点线面位置关系例题与练习(含答案)

1、点、线、面的位置关系复习 一、选择题1设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若，则 若，则 若，则 若，则 其中正确命题的序号是 ( )A和B和C和D和【解析】：A 若，则，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 若，则，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交2.若a，b是两条异面直线，是两个不同平面，a，b，l，则()Al与a，b分别相交 Bl与a，b都不相交Cl至多与a，b中一条相交 Dl至少与a，b中的一条相交【解析】：假设l与a，b均不相交，则la，lb，从而ab与a，b是异面直线矛盾，故l至少与a，b中的一条相交选D.3在三棱锥中,底面,则点到平面的距离是(

2、 ) A B C D【解析】：B 作等积变换4在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（ ） A B C D【解析】：B 垂直于在平面上的射影5在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为，则二面角的余弦值为（ ）A B C D 【解析】：C 取的中点，取的中点，6四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）A B C D【解析】：C 取的中点，则，在中，二、填空题7点到平面的距离分别为和，则线段的中点到平面的距离为_【解析】：或 分在平面的同侧和异侧两种情况8从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_。【解析】： 每个表面有个，共

3、个；每个对角面有个，共个9正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_。【解析】：60 度10在正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,过作与分别交于和的截面，则截面的周长的最小值是_【解析】：11 沿着将正三棱锥侧面展开，则共线，且 三、解答题11.如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD 【解析】：(1)因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以D1DBD.又因为AB2AD

4、，BAD60，在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcos 603AD2，所以AD2BD2AB2.所以ADBD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1. 又AA1平面ADD1A1，故AA1BD. (2)如图，连接AC，A1C1. 设ACBDE，连接EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以ECAC.由棱台定义及AB2AD2A1B1知A1C1EC且A1C1EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形因此CC1EA1.又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD.12.在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD2，BC4，P为平面ABCD外一点，且PAPB

5、，PDPC，N为CD的中点(1)求证：平面PCD平面ABCD；(2)在线段PC上是否存在一点E使得NE平面ABP？若存在，说明理由并确定E点的位置；若不存在，请说明理由【解析】： (1)证明：取AB中点M，连接PM，PN，MN，则PMAB，PNCD.又ABCD为直角梯形，ABBC，MNAB.PMMNM，AB平面PMN.又PN平面PMN，ABPN.AB与CD相交，PN平面ABCD.又PN平面 PCD，平面PCD平面ABCD.(2)解：假设存在在PC，PB上分别取点E，F，使BFBP，CECP，连接EF，MF，NE，则EFBC且可求得EFBC3.MN3且MNBC，EFMN且EFMN.四边形MNEF

6、为平行四边形，ENFM.又FM平面PAB，在线段PC上存在一点E使得NE平面ABP，此时CEPC.13.如图所示，在直角梯形ABCP中，AP/BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将沿CD折起，使得平面ABCDADPCBGEFPDABGCEF（）求证：AP/平面EFG； () 求二面角的大小【解析】：解:() 证明:连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO E,F分别为PC,PD的中点,/,同理/, / 四边形EFOG是平行四边形, 平面EFOG又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA/EO平面EFOG,PA平面EFOG, PA/平

7、面EFOG,即PA/平面EFG （2）取AD的中点H，连接GH，则由GHCDEF知平面EFG即为平面EFGH，由已知底面ABCD为正方形ADDC又PD平面ABCDPDCD又PDDC=DCD平面PAD又EFCDEF平面PADEFFD，EFFHHFD为二面角的平面角在直角三角形FDH中，由FD=DH=1得HFD=45，故二面角G-EF-D的平面角为4514.正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面上寻找一点K，使得EK侧面PBC。试确定点K的位置，并加以证明。【解析】：（1）连交于点，连PO，则PO面ABCD， PAO就是与底面所成的角， tanPAO=。设AB=1，则PO=AOtanPAO = 。设F为AD中点，连FO、PO，则OFAD，所以，PFAD，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角。在Rt中， 。即面与底面所成二面角的大小为（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，。 就是异面直线PD与AE所成的角或其补角。在Rt中，。 。由，可知：面。所以，。在