可转化为线性的非线性回归模型

1、可转化为线性的多元非线性回归模型可转化为线性的多元非线性回归模型 n 前面我们讨论的经济问题，都是假定作为因变量的经济变前面我们讨论的经济问题，都是假定作为因变量的经济变 量与作为解释变量的经济变量之间存在着线性关系。由此建立量与作为解释变量的经济变量之间存在着线性关系。由此建立 线性回归模型进行线性回归分析。这里所说的线性是指：（线性回归模型进行线性回归分析。这里所说的线性是指：（1） 变量的线性，变量以其原型出现在模型之中，而不是以变量的线性，变量以其原型出现在模型之中，而不是以X2或或X 之类的函数形式出现在模型中；（之类的函数形式出现在模型中；（2）参数的线性，因变量）参数的线性，因变

2、量Y是是 各参数的线性函数。各参数的线性函数。 但是，在众多的经济现象中，分析经济变量之间的关系，但是，在众多的经济现象中，分析经济变量之间的关系， 根据某种经济理论和对实际经济问题的分析，所建立的经济模根据某种经济理论和对实际经济问题的分析，所建立的经济模 型往往不符合上面的线性要求，即模型是非线性的，称为非线型往往不符合上面的线性要求，即模型是非线性的，称为非线 性模型（性模型（Non-linear Model）。）。 说说 明明 n在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接 表现为线性关系的情况并不多见。表现为线性关系的情况并不多见。 n

3、如著名的如著名的恩格尔曲线恩格尔曲线（Engle curves）表现为）表现为幂函数曲幂函数曲 线线形式，类似地还有生产函数等。形式，类似地还有生产函数等。 n但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学 处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线 性回归模型的理论方法。性回归模型的理论方法。 这一部分我们要关注的是（这一部分我们要关注的是（1 1）如何将非线性模型转变为）如何将非线性模型转变为 线性模型；（线性模型；（2 2）转变后，偏回归系数的含义。）转变后，偏回归系数的含义。 1、非线性回归

4、模型与变量的直接置换法非线性回归模型与变量的直接置换法 当当变量是非线性的变量是非线性的，参数之间是线性时参数之间是线性时，可，可 以利用变量直接代换的方法将模型线性化。以利用变量直接代换的方法将模型线性化。 因此，关于因此，关于解释变量的非线性问题解释变量的非线性问题都可以通都可以通 过变量置换变成线性问题。过变量置换变成线性问题。 一、模型的类型与变换一、模型的类型与变换 对于以下形式的非线性方程，我们可以直接对于以下形式的非线性方程，我们可以直接 进行变量代换转换为线性方程：进行变量代换转换为线性方程： X X 1 * 01 1 Yu X 01 YXu 01 logYXu 01 logY

5、Xu 01 loglogYXu 令令 令令XX * XXlog * YYlog * XXlog * YYlog * 令令 令令 令令 n模型特点：随着模型特点：随着X无限增大，无限增大， 项趋于项趋于0，Y趋于极限值。趋于极限值。 n分三种类型：分三种类型： i i i X Y 1 10 i X 1 1 10 00 00 X Y 0 10 X Y 0 1 2 倒数模型的线性化：令倒数模型的线性化：令 ，原方程变为：，原方程变为：Y= 0+ 1Zi+ i i X z 1 在以上的这几类模型形式中：在以上的这几类模型形式中： （1）倒数模型）倒数模型 （2）双曲函数模型）双曲函数模型 双曲函数模型

6、的一般形式为：双曲函数模型的一般形式为： 令令 则可将原模型化为标准的线性回归模型则可将原模型化为标准的线性回归模型 6 11 i ii u YX * 11 , ii ii YX YX * iii YXu （2） 多项式回归模型多项式回归模型 多项式回归模型通常用于描述生产成本函数，其一多项式回归模型通常用于描述生产成本函数，其一 般形式为：般形式为： 其中，其中，Y表示总成本，表示总成本，X表示产出，表示产出，P为多项式的阶为多项式的阶 数，一般不超过四阶。数，一般不超过四阶。 多项式回归模型中，解释变量多项式回归模型中，解释变量X以不同幂次出现在以不同幂次出现在 方程的右端。这类模型也仅存

7、在变量非线性，因而很容方程的右端。这类模型也仅存在变量非线性，因而很容 易线性化，可用易线性化，可用OLS法估计模型法估计模型。 i P iPiii uXXXY. 2 210 （3） 半对数模型半对数模型 半对数模型指的是半对数模型指的是应变量和解释变量中一个为对应变量和解释变量中一个为对 数形式而另一个为线性的数形式而另一个为线性的模型。模型。 被解释变量为对数形式的称为被解释变量为对数形式的称为对数对数-线性模型线性模型 （log-lin model）。）。 解释变量为对数形式的称为解释变量为对数形式的称为线性线性-对数模型对数模型（lin- log model）。）。 n我们先介绍对数我

8、们先介绍对数-线性模型，其形式如下：线性模型，其形式如下： n对数对数-线性模型中，斜率的含义是线性模型中，斜率的含义是Y的百分比的百分比 变动，即变动，即解释变量解释变量X变动一个单位引起的应变动一个单位引起的应 变量变量Y的百分比变动的百分比变动。 n这是因为，利用微分可以得出：这是因为，利用微分可以得出： ttt uXY 10 ln ) 1( 1ln 1 dX Y dY dX dY YdX Yd 这表明，这表明，系数度量的是解释变量系数度量的是解释变量X的单位变动所引起的单位变动所引起 的应变量的应变量Y的相对变动。的相对变动。 对数对数-线性方程又称增长模型，通常我们用这类估计线性方程

