x）在 x=0 两侧异号，所以要 4x2+3ax+40恒成立，由判别式有：（ 3a） 22 64-640， 9a，- a，a 的取值范围是- ， ，a=4，则 f（ x）=x4+4 x3 +2x2+b， f（x） =4 x3+12x2+4x=4x（x2+3x+1 ），所以函数的极值点之和为： 0+

15、-3=-3 故答案为： - ， ； -3求导函数，要保证函数 f（ x）仅在 x=0 处有极值，必须满足 f（ x）在 x=0 两侧异号利用韦达定理求解极值点之和即可本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题15.【答案】 3+2【解析】 解：设 A（ x1， y1） B（x2，y2）， F 为抛物线y2=4 x 的焦点（ 1， 0）2， x2=（ x1 x2）? x -6x+1=0 ， x1=由抛物线的定义知=3+2故答案为： 3+2先设点 A， B 的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y 得到关于 x 的一元二次方程，求出两根，再由抛物线的定义得到

16、答案本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用第7页，共 12页16.【答案】 2【解析】 解：由题意，函数f （ x）的定义域为（0，+），由函数零点的定义，f（ x）在（ 0， +）内的零点即是方程-lnx-2=0 的根，令 y1=，y2=ln x+2（ x0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：两个函数都是增函数，函数在（ 0，1）内有 1 个交点， x=e 时， y1= 3，y2=ln e+2=3 ，x=98 时，y1=10， y2=ln98+2 7，由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点故答案为： 2求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，

17、在坐标系中画出两个函数1=y2（ x 0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数y=ln x+2本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数17.【答案】 （ ，）1 +【解析】 解：椭圆 C1： m2x2+y2=1（0 m 1）即为21=，+y=1，即有 e =双曲线 C2： n2x2- y2=1（ n 0）即为-y2=1，可得 e2=，由题意可得-1=+12，即 n =则则 e1?e2=?=?=，可令 t=1-2m2 ， 0 t 1，即 m2=，则=1 ，可得则 e1?e2 的取值范围是（1， +）故答案为：（1， +）化椭圆和双曲线方程为标

18、准方程， 结合椭圆和双曲线的基本量的关系、 离心率公式和换元法，以及基本不等式可得所求范围本题考查椭圆和双曲线的方程和性质， 主要是离心率的范围， 考查方程思想和运算能力，属于中档题18.【答案】 解：（ ）a=-4，函数 f（ x）= x3-4x+4，可得 f（x） =x2-4，由 x2-4 0，解第8页，共 12页得 x 2 或 x-2，函数 f（ x）的单调递增区间：（-， -2），（ 2， +）（ ）函数 f（ x）在区间 0， 3上单调递减， f（ x） =x2+a0，则 a-x2，因为 x0，3 ，所以 a-9，因为 a-9，所以 a=-9 【解析】（ ）求出导函数， 通过导函数的

19、符号列出不等式求解函数的单调增区间即可（ ）通过导函数的符号，得到a 的范围与已知条件比较可得a 的值本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力19.【答案】 解：（ ）证明 1：在 ABC 中， ABC=90 ， AB=2， AC=4，因为 BDAC 交 AC 于点 D，所以 AD =1， CD =3因为 FA平面 ABC，EC FA， EC=1， AC=4，所以 FAD DCE ，所以 FD DE又因为 BD AC， FA平面 ABC，所以 BD平面 FDE ， BDFD ，所以 FD 平面 BDE，所以 FD BE证明 2：如图，以 D 为原点，分别以DB，

20、DC 为 x，y 轴，建立空间直角坐标系，在 ABC 中， ABC=90， AB=2， AC=4，因为 BDAC，所以， ， ， ， ， ，所以，所以 DF BE（ ）解：由（ ）可知， ， ， ， ， 设平面 BEF 的法向量为， ，所以，即， y= ，所以令， ，设直线 BC 与平面 BEF 所成角为，则【解析】 （ ）通过证明FD 平面 BDE 得出 FD BE；（ ）利用垂直关系建立空间坐标系，借助空间向量计算线面角的正弦值本题考查空间垂直关系的证明以及空间角（线面角）的计算，属于中档题目20.【答案】 解：（ ）由已知可得，所以（ ）证明：假设数列 cn 是等比数列，则， n2，第9

21、页，共 12页即，所以，即=，所以=2，所以 p=q，与已知条件中p， q 不相等矛盾，因此假设不成立，故数列 cn 不是等比数列【解析】 （ ）由已知根据等比数列定义可以轻松写出通项，做商化简即可；（ ）用反证法，假设数列 cn 是等比数列，根据已知条件推出矛盾即可此题考查了等比数列的定义、通项公式，在证明的过程中使用了反证法证明，很简洁有力中档题21.，消去 y，整理得【答案】解：（ ）由，（ * ）因为直线与椭圆相切，所以=0，整理得，又，所以（ ）将代入（ * ）式，整理得，所以，即，过 A、B 作 x 轴的垂线段，垂足分别为E、 D；因为 AF=BF， AFB=90，所以 AEF F

22、DB ，设 F （c， 0），所以FD =AE=b2，所以，代入 x-2y+2=0 ，得 c+b2-（ a2+2 c） +2=0 ，即 a2-b2+c-2=0 ，即 c2+c-2=0 ，因为 c 0，所以 c=1；由222，解得，及 a =b +c因此椭圆C 的方程为第10 页，共 12页【解析】 （ ）根据相切建立方程求出b 的值；（ ）过 A、B 作 x 轴的垂线段， 利用三角形相似建立方程求出c 的值，进而 a、b 的值本题考查椭圆的方程与性质，属于中档题目22.【答案】 解：（ 1）证明：因为函数f（ x） =ln （ 1+ ）， f （ 1） =ln2 由 f（ 1） =ln2 得： a=1，f （x） =ln （ 1+ ）， x（ -， -1） （ 0， +）；设 F （x） =ln （ 1+x） -x， F（ x） =-1=-，所以，函数 F （x）在（ -1， 0）上单调递增，在（ 0， +）单调递减，所以， F（ x） F （ 0）=0又因为 f（