中学数学思想和方法的教学

1、科利华电子图书 数学教师用书目录数学思想4初中数学教学中关于数学思想和方法的教学4发挥课本功能 渗透数学思想6数学思想在初一代数中的渗透9重要的数学思想方法11数学思想在解题中的应用14着重考查数学思想方法17中考题数学思想方法归类析解22用函数与方程的思想解有关选择题26用方程思想解题29运用方程思想解证不等问题32初中数学中的转化思想37转化思想在数学总复习中的几点应用42运用辩证思想优化解题途径44浅谈数学中的一种常用解题策略转化48例谈“转化”与“联想”在解题中的作用52用化归思想解题一例54学会分类方法提高讨论意识54掌握分类思想很重要59用分类讨论法解题举隅62切不可忽视“不等于零

2、”的规定-从一例错解谈起63整体思想与解题68整体考虑法解题72代数情境中的几何题74数形互助浅说77数形结合化难为易79几何问题中的方程组82平面几何中的函数问题85代数问题的图形解法89用图形解代数题92数形结合显神通94数形结合解函数综合题97一类数形结合的新型中考题104数与形的一个巧妙结合点111注重图形“再现”拓展思维空间114初学几何时要注意培养学生的看图和画图能力115数学方法118关于配方法的应用118配方法在解题中的应用121待定系数法的应用124漫谈数学归纳法127换元法在初中数学中的应用131换元法解方程134二元代换法的妙用140常量代换法142用两数和与差换元解不定

3、方程145解答代数题的常用代换法148用“减元”思想证明条件恒等式153“配对法”应用举例156增补法在解题中的若干应用158几何中的补形法162用“夹逼法”逼出结果167“夹逼法”解题例谈169用“夹逼法”173用特殊值法解题175巧取特殊值解选择题177构造法五例179运用构造解题法182构造图形解代数题186构造方程解方程（组）（初二）189构造逆命题的逻辑方法194反其道而行之-漫话反证法199反证法教学浅议206谈反证法208也谈反证法211何时宜用反证法213反证法的优越性216关于反证法的课堂教学研究217选择题的分类思路223例谈观察在数学解题中的运用228试谈数学教学中观察能

4、力的培养229漫话观察、联想、推理素质训练231农妇卖蛋问题与倒推法235数学思维237一个事关世界观的问题数学意识237思维能力培养与数学问题设计237强化课堂教学中的思维训练240引导学生充分经历获取知识的思维过程244谈初中数学动态思维的培养246略论数学形象思维251动作性思维与数学教学255数学教学中演绎推理能力的培养264中学数学教学中辩证思维能力的培养270解题回顾与数学思维品质的培养275浅谈数学思维能力的培养从“墓碑上的方程”谈起280应重视培养学生的数学直觉思维意识282在思维活动中提高运算能力285在计算中促思维品质优化286准确理解灵活转换发展能力289初中数学教学中逆

5、向思维的训练294逆向思维培养途径举隅296注重逆向思维能力的培养300“草船借箭”的启示谈谈数学解题中的逆向思维302用逆向思维解中考题304数学的创造性思维*307浅议数学创造性思维能力的培养313培养学生创新思维的教学途径316数学思维教育与创新素质的培养318在探索性问题中培养学生的创新能力319数学思维的分合模式320对问题解决中思维定势的再认识323突破思维定势 变换解题思路329视觉思维定势与“模糊图形”的图、底变换330数学学习中思维定势的负面影响及其消除334突破思维定势的数学中考题337数学解题的几种思维模型339变换思维角度 谋求解题策略342概括化在数学教学中的应用分析

6、345几何解题如何选择思维起点？348352数学思想初中数学教学中关于数学思想和方法的教学福建宁德地区教师进修学院 陈细容九年制义务教育全日制初级中学数学教学大纲(初审稿)以下简称“义务大纲”)对初中数学中的基础知识作这样描述：“初中数学中的基础知识包括初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理等，以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”把数学思想和方法作为初中的基础知识在大纲中明确提出来还是第一次，但在教学中渗透数学思想和方法却不是新问题虽然1993年才开始实施“义务大纲”，但对数学思想方法的要求完全适用于今天的教学一、把握“层次”克服盲目性综观“义务大纲”，在初中要求学生“了解”

7、的数学思想计有：转化的思想、分类的思想、数形结合的思想、类比的思想；要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法；要求“理解”或“会应用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法这里“了解”、“理解”、“会应用”是教学要求的具体尺子，随便提高或降低都会给这一基础知识的教学带来灾难特别是若把“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“灵活应用”的层次，那么学生一开始便会觉得数学思想方法是高深莫测的，便失去了学习的信心二、讲“方法”联系“思想”，以“思想”指导“方法”，两者相得益彰数学思想和方法本来是不能截然分开的，中学数学中用到的各种方法都体现着一定的思想，但

