《振动力学》参考答案（全）

1、请打双面习题与综合训练 第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。等效弹簧系数为k则 其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知= 则 = 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 qFsinaaFhmgqF 所以固有频率2-2 一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。解：给杆一个微转角qqha2F

2、mg由动量矩定理：其中 2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1。k1与k3并联，设总刚度为k2。k2与k4串联，设总刚度为k。即为，2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中、和是三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。解： （1） （2） （3） （4）2-5 如题2-5图所示，质量为的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统

3、的固有频率。解：此系统是一个保守系统，能量守恒系统的动能为：系统的势能为：总能量由于能量守恒消去得系统的运动方程为：系统的固有频率为：2-6 如题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为，求系统的固有频率。解：设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为。很小，系统的动能为所以， 取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为，由， （A）由题意可知，系统势能为（B）将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，由， 得 所以，有2-7 一个有阻尼的弹簧-质量系统，质量为10 kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系

4、数c。解：振动衰减曲线得包络方程为：振动20个循环后，振幅比为：代入,得：又 c = 6.9 N s /mOmgjXOYOFKFC，2-8 一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：当npn时，ccC2-9 如题2-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。解：2-10 如题2-10图所示，质量为2000 kg的重物以3 cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起

5、作自由振动。已知k =48020 N/m，c =1960 Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为所以有 +x =0 其特征方程为：+r+=0 r =-0.494.875i所以：x =cos4.875t+sin4.875t由于n pn，由已知条件，m/s。故通解为其中，。（代入初始条件，当t=0时，x=0, =0当t=0时，=0,=0.006x=0.006sin4.875t=0.006(-0.49) sin4.875t+0.0064.875cos4.875当=0时，振幅最大，此时t=0.03s。当t=0.03s时，x=0

6、.005m）代入初始条件，得，得物体达到最大振幅时，有既得t = 0.30 s时，物体最大振幅为 cm2-11 由实验测得一个系统的阻尼固有频率为，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为，求系统的无阻尼固有频率、相对阻尼系数及对数衰减率。解：， ， ；三个方程联立，解得：习题与综合训练 第二章2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值，若质量块受激振力N的作用，求系统的稳态响应。解：由题意，可求出系统的运动微分方程为得到稳态解其中由 又有所以x1.103 cos(3t5127)2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频

7、率rad/s时，系统发生共振；给质量块增加1 kg的质量后重新试验，测得共振频率rad/s，试求系统原来的质量及弹簧刚度。解：设原系统的质量为m，弹簧常数为k由，共振时所以又由 当与联立解出m20.69 kgk744.84 N/m2-3总质量为W的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度，转子重Q，重心偏离轴线e，梁重及阻尼可以不计，求转速为时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。解：列出平衡方程可得：所以：又因为即为所求的振幅2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力，弹簧支承端有运动，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。题2-4图 解：选时物块平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，如右图，则 即

8、即 （*）改成，下面也都一样利用复数求解 ， 用 代换sinwt 并设方程（*）的解为这里求的是特解，也就是稳态解。 代入方程（*）得其中B为振幅，为响应与激励之间的相位差，有=。 其中 2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力，求质量块的振幅。题2-5图解：设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有， （A）由图（1）和图（2）的受力分析，得到 （B） （C）联立解得，所以，n = 0，得，2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值(1)系统发生共振；(2)等于固有频率的一半。mg

9、qBP0sinwtAXAYAFCFK题2-6图 解：图（1）为系统的静平衡位置，以q为系统的广义坐标，画受力如图（2）又 Iml2则1）系统共振，即2）2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率、阻尼比及稳态响应振幅。题2-7图解：以刚杆转角为广义坐标，由系统的动量矩定理即 令，得到2-8一机器质量为450kg，支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm。机器有一偏心重，产生偏心激振力N，其中是激励频率，g是重力加速度。求(1)在机器转速为1200 r/min时传入地基的力；(2)机器的振幅。解：设系统在平衡位置有位移， 则即又有 则（1）所以机器的振幅为（2）且，（3）又有（

10、4）将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅=0.584 mm则传入地基的力为2-9一个粘性阻尼系统在激振力作用下的强迫振动力为，已知N，B =5 cm ，rad/s，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功及。2-10 证明粘性阻尼在一周期内消耗的能量可表示为证明2-11证明简谐激振力作用下的结构阻尼系统在时振幅达最大值。证明：设结构阻尼的应变幅度为B，则应变改变一周期内所消耗的能量 为与材料有关的常数与频率无关，则等效粘性阻尼系数 由于振幅所以， 其中，对求导得 ，当时，振幅B达到最大值2-12无阻尼系统受题2-12图示的外力作用，已知，求系统响应。题2-12图解：由图得激振力方程为当 0

