2020-2021学年新教材数学人教B版选择性必修第一册课后提升训练：2.1　坐标法

1、好好学习，天天向上第二章平面解析几何2.1坐标法课后篇巩固提升基础达标练1。数轴上的三点m,n,p的坐标分别为3，1,-5，则mp+pn等于()a。4b.4c。12d.-12解析mp+pn=mn=-13=-4.答案a2。数轴上点p（x),a(8)，b（-4),若pa=2pb,则x等于（）a。0b。163c。163d。0或163解析因为|pa|=2pb|，所以x+8=2|x+4|,解得x=0或-163.答案d3.p(1，-2)关于a(1，1)的对称点p的坐标为（）a.(3,4)b.（-3,4）c.（3，4）d。（3,-4)解析设p点坐标为(x，y）,因为a为pp的中点,所以1+x2=-1,-2+

2、y2=1,解得x=-3,y=4,故p的坐标为（-3,4)。答案b4。已知平行四边形的三个顶点坐标为（3，-2),(5，2），（1，4），则第四个顶点不是（）a。（9，4）b。(1，8）c.（-3，0）d.(1,-3)解析设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论。(1)若点（3,-2），（5，2)为平行四边形的对顶点,则有3+52=-1+x2,-2+22=4+y2,解得x=9,y=-4,即(9,4);(2）若（5，2)，(1,4）为对顶点，同理可求第四个顶点为(1，8）;（3)若(3,2）,(1,4）为对顶点,同理可求第四个顶点为（3,0)。故选d.答案d5.在数轴上有点a(1），若点a负

3、向移动3个单位长度到达点b,则ab=。向量ab与以b为起点，终点坐标为的向量是相等向量。解析由于a（1)负向移动3个单位长度到达b点，所以b点坐标为2,则向量ab的坐标为3,若以b为起点的向量为-3,则终点坐标应为-5。答案356。已知abcd的三个顶点a（0，0),b（x1,y1），d（x2,y2）,则顶点c的坐标为.解析由于abcd的各顶点的顺序已经确定，因此点c的坐标是唯一确定的。根据平行四边形的性质对角线互相平分,再根据中点坐标公式,即可求出点c的坐标.设顶点c的坐标为（m,n），ac与bd的交点为o,则o为ac和bd的中点,根据题意得点o的坐标为x2+x12,y2+y12,又因为点o

4、为ac的中点,所以m+02=x2+x12,n+02=y2+y12，解得m=x2+x1,n=y2+y1，所以点c的坐标为（x1+x2,y1+y2).答案（x1+x2,y1+y2）7.已知四边形abcd的顶点a（4,3),b(2,5)，c(6,3），d（-3,0),e,f分别为边ab，bc的中点,求ce，de，af,df的长度.解设线段ab的中点为e(x,y），则x=-4+22=-1,y=3+52=4,则ce|=(-1-6)2+(4-3)2=52，de|=-1-(-3)2+(4-0)2=25.即ce，de的长度分别为52，25。设线段bc的中点为f(m，n),则m=2+62=4，n=5+32=4，

5、则|af=4-(-4)2+(4-3)2=65,df=4-(-3)2+(4-0)2=65,即af，df的长度都为65.8.如图所示,abd和bce是在直线ac同一侧的两个等边三角形,求证：|ae=cd|。证明以b为原点,以直线ac为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设abd和bce的边长分别为a,c,则有a(a,0），c(c,0）,d-a2,32a,ec2,32c.于是|ae=c2+a2+32c-02=c24+ac+a2+34c2=a2+ac+c2,|cd=c+a22+0-32a2=c2+ac+a24+34a2=a2+ac+c2,所以ae=cd。能力提升练1。当数轴上的三个点a,b，o互不重合时

6、,它们的位置关系共有六种情况,其中使ab=ob-oa和|ab=|ob|-oa同时成立的情况有（)a。1种b.2种c.3种d。4种解析ab=ob-oa恒成立,而要使ab=ob|oa|成立，则点a应在点o和点b中间,共有2种可能.答案b2。某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图所示的五边形,近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成,若ab=60 km，ae=cd=30 km,为了解决当地人民看电视难的问题,准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中p1，p2，p3，p4是ac的五等分点,则转播台应建在()a.p1处b。p2处c。p3处d。p4处解析以a为原点，建立如