8、数学思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象，而方法较具体，它是实施有关思想的技术手段，对于初中学生来说尤其如此因此，通过对数学方法的理解和应用以达到对数学思想的了解，是使思想与方法得到交融的有效方法例如，初中数学中涉及最多的是转化的思想，大致有从“未知”到“已知”的转化、一般与特殊的转化、数与形的转化、升维与降维的转化、由此及彼的转化等为了实现转化，引入了许多数学方法，比如消元降次法、换元法、图象法、待定系数法、配方法等通过以上重要方法的学习，使学生充分领略了数学思想的风采同时数学思想的指导，又推进了数学方法的使用例 1 解方程： 解 移项，把原方程变形为 解得t1=2=求得 x=解无理方程的

9、实质就是把无理方程转化为有理方程，转化的方法就是把方程的两边同时乘方或换元，原方程结构复杂，两边平方不会达到目的因此只有换元，而本题换元须要有一个巧妙的构思这个构思过程使学生对换元法理解得更深刻了三、既要重点讲解，又要逐步渗透教材中的许多概念、公式、定理等本身就蕴含着丰富的思想方法的内容如分类的思想方法，“义务大纲”虽在“三角形”和“四边形”这两部分内容才具体提出要求，但分类的思想方法在教材的许多内容都已涉及到例如有理数概念的教学有理数这是一个以外延定义的概念，课本中这样叙述：“整数和分数统称有理数”它揭示了有理数的所有外延，既不扩充也不遗漏，这本身就体现了分类的思想方法，在教学中，对有理数可

10、作出不同的分类并用语言表达分类思想的两大原则：a、按一定的标准进行分类，不同的标准得到不同的分类b、不管以何种标准分类所分出的类别对总体来说不能有遗漏，类与类之间不能有重复几何中有更多的分类内容，如：角的分类、三角形的分类、四边形的分类，圆周角定理的证明、圆幂定理的证明、弦切角定理的证明、正弦定理的几何证明等等，不一而足，这些教材都为分类的思想方法提供了极好的素材，应当重视使用四、寓数学思想方法于教材教法之中，优化学生思维品质数学思想方法不同于其他基础知识，不能用符号、图形、式子等表示，不可能在一节或几节课内完成为了使学生在初中三年得到一些数学思想方法方面的陶冶，只有教师在平时的课堂教学活动中

11、结合教材、教法有意识、有目的地进行传授，使学生慢慢地消化吸收天长日久才会潜移默化1经常归纳，训练思维的深刻性归纳的思想就是由个性到共性，由特殊现象归纳出一般的规律，从而从本质上把握事物例如，一元一次方程应用题中关于浓度问题的教学，引导学生做如下练习：现有含盐10%的盐水300千克，1要配成含盐8的盐水，需要加水多少千克？2要配成含盐15%的盐水，需要加盐多少千克？3配成含盐18%的盐水，需要加入含盐25%的盐水多少千克？做完了以上练习之后，教师启发学生思考：如果把水的浓度看作0%，盐的浓度看作100%三种类型的列式可否归纳为一种？2类比联想、训练相似思维相似思维就是从一个事物的性质和变化规律，

12、去研究和发现另一有相似性事物的性质和变化规律，从而寻找解决问题的方法，相似思维需要联想，而类比的方法是联想的一种有效途径如列一元一次方程解应用题，在讲完了行程问题之后，再讲工作量问题，可以引导学生这样思考：比较时间与工作日，速度与工作效率，距离与工作总量的意义；写出各自三个量之间的关系；分析在列方程的过程中，等量关系是否有类似之处？经分析得出：可以把工作量问题按照行程问题一样处理另有工程问题、水流问题都与行程问题基本一致3寻求转化，训练创造思维前面提到，转化的思想是初中教材中涉及最多的数学思想，转化思维是创造思维的核心例2 证明方程(x-m)(x+n)1有二实根，且一根大于m，一根小于m 此题

13、若用常规方法是十分困难的，但若能联系二次函数的图象，应用数与形的转化，会使问题很快地得到解决证 设y(x-m)(x+n)-1，其图象为开口向上的抛物线，取其上一点(m，-1)，此点在x轴下方，根据抛物线向上无限伸展的特性，必然与x轴相交，交点a(x1，0)，b(x2，0)，必在(m，0)点的两旁，原题得证(图形略去) 总之，教师在教学的各个环节备课、讲课、课堂练习、作业布置等教学活动中，应努力挖掘适合于初中学生的有关数学思想方法的知识，使教学水平更上一层楼发挥课本功能 渗透数学思想江苏省泰兴市溪桥中学 吴志豪现行教学大纲明确指出：数学知识包括定义、定理、公式、法则等及其反映的数学思想方法因此，