11、t t1时，则有由于，所以有当t1 t t2时，则有 当 t t2时，则有+ 0 2-13如题2-13图的系统，基础有阶跃加速度，初始条件为，求质量m的相对位移。题2-13图解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为令，则有得到系统的激振力为，可得响应为其中，。2-14上题系统中，若基础有阶跃位移，求零初始条件下的绝对位移。解：系统振动的微分方程为即 基础有阶跃位移,故=0 =，则有得到系统的激振力为，可得响应为其中，。2-15 求零初始条件的无阻尼系统对题2-15图示激振力的响应。题2-15图 解：由图得激振力方程为当 0 t t1时，则有当t t1时，则有 2-16 零初始条件的无阻尼系统受题2

12、-16图的外力作用，求系统响应。题2-16图解：由图得激振力方程为当 0 t t1时，则有当t1 t t2时，则有 当 t t2时，则有 + 0解：运动微分方程为 当时，当时， 算法同上，所以有 当时，+0系统响应为2-17 零初始条件的无阻尼系统受题2-17图的半正弦脉冲作用，若，求系统响应。题2-17图 解：由图得激振力方程为当 0 t t1时，则有2-18求无阻尼系统对题2-18图的抛物型外力的响应，已知。题2-18图解：由图得激振力方程为当 0 t t1时，则有当 t t2时，则有 2-19无阻尼系统的支承运动加速度如题2-19图所示，求零初始条件下系统的相对位移。题2-19图解：系统

13、运动的微分方程为令，则由图得支承运动加速度方程为当 0 t t1时，则有 2-20 求零初始条件的无阻尼系统对题2-20图所示支承运动的响应。题2-20图解：系统运动的微分方程为由图得支承运动方程为当 0 t t1时，则有当 t 解得：解：由已知条件可求出系统的质量矩阵和柔度矩阵分别为 设振型 则可得 把它们代入下式 可求得： 5-4 用邓克莱法求题4-5系统的基频。题4-5图解：按材料力学挠度公式，则有,由邓克莱公式得题4-7图5-5 用邓克莱法求题4-7系统的基频。解：由材料力学知，同理：由邓克莱法知：解之得：5-6 用矩阵迭代法计算题4-5系统的固有频率和主振型。题4-5图解：由材料力学

14、的知识得柔度矩阵为可得到动力矩阵：对初始假设矩阵进行迭代 与之对应的第一阶主振型：下面是求第二阶主频率和主振型：经过6次迭代，下面是求第二阶主频率和主振型：经过1次迭代，题4-7图5-7 用矩阵迭代法计算题4-7系统的固有频率和主振型。解：得系统的质量矩阵和柔度矩阵 取假设振动 由于与之对应的第一阶主振型下面计算第二阶振型和频率：得到含清除矩阵的动力矩阵 假设初始振型为，经过8次迭代后得到下面计算第3次振型和频率：用同样的方法可得经过三次迭代，最后的结果是：题4-8图5-8 用矩阵迭代法计算题4-8系统的固有频率和主振型。解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为，可得动

15、力矩阵D=设初始假设振型 =进行迭代 经过一次迭代后 得=由于所以 即与之对应的第一阶主振型为 又由于所以可得含清除矩阵的动力矩阵选取初始假设振型=第二次迭代 =由于所以 所以与之对应的第二阶主振型为 =由于6m所以可得动力矩阵 假设=第二次迭代由于所以所以所以第三阶振型为综上所得可以写出主振型 固有频率为，5-9 用子空间迭代法计算题4-5系统的第一、二阶固有频率和主振型。题4-5图解：系统的质量矩阵、刚度矩阵、柔度矩阵。现取假设振型由动力矩阵迭代得到分别归一化得到求得、再由李兹法特征植问题为即 其中。由上述方程非零解的条件得频率方程解所以重复上述过程进行第二次迭代，有归一化得则有由有得则结束迭代，求得系统的前二阶固有频率及相应的主振型5-10 用传递矩阵法求题5-10图所示系统的固有频率和主振型。题5-10图5-11 题5-11图示的悬臂梁质量不计，抗弯刚度为EJ，用传递矩阵法求梁横向弯曲振动的固有频率和主振型。题5-11图5-12 用传递矩阵法求题4-5系统的固有频率和主振型。题4-5图习 题 六6-1 一等直杆沿纵向以等速v向右运动，求下列情况中杆的自由振动(1) 杆的左端突然固定；(2) 杆的右端突然固定；(3) 杆的中点突然固定。解；(1)杆的左端突然固定；杆的初始条件为： 有题可知得 ，所以有：进而有：%全部改成：6-2 求下列情况