7、图所示的平面直角坐标系，则p4（6,6),p3（12,12）,p2（18，18)，p1（24,24).设转播台的坐标为p（x,y）,则pa2+|pb|2+|pc|2+|pd2+pe2=x2+y2+(x-60)2+y2+（x-30)2+（y30)2+(x-30)2+（y-60)2+x2+(y-30)2=5x2(120+120）x+5y2-（120+120)y+2602+4302，故当x=24,且y=24时,|pa|2+pb|2+pc2+pd|2+pe|2最小,故p应在p1处.答案a3.使得x-3|+x+1|a恒成立的a的取值范围为.解析设函数y=x-3|+|x+1,因为函数y=x3+x+1|的最

8、小值为4，即y4，所以使|x-3+|x+1a恒成立a的取值范围为(-,4。答案(，44.已知x，y（0，1），则x2+y2+x2+(y-1)2+(x-1)2+y2+(x-1)2+(y-1)2的最小值是.解析x，y(0,1)，x2+y2+x2+(y-1)2+(x-1)2+y2+(x-1)2+(y-1)2表示以(0，0),(0，1),（1，0),(1,1)为顶点的正方形内部的动点（x,y)到四个顶点距离的和,根据两点之间线段最短,可得当（x,y）为正方形对角线的交点,即x=y=12时,x2+y2+x2+(y-1)2+(x-1)2+y2+(x-1)2+(y-1)2的最小值为22。答案225.已知一平

9、行四边形三个顶点的坐标分别为（1,2)，（3，1),(0，2）,求这个平行四边形第四个顶点的坐标.解设a（1,-2），b（3,1),c（0,2),第四个顶点d的坐标为（x，y)，(1）若四边形abcd是平行四边形,则由中点坐标公式得x+32=-1+02,y+12=-2+22,解得x=-4,y=-1,点d的坐标为(-4，-1)；（2)若四边形abdc是平行四边形，则由中点坐标公式得x-12=3+02,y-22=1+22,解得x=4,y=5,点d的坐标为(4,5）；(3)若四边形acbd是平行四边形,则由中点坐标公式得-1+32=x+02,-2+12=y+22,解得x=2,y=-3,点d的坐标为（

10、2，-3).综上所述,满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为（-4,-1）或（4，5）或（2，3)。6.用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。证明以线段bc的中点为原点,bc所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设a（a,b）,c(c，0)（c0）,则b（c,0).线段ab的中点e的坐标是a-c2,b2.线段ac的中点f的坐标是a+c2,b2，则ef|=a-c2-a+c22+b2-b22=c。因为|bc|=2c,所以|ef|=12bc。又e，f的纵坐标相同,所以efbc。综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.7.河流的一侧有a，b两个村庄,如图所

11、示,计划在河上共建一座水电站给两村供电.已知a，b两村到河边的垂直距离分别为300 m和600 m，且两村相距500 m。为了使水电站到两村的距离之和最小,水电站p应建在什么位置？解如图所示，以河边所在直线为x轴，以ac为y轴建立平面直角坐标系，则a(0，300),b（400,600）。设a关于x轴的对称点为a,则a（0,300),连接ab交od于点p,此时pa+pb最小.设op=x,则由oapdbp，得x400-x=300600。解得x=4003,故水电站p应建在c，d之间距离点c4003m的地方。素养培优练1。已知点a(-1,2),b(1,3）,在直线y=2x上求一点p,使|pa2+pb2

12、取得最小值,并写出p点坐标。解设p点的坐标为（x,y)，由于点p在直线y=2x上，所以y=2x。pa=(x+1)2+(y-2)2=(x+1)2+(2x-2)2=x2+2x+1+4x2-8x+4=5x2-6x+5，|pb|=(x-1)2+(y-3)2=(x-1)2+(2x-3)2=x2-2x+1+4x2-12x+9=5x2-14x+10，所以pa|2+pb2=5x2-6x+5+5x214x+10=10x2-20x+15=10(x-1）2+5，因此,当x=1时,|pa|2+pb|2取得最小值为5,y=21=2,所以所求p点的坐标为（1，2).2.如图所示，在abc中,c=90,p为三角形内一点,且spab=spbc=spca。求证：|pa|2+pb2=5|pc|2。证明如图所示,以ca所在的直线为x轴，点c为原点建立平面直角坐标系，设c(0，0)，a(3a,0)，b(0,3b),p(x，y）。spca=spcb=spab，spca=13sabc.即123ay=13123a3b,y=b.又spbc=13sabc,即123bx=13123a3b,x=a.适合条件的点p的坐标为（a，b）