14、在数学教学中，教师要注意发挥课本功能，在向学生传授基本概念和基本知识的同时，渗透一些数学思想方法，以帮助学生体会和掌握数学的本质本文谈谈具体做法：一、引导学生深刻理解教材中所蕴含的数学思想方法初中数学课本内容本身蕴含着丰富的数学思想方法，教师在教学中要引导学生理解并掌握它例如，“因式分解”这一章中蕴含的一个重要思想是“逆变换”整式乘法与因式分解是两种相反的整式变形，在讲因式分解定义时，就要突出地把整式乘法和因式分解写在一起，如a2-b2=2-b2让学生分清哪个是因式分解？哪个是整式乘法？由此渗透逆变换思想，并运用它掌握因式分解的方法这一章蕴含的另一个重要思想是“化归”思想在教学中要引导学生搞清

15、分组分解的实质是，通过适当分组，把各组看作一个整体，再运用前面所学过的方法进行因式分解学生以化归思想为指导，就易于突破如何分组这一难点二、根据学生思维水平，有计划地渗透数学思想方法学生受其知识水平和思维能力的限制，对数学思想方法的理解和掌握，不是通过一两节的课堂教学活动就能实现的，它是一个渐进过程教师要依据课本内容和学生的认识水平、思维能力，有计划地渗透数学思想方法例如对化归思想的教学，结合解方程，可作如下安排：第一阶段以有理数运算、一元一次方程的解法等内容为载体，渗透化归思想如解方程3x-1x+5分析 确定目标：x= 发现差异：等式左端多一项“-1”，右端多一项“x”消除差异：通过移项得2x

16、6再对照目标，找出差异：“x”的系数为2消除差异，达成目标：两边同除以“2”得x=在上述过程中，让学生在“无意”中接受了化归思想第二阶段到了学习二元一次方程组时，可正面突破化归思想，让学生理解二元一次方程组的解法，实质就是转化为已学过的一元一次方程化归的手段有代入消元、加减消元，并引导学生运用上述思想去解三元一次方程组等第三阶段这是进一步应用化归思想的阶段(1)解二次方程(组)、分式方程、无理方程、三角形等(2)继续应用化归思想于函数、相似三角形及后续教学三、在问题的探求中，引导学生运用数学思想方法在数学的发现和探求的活动中，特殊化起着揭示信息的作用通过特例的观察，进行归纳、分析，提出猜想，进

17、而通过验证，肯定或否定猜想，从而证明或修正结论如弦切角定理的教学可这样设计：1提出问题：弦切角与它所夹弧对的圆周角有何关系？2把问题特殊化：如图1，若ab是圆o的直径，ac为切线，aadb=3提出猜想：若 ab是圆 o的任意一条弦， ac为切线， a为切点，仍然有adb=4验证猜想：按照圆心o和弦切角cab的位置关系，当ab不是直径时，有两种情形(如图2、图3)，通过作直径ae把问题化归为特殊情形，进而验证猜想是正确的，这里化归思想得到了很好的应用在上述教学活动中，学生不是单纯地、机械地接受定理的内容，而是积极参与知识发现的探索活动，这样能充分调动学生思维的积极性、主动性，从而提高他们的思维素

18、质，发展他们的能力数学思想在初一代数中的渗透西南交通大学附中 文亦兵数学思想是数学的灵魂，只有掌握了数学思想，才能体会数学的奥妙，领会数学的精髓初中数学学习相对于小学数学学习是一个质的飞跃，从初一起始，在教学中注意结合课本，渗透整体思想、转化思想、分类思想、数形结合等数学思想，能使学生的学习更深入，理解力更强，并为以后的学习打下坚实的基础一、整体思想初中数学第一课“用字母表示数”，就充分体现了整体思想一个字母不但能代表一个数，而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等等例如计算：这里用一个字母表示一系列的数，使计算变得非常简洁，体现了整体思想的优越性又如，在有理数的加减和合并同类项等计算中，

