第八章截交线贯穿点

1、截交线的性质： 是一封闭多边形（平面）； 多边形的边数 = 切到立体的面数（棱数）。 定义： 截平面用来截切立体的平面 截交线截平面与立体表面的交线 截断面立体被截平面切得的平面 第八章 平面与立体相交、直线与立体相交 8.1 平面与平面体相交（截切、截断） 纪念曲 平面截切体的画图 求截交线的两种方法： 求各棱线与截平面的交点棱线法。 求各棱面与截平面的交线棱面法。 关键是正确地画出截交线的投影。 求截交线的步骤： 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 确定截交线 的投影特性 确定截交 线的形状 空间及投影分析 画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交线， 并连接成多边形。 截交

2、线的形状截交线的形状 n1.1.分析截平面与立体的相对位置以决定分析截平面与立体的相对位置以决定 截交线形状：多边形，其边数取决于截截交线形状：多边形，其边数取决于截 平面截到的棱面数。平面截到的棱面数。 n2. 2. 分析截平面与投影面的相对位置以分析截平面与投影面的相对位置以 决定截交线的投影形状。决定截交线的投影形状。 例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 3 2 1 (4) 1 1 2 2 4 4 3 3 1 1 2 2 4 4 空间分析 交线的形状？ 3 3 投影分析 求截交线 分析棱线的投影 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性 截交线在俯、截交线在俯、 左视图上的形左视图上的

3、形 状？状？ 截平面与体的截平面与体的 几个棱面相交？几个棱面相交？ 例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 我们采用的是 哪种解题方法？ 棱线法！ 例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 1 1 2 2 1 1 (2(2 ) ) 、两点分别两点分别 同时位于三个面同时位于三个面 上。上。 三面共点：三面共点： 2 2 1 1 注意： 要逐个截平面分析和绘制截交 线。当平面体只有局部被截切 时，先假想为整体被截切，求 出截交线后再取局部。 例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 例 : 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。 P 截交线的形状？ 1 5 4 32 8 76 截交线的投影 特性？ 23

4、67 18 45 求截交线 1 5 4 7 6 3 2 8 分析棱线的 投影 检查截交线 的投影 例 : 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。 作题步骤： 想清形体的形状 确定形体是如何截切的 判断截交线的边数及形状 利用面形法画图（截切平面与各棱线的交点） 补全视图，判断可见性 例1： 1 2 3 4 6 5 7 1, 7 5, 6 2 3, 4 1 2 3 4 5 6 7 p1 p2 p3 p4 p1 p2 p4 p3 p0 p0 例2： s a b c s a c b 1 2 3 s a ,c b 1 2 3 1 2 3 1 2 4 3 6 5 8 7 1 , 2 3,4,7 ,8 5,6

5、1 2 4 56 78 例：例： 3 d f e c b a a b c d e f 例、斜三棱柱与平面DEF相交，求截交线的投影。 求出三条棱线与平面的 交点即可。 1 1 2 2 3 3 d f e c b a a b c d e f 1 1 2 2 3 3 回转体截切的基本形式 截交线的性质： 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由 直线和曲线围成）。 8.2 平面与曲面立体相交 求平面与回转体的截交线的一般步骤 空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，

6、以便确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影。 画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。 先找特殊点，补充中间点。 圆柱体的截切 截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴 线的相对位置 垂直 圆椭圆 平行 两平行直线 倾斜 P PV V P P P PV V P P P PV V P P 1截切平面平行于轴线 PVPV 例：求左视图 空间及投影分析 求截交线 分析圆柱体轮廓素线的投影 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置

7、 解题步骤： 同一立体被多个平面截 切，要逐个截平面进行截 交线的分析和作图。 例：求左视图 空间及投影分析 求截交线 分析圆柱体轮廓素线的投影 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 解题步骤： 例：求左视图 例：求左视图 例：求俯视图 例：求俯视图 截交线的已知投影？ 例：求左视图 找特殊点 补充中间点 光滑连接各点 分析轮廓素线的投影 截交线的侧面投影是 什么形状？ 截交线的截交线的 空间形状？空间形状？ 2截切平面倾斜于轴线 例：求左视图 找特殊点 找中间点 光滑连接各点 分析轮廓素线的投影 椭圆的长、短 轴随截平面与圆 柱轴线夹角的变 化而改变。 4545 截平面与圆柱轴线

8、成45时。 什么情况下什么情况下 投影为圆呢？投影为圆呢？ 3多平面截切圆柱体 p1 p2 p2 p 1 p 2 p 3 45 那些平面截切立体 每个截断面的形状 （是否 45？） 平面与平面的交线! p3 p4 p1 p3 p4 p4 例5：求左视图 例：求左视图例：求左视图 虚实分界点 圆锥体的截切 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同， 截交线有五种形状。 过锥顶过锥顶 两相交直线两相交直线 P PV V 圆圆 P PV V = 90= 90 P PV V 椭圆椭圆 抛物线抛物线 P PV V = 双曲线双曲线 P PV V = 0= 0 例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。

9、 截交线的空 间形状？ 截交线的投 影特性？ 找特殊点 如何找椭圆另 一根轴的端点？ 补充中间点 光滑连接各点 分析轮廓线的 投影 例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。 多个平面截切圆锥体 球体的截切 平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截 平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能 为圆、椭圆或积聚成一条直线。 PV 切切 点点 切切 点点 oac b d o b c a d d b c ao f e e e f 1 1 f 1 重点： 平面截切平面立体的截断面均为平面多边形， 其边数取决于切到表面的个数，用面形法解决。 平面截切回转体的截断面形状取决于： 回转体的种

10、类； 截切平面与被切回转体的相对位置。 例：求半球体截切后的俯视图和左视图。 水平面截圆球的截交线的投 影，在俯视图上为部分圆弧， 在侧视图上积聚为直线。 两个侧平面截圆球的截交线 的投影，在侧视图上为部分 圆弧，在俯视图上积聚为直 线。 例：求半球体截切后的俯视图和左视图。 PV 复合回转体的截切 例：求作顶尖的俯视图 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的 连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依 次将其连接。 小 结 一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。 求截交线的方法：棱线法 棱面法 二、平面截切回转体，截

11、交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充 中间点，最后光滑连接各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以确定截交线的投影特性。 求截交线 三、解题方法与步骤 空间及投影分析 分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。 当单体被多个截平面截切时，要逐个截 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时，先按整体被截切求出截 交线，然后再取局部。 求复合回转体的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后分别求出这些基本 回转体的截交线，并依次将其连接。 8.3