19、将数字与它前面的符号“+”、“-”看成一个整体进行处理，就能避免一些容易出现的错误在运用公式时，更需要有整体观念如(a+b+c)2=2，就是首先将(a+b)看成一个整体，然后反复运用完全平方公式展开二、转化思想初中数学中关于有理数减法和除法的运算法则分别是：减去一个数等于加上这个数的相反数；除以一个数等于乘以这个数的倒数这两条法则充分体现了数学中的转化思想，即将未知的问题转化成已知的问题来解决又如，解二元一次方程组、三元一次方程组中的代入消元法、加减消元法等，其实质都是转化思想的体现，是将问题转化为已知的一元一次方程来求解的易想到将其转化为与完全平方公式有关的式子来解决三、分类思想初一代数在引

20、入有理数概念后，就有了分类思想，并在以后的教学内容中不断地强化这种思想在有理数的乘方运算中有：有了分类思想，掌握了“不重不漏”的分类原则，能使思维变得更严密，考虑问题更全面四、数形结合思想在学习数轴后，我们知道了数可以用数轴上的点表示，反之，数轴上的点也表示一个数，这就初步奠定了数形结合的思想在后续教学中，这种思想不断地得到体现如相反数的几何意义为：在数轴上的原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数绝对值的几何意义是：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0这种由形象与抽象的结合，使学生的思维得到

21、了锻炼，也为今后的学习奠定了基础总之，在初一的数学教学中，把握好以上几个典型的数学思想的教学，就能提高学生的学习效率，使学生受益终生重要的数学思想方法河北衡水师专附中 李金华在初一数学(包括代数、几何)中包含着许多重要的数学思想方法，需我们去挖掘和应用1抽象化的思想用抽象的字母表示数，用抽象的代数式表示量与量之间的关系通过对式子的演绎变化使问题得以解决，是数学中基本的思想方法(1)用“字母表示数”的思想；例1 计算 199519971997-199719951994 解 设x= 原式=(2)“列一次方程(组)解应用题”是抽象化思想方法的体现和应用；(3)平几中的“几何体、平面、直线和点”是从物

22、体外形抽象出来的2整体化的思想课本上应用幂的运算法则和乘法公式时，多次提到将一个代数式看作一个字母，这就是整体思想例2 有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨， 5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可运货多少吨？ (代数第一册(下)40页第2题)分析 设一辆大车与一辆小车一次分别运x吨、y吨，据题意得 由于本题要求是算出3x+5y，因此，可以不求x、y的值，用整体思想直接求解7-得 9x+15y=即 3x+5y=3转化的思想方法转化思想是将一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想，通常有未知向已知的转化，复杂向简单的转化，一般与特殊的

23、转化等等(1)基本数量关系的(2)有理数的(3)“解一元一次方程和列一次方程解应用题”体现了“未知”可以转化为“已知”的思想方法(4)解一次方程组体现了“三元”转化为“二元”，“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，进而体现了把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”的思想方法(5)(6)(7)平几中“推理”的引入是由简单到复杂，由部分到整体的4归纳的思想方法义务教材代数第一册(上)20页关于瓜子售价的实例；代数第一册(下)第七章中幂的运算法则的推导；从幂的运算法则到多项式的乘法再到乘法公式的学习都反映了归纳的思想方法以及“由特殊到一般”，“由一般到特殊”认识论的方法5分类的思

24、想方法6数形结合的思想(1)利用数轴可以直观地表示有理数；(2)一元一次不等式(组)的解集可以在数轴上直观地表示出来；(3)关于线段(角)的大小比较、两条线段(角)的和差，一条线段(角)的几倍与几分之一，学习时是先以图形直观地给出，再说明它们与线段(角)的有关度量的一致性，达到形和数的结合7数式通性的思想有理数的加法、乘法运算满足交换律、结合律及分配律，整式的加法与乘法运算同样满足8对立统一的思想已知与未知，特殊与一般，正与负，加法与减法，乘法与除法，等与不等，平行与相交既是对立的，又是统一的，在一定条件下，可以互相转化数学思想在解题中的应用安徽省肥东县三中 林增扬义教数学大纲明确指出：引导学

25、生在学好概念的基础上掌握数学思想近几年各地中考明显重视了对数学思想的考察，这种类型的试题题型新颖、综合性强常见的数学思想有函数和方程思想、化归思想、数形结合思想、分类讨论思想下面举例说明：1函数和方程思想例1 如图1，公路上依次有a、b、c三站，上午8时，甲骑自行车从a、b间距a站18千米的p处出发，向c站匀速前进，15分钟到达离a站22千米处若a、b间和b、c间的距离分别是30千米和20千米，问从上午几点几分到几点几分，甲在b、c两站之间(不包括b、c两站)？ 解：设x小时后，甲离a站y千米，则y关于x的函数关系式为y= 例2如图2，等腰梯形abcd中，abcd，ceab于e，若 ac= 证

26、明：过c作cfbd交ab的延长线于f，则四边形cdbf为 整理得5x2+2xy-3y2=0，即(5x-3y)(x+y)=0x+y0，5x-3y=0，xy=35，即 cdab=2化归思想3数形结合思想与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，其中点a在点b左边，若解：根据题意，画出图3设 a(a，0)、b(b，0)，由图可见a0，b0，则oa= ab=由 c(0，2-m)和 2-m0，得 co=acb=m1=4， m2=点c的坐标为(0，-2)，oc=解得a=4分类讨论思想点，与y轴交于c点，若abc是等腰三角形，求抛物线的解析式着重考查数学思想方法浙江省天台县平桥镇中学 丁祖茂1999年台州市中考

27、试题突出了考查学生运用数学思想方法解决数学问题的命题思路现举例分析如下1方程思想例1 如图1，e是正方形abcd的边cd的中点，ae与bc的延长线相交于点f，ae的中垂线分别交ae、bc于点h、g，已知fg15，则正方形abcd的面积等于_ 本题在rthgf中应用勾股定理，列出方程，问题很快得到解决解 设正方形边长为x，则由adefce，得 x2=2、函数思想本题考查学生能否借助函数关系来思考并解决问题例2 如图2，在rtacb中，c= (1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围(2)当x取何值时，y取得最大值，并求出其最大值解(1)在rtacb中，c= apx，aqab-bq5-2xp

28、、q从始点到达终点所需时间分别为4秒和2.5秒， 自变量x的取值范围为0x2.53分类思想本题考查了学生能否把问题按参加夏令营的学生人数这一标准，分为三种情况逐一讨论解决例3 某校师生要去外地参加夏令营活动，车站提出两种车票价格的优惠方案供学校选择，第一种方案是教师按原价付款，学生按原价78付款；第二种方案是师生都按原价80付款，该校有5名教师参加这项活动，试根据参加夏令营的学生人数，选择购票付款最佳的方案 解 设该校有学生x人参加，车票原价为每人a元第一种方案需付款y1元，第二种方案需付款y2元根据题意，得 y1=2=若y1y2，即5a+0.78axa(5+x)0.80，x50(人)；若y1

29、y2，即5a+0.78axa(5+x)0.80，x50(人)；若y1=2，即5a+0.78ax a(5+x)0.80，x=答：学生参加的人数少于50人时，选择第二种方案付款少；学生参加的人数多于50人时，选择第一种方案付款少；学生参加的人数等于50人时，两种方案付款相同4转化思想本题考查学生能否通过转化问题的某些条件或结论的形式，使已知和未知之间的关系更加清晰、直接例4 如图3，已知ab为o的直径，c为ab延长线上的点，以oc为直径的圆交o于d，连结ad、bd、cd (1)求证cd与o相切于点d；(2)若ab=(1)证明 连结odoc是圆的直径，odc=od为o的半径，cdod，cd与o相切于

30、点d(2)解 cd是o的切线，ca是o的割线，ab=bd是o的弦，bdc=bcd= ab是o的直径，adb=5数形结合思想本题考查学生能否运用数形结合的思想方法，综合运用代数、几何知识解题例5 已知抛物线y= (1)写出a，b，c各点的坐标(可用含m的式子表示)；(2)若abc的面积为15，求抛物线的函数解析式；(3)过点 e(0，-2)作 edac，在第一象限交抛物线于点d，求ed的函数表达式，问四边形abdc的形状及其面积，并证明你的结论解(1) m1， a(m-1，0)，b(3，0)，c(0，3-3m)(2)m1，ab=abc=m=把m-1代入y=得y=2+x+6(3)由a(-2，0)，

31、c(0，6)可得直线ac的函数表达式y3x+6如图 4，deac，又 ed过 e(0，-2)，可得 ed的函数表达式为 y=过点d作dex轴交y轴于f，则f(0，4)在rtaoc与rtdfe中， rtaocrtdfe则ac=四边形中考题数学思想方法归类析解广西 钟述慧答好试题，是每个同学梦寐以求的事情怎样学会解题呢？如果我们将数学的解题过程稍做分析、归纳，不难发现，很多看起来不同的题目，都有着相似的解题思路、方式把解题过程概括、提炼，就形成了数学学习最重要的内容数学的思想和方法抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，这既是数学命题的热点，更是提高解题能力根本之所在下面以近年试题为例，就几种

32、重要的数学思想方法作些分析说明一、化归思想 在解题过程中，往往不是对问题进行正面的、直接的攻击，而是把问题进行变形、转化，直至把它化为某个(些)已经解决了的问题，或者容易解决的问题，这就是化归思想例如，解方程时的换元、消元和配方等，几何图形的分割组合，直角坐标系中的对应，还有引用参数转化等等，都是化归思想的具体表现 法，实质上是把三个不同的量x、y、z，化归到同一变元k中，计算就简便了求k的值(98南京试题)分析直接求k不容易，但立即看到：x1+x2=1 x2=解题无需具体求出x1，x2，只是从k转到x1+x2，再转到x1x2(已知)，可以说，解题过程就是一连串的转化过程例3如图，圆内接四边形

33、abcd的外角dchdca，dpac，垂足是p，dhbh，垂足是h求证：ap= 分析证明线段相等，可以转化为证明三角形全等必须构造包含bh的直角三角形于是连结bd，可见：dac=可见，在化归的具体操作中，联想是至关重要的，而角度转换则是常用的技巧二、数形结合 数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”许多问题若能把几何与代数结合，同时挥舞“数”与“形”两个翅膀，解题能力就会产生飞跃 例4已知a0，b0，a+b0，则a，a，b，-b从小到大的顺序是_(97常州市试题) 分析题目看似简单，如果直接按“数”去排序，又烦又易出错！借用“形”数轴帮助，由a+b

34、0，得ab则有：显而易见：baab用“形”直观启示“数”的关系，以“数”来澄清准确“形”的模糊，这就是数形结合的思想方法例5设c为线段ab中点，bcde是以bc为一边的正方形，以b为圆心，bd为半径的圆与ab及其延长线相交于点h、k，证明：ahak=2(98乌鲁木齐试题) 分析 本题一般可用几何证法下面代数的证法更显得数形结合的简捷：设bc=ah=2=2当线段之间隐含着数量关系时，可以考虑用代数法帮助几何证明三、分类讨论 众所周知，学校里要检查全校同学到校的情况，如果逐个同学点名，则费时费事；如果用分班检查的方法，就又快又准这就是解决问题的一种科学方法分类讨论在数学中分类求解的问题不少，分类的

35、要求是不遗漏、不重复，而且每一类都容易解决问题 例6如图，pa、pb是o的切线，a、b是切点，apb78，点c是o上异于a、b的任意一点，那么acb= 分析很多同学只得答案51而被扣分！事实上，a、b两点把圆分成了两部分(类)，每一部分上的点与a、b连线所成的角相等，题中点c是任意的，正确答案是51或129有了分类讨论的思想，解答才严密、完整例7已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边 x，试写出梯形面积s关于x的函数式，并指出自变量的取值范围(97北京市试题)分析先作一个矩形帮助思考，如图，即有 ab+ ad6，且ad

36、4，ab2过点a作射线与矩形一边所成的角时，题目没有指明是哪一条边，存在两种可能，分类讨论就成为必要了四、数学选择 掌握了一定的数学思想方法后，面对试题，如何选择方法去解题、选择语言去表述、选择正确的答案，这都是数学选择数学选择常用的是逻辑的方法，如归纳、演绎、分析综合等，也有非逻辑的方法，如直觉、联想等 例8给出下列算式： 32-128152-328272-528392-7284观察上面一系列等式，你能发现什么规律，用代数式表述这个规律(98安徽省试题)分析 本题要得到的答案与一般问题不同，要发现规律一般的解题方法无用武之地，选择新的方法是第一步可以从少到多、从特殊到一般去探寻、发现、猜想等

37、式右边简单一些，容易发现是按顺序写出：81，82， 83第n个等式就是8n(n为自然数)；左边则是奇数奇数的差相邻两个奇数的差，于是规律就形成了：(2n+1)2-(2n-1)28n例9如图，在半圆o的直径ab上任取一点c，分别以ac、bc为直径作半圆，过c作cdab交圆周于d，cd的长为h，则圆中阴影部分面积为( )(97镇江市试题)分析直觉告诉我们，当c与o重合时，有对称美，又好计算！而先选择方法，往往事半功倍！用函数与方程的思想解有关选择题承德市教委教研室 贾增辉在初中数学学习中，函数与方程的思想占有重要的地位，真正把握函数与方程的思想，增强用之解决问题的意识，这对提高学生解题能力是非常必

38、要的，是会收到好的效果的下面仅对解一些选择题举几个有代表性的例子一、条件含变数，答案是常数的选择题(a) 0(b) 1(c)-1(d) 2分析 答案中4个选择支，均为常数，说明该代数式作为x的函数是一个常函数故可令x= 对这类题在选特值时一定要以运算简单为出发点，对于含有两个或更多个变量的题均可这样做二、条件与答案都含变数的单项选择题分析 正确选择与原式应该是恒等的令x=-1，原式=-1，再代入 4个选择支，只有(c)的值为-1，所以应选(c) 例3 多项式 x3-y3+x2y-xy2+x2-y2分解因式的结果是 (a)(x2+y2)(x+y+1)(b)(x-y)(x+y+1)(x+y)(c)

39、(x-y)(x+y)(x-y+1)(d)(x-y)(x+y)(x+y-1)分析 如果令x= 三、有关比较大小的选择题则m、n的关系是(a) mn(b) m=(c) mn(d)不确定解 因对任意满足ab= 四、隐含多项式恒等条件的选择题例6 设代数式x3+ax2-16有因式x-2则a的值是 (a)8(b) 2(c)-2(d)-8解 令x=3+22a-160， 此解避免了繁琐的竖式除法运算错误(a)3(b) 4(c) 5(d) 6解 因条件所给的是恒等式，所以分别令x= 2a+b=4， 3a+2b7,两式解得： a=1， b=2有 ab2=五、条件求值的选择题例8 已知a、b为实数，ab0，且满足

40、(a2+b2)3=3+b3)2 (1+x2)3=3)2+8x3，综上所述，一类选择题用方程与函数的思想来解决往往简捷快速，对培养学生分析问题解决问题的能力是有利的用方程思想解题湖北省钟祥市石牌二中 钱必胜学习了方程(组)，要善于运用方程(组)的思想解决有关的数学问题其关键是要分析问题中的数量关系，灵活地找到相等关系，让未知和已知联系起来，列出相应的方程，通过解方程达到解决问题的目的一、根据图形特点构造方程组例1 如图1，正方形边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求所围成图形(阴影部分)的面积 分析 本题用割补化归，分解组合，等积变形等方法均可求解，但用方程思想解题更新颖由图形对称性可知，每

41、片叶形面积相等，每个空白面积也相等设每片叶形面积为x，每个空白面积为y，则有 二、根据方程的概念构造方程分析 这是一个无穷分式，若靠常规方法是难以解决的如果设 三、根据方程特点求解分析 此方程若按常规解需二次平方，变为一个复杂的高次方程难以解出若利用平方差公式巧构一个新方程，辅助求解便可化难为易 将方程与方程相乘，便可求出y=因此x1-4，x2=经检验x1-4，x23都是原方程的解y=从而解得 x1=23四、根据等式中的对应关系构造方程例4 分解因式2x2-3xy-2y2-3x-4y-2 分析 此式是一个二次多项式，若能分解则一定是两个一次因式积的形式，而多项式中的二次项可分解为(2x+y)(

42、x-2y)的形式所以可以设想此式最终形式为(2x+y+a)(x-2y+b)，然后将设想结果展开与原多项式各项系数的对应关系列方程，即可求出常数a、b 设2x2-3xy-2y2-3x-4y-2(2x+y+a)(x-2y+b)，展开等式的右边有2x2-3xy-2y2-3x-4y=2-3xy-2y2+(2b+a)x+(b-2a)y+ab，因此 a+2b-3，b-2a-4，ab-2，解得 a=所以原多项式可分解为(2x+y+1)(x-2y-2)五、根据定理构造方程例5 如图2，三条弦pp1、 rr1、 qq1两两相交，交点分别为 a、b、c，若 ap=1bp1=1，求证abc为等边三角形 分析 由题设

43、和根据相交弦定理可列出很多等式，故此题可考虑用字母表示线段列方程，通过解方程求出三角形三边的线段不妨设bc=1=1=1= 从而有(x+y+z)(m-n)=0即mn，代入，得 x=y，代入，得 y=z，所以 x=运用方程思想解证不等问题上海复旦二附中 崔之骍方程是代数的重要内容，也是重要的数学方法，很多数学问题都可以转化成方程问题来解决但是方程思想的运用，并非仅限于列方程、或方程组求解，有关方程的所有知识在各类问题中有着广泛的应用其中一元二次方程根的判别式有其独特的作用，由于它有大于零、等于零、小于零的三种情况，分别决定了方程两实根的相异、相同或不存在，这就使我们能运用这一知识来解决一些与不等相

44、关的问题，如不等式、字母或式子的取值范围、函数的值域、变量的最大值或最小值等在运用这一知识解证不等关系的问题时，应先建立一元二次方程，然后再运用根的判别式以下举例说明一、求实数或代数式的取值范围例1 已知实数a、b，满足a2b2+5a2+2ab5a+1= 证明 将条件等式整理成关于a的一元二次方程 (b2+5)a2+(2b-5)a+1=a为实数，=2- 4(b2+5)= x为实数， =2+8k-3=例3 已知a，b，c是实数，且abc1，a+b+c=0，求证 a，b， 证明 由abc1，a+b+c= 例4 实数a，b，c满足 a2-bc+5a-2=0， b2+c2+ bc+3a-30， 求a的

45、取值范围解 由条件等式，得bc=2+5a2， 由条件等式，得(b+c)2=bc3a+3， 将式代入式，得(b+c)2=2，b+c=实数根， =218a+90，二、解证几何问题中的最大值、最小值或不等关系例5 如图1，边长为a的正方形mnqr内接于abc，mn在bc上，r、q分别在ab、ac上，ad为高求证 bc+ad4a 证明 rqbc， arqabcadbc，adrq，得 bcada(bc+ad)0设bc+adm，则ad=bc(m-bc)am0，bc2-mbc+am=bc的长为正实数，m2-4amm(m4a)0，m0， m-4a0， m4a即 bc+ad4a例6 半径为1的圆o内切于rtab

46、c，则 sabc不小于 解 如图2，设c= a+bc+2a2+b2c2，(a+b)2-2abc2, a，b为一元二次方程x2-(c+2)x+2c+2=24c40例7 一块扇形铁片的圆心角为60，半径为1，要利用此铁片截出面积最大的矩形(扇形的对称轴垂直于矩形的一边)，问最大面积为多少？ 解 如图3，设矩形cdef内接于扇形oab，c在oa上，d、e在弧ab上，f在ob上，过o作ogde交dc延长线于g，连结od则c= 设cdx，coy，又设矩形cdef的面积为s，则s=在rtogd中，og2+dg2=2，从以上各例可以看出，运用一元二次方程的知识解决不等关系问题时，一般分成两步，第一步，建立一

47、元二次方程从相等关系入手建立方程的方法很多，可以将已知等式中的某一字母作为主元，把原式化成关于该主元的一元二次方程；可以将条件给出的代数式设为某一字母，构成等式，再变化成一元二次方程；可以由已知中所含的两数和、两数积，根据一元二次方程根与系数的关系构造方程；也可以根据题意或几何图形，运用相关知识列出方程等等，方法因题而异第二步，由方程的根为实数，确定判别式为正或非负，转化为不等关系，再由此推出结果初中数学中的转化思想北京214中 王永俊转化思想是常用的数学思想之一它是指在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为已知的或比较简单的问题来解决，因此转化思想在初中的代数、几何中成为一个重要的数学思想

48、初中的代数、几何中大量地渗透着转化思想，下面仅举几例加以说明一、代数中的转化思想1概念性的转化有些问题，在学习时我们并没有意识到它含有转化思想，然而掌握巧妙转化，使应用得心应手又如：例1 解关于x，y的方程组 分析 本题若解方程组，解法较繁但若用方程根的定义则可更漂亮地解决 解 若a=b时，则方程组有无数组解因为此时方程组就等价于 x+ay=2这个二元一次方程，对于任意一个实数x，都可求得相应的实数y，因此它有无数组解若ab，则由已知方程组的定义，得a、b是方程x+yt=2(即t2-yt-x= 由韦达定理，得a+b=2方法上的转化方法上的转化常是通过一定的数学方法使复杂问题降低难度例2 把(a

49、b-1)2+(a+b-2)(a+b-2ab)分解因式 分析 一般地说本题难度很大但若用换元法就可转化为较易解的问题 解 注意本题特点，a+b与ab重复出现，于是设abx，a+b= 原式=2+(y-2)(y-2x)=2-2(y-1)x+(y-1)2(注意用公式)=2=2(代回)(a-1)(b-1)2(a-1)2(b-1)2例3 已知：x2+x-1=3+2x2+5的值 分析 这是条件求值问题，若由x2+x-1=解 x2+x-1= x2=原式=2+2-2x+5=转化的方法常不是唯一的灵活思考会得到不同的转化途径若把待求式拆拼出已知形式可得下列解法解法二 x2+x-1= 原式=3+x2-x)+(x2+x+5)=2+x-1)+(x2+x-1)+6=这叫凑零法还可以有多种方法，但用多项式除法原理则更简捷原式=2+x-1)+6 x2+x-10，原式=二、几何中的转化思想在几何的证明中大量存在转化思想1利用合同变换转化对称、平移、旋转称为合同变换，在几何中经常出现例4 已知梯形abcd中，cdab，bad+abc= 分析 本题求证中线段的关