9、又称增长模型，通常我们用这类估计 许多变量的增长率。如果许多变量的增长率。如果x取取“时间时间”t，即按时间顺序依，即按时间顺序依 次取值为次取值为1，2，T，变量，变量t 的系数的系数 1 度量了度量了ln(Y)随随 时间向前推进产生的变化。如果时间向前推进产生的变化。如果 1为正，则有随时间向上为正，则有随时间向上 增长的趋势；如果增长的趋势；如果 1为负，则有随时间向下的趋势，因此为负，则有随时间向下的趋势，因此 t可称为趋势变量。可称为趋势变量。 例如，我们可以通过估计下面的半对数模型例如，我们可以通过估计下面的半对数模型 得到一国得到一国GDP的年增长率的估计值，这里的年增长率的估计

10、值，这里t为时间趋为时间趋 势变量。势变量。 tt utGDP 10 )ln( 例：例： n求求1956-1970年美国个人可支配收入的增长率。年美国个人可支配收入的增长率。X2:个个 人可支配收入，人可支配收入，X3:时间变量时间变量 n模型：模型：lnX2i= 1+ 2ti+ i n求解过程求解过程 n结果：结果： 0000. 0)(0000. 00000. 0: 0142.70657093.260298.390: 9819. 0001591. 0014468. 0: t04228. 06429. 5 log 2 2 Fpp Ft Rse X ii ，说明，说明1956- 1970年间，美

11、国个人可支配年间，美国个人可支配 收入每年增长收入每年增长4.23%。 比较线性趋势模型比较线性趋势模型：X2i= b2+b23ti+i ii tX12857.177314.265 2 b23=17.13，说明个人，说明个人 可支配收入每年平均可支配收入每年平均 增长增长17个单位。个单位。 04228. 0 2 另外，线性另外，线性-对数模型的形式如下：对数模型的形式如下： 与前面类似，我们可用微分得到与前面类似，我们可用微分得到 因此因此 这表明这表明 ttt uXYln 10 XdX dY1 1 XdX dY dX dY X 1 XX Y X Y 的相对变动 的绝对变动 1 X X Y

12、1 上式表明，上式表明，Y的绝对变动量等于的绝对变动量等于 乘以乘以X的相对变动量。的相对变动量。 因此，线性因此，线性-对数模型通常用于对数模型通常用于研究解释变量的相对变动引研究解释变量的相对变动引 起的因变量的绝对变动量是多少起的因变量的绝对变动量是多少这类问题。这类问题。 1 （4）双对数模型）双对数模型 双对数模型的应用非常广泛，其原因在于，由于回归双对数模型的应用非常广泛，其原因在于，由于回归 线是一条直线（线是一条直线（Y和和X都是都是对数形式），所以它的斜率为对数形式），所以它的斜率为 一常数。一常数。 由于这个特殊的性质，双对数模型又称为由于这个特殊的性质，双对数模型又称为不

13、变弹性模不变弹性模 型型。 * 1 * （ ln )/ (ln )/ dydyy y E dxdxx x 例：美国咖啡需求：例：美国咖啡需求：1970-1980 n美国咖啡消费（美国咖啡消费（Y）与平均真实零售价格（）与平均真实零售价格（X） 数据，（数据，（X=名义价格名义价格/食品与饮料的消费者价食品与饮料的消费者价 格指数，格指数，1967年年=100），求咖啡消费函数。），求咖啡消费函数。 n散点图：确定函数形式：散点图：确定函数形式：Y-X; lnY-lnX n建立模型：建立模型：lnY= + lnX+ i n参数估计：参数估计： 27.26F,74. 0R(.049)(.015):

14、se ce0.253lnpri-0.777d lndeman 2 咖啡需求的价格咖啡需求的价格 弹性为弹性为-0.253 直接置换法一般步骤直接置换法一般步骤 n1、根据有关理论或变量之间的散点图判断回归模型形式。、根据有关理论或变量之间的散点图判断回归模型形式。 n2、根据模型本身特点对模型或数据进行变量变换，使变、根据模型本身特点对模型或数据进行变量变换，使变 换后的模型或数据具有线性回归模型形式。换后的模型或数据具有线性回归模型形式。 n3、对变换后的线性模型进行拟合，并进行回归检验。、对变换后的线性模型进行拟合，并进行回归检验。 n4、对检验符合要求的模型用原变量写出回归模型，并用、对

15、检验符合要求的模型用原变量写出回归模型，并用 于预测或控制，对检验不符合要求的模型重新拟合，直于预测或控制，对检验不符合要求的模型重新拟合，直 到符合要求为止。到符合要求为止。 2、非线性回归模型与变量的间接置换、非线性回归模型与变量的间接置换 n 在某些经济问题中，经济变量之间的非线在某些经济问题中，经济变量之间的非线 性关系，不能通过直接变量代换转化为线性形性关系，不能通过直接变量代换转化为线性形 式，需要式，需要先通过函数形式的变形后先通过函数形式的变形后再进行变量再进行变量 代换，转化为线性形式，这种置换方法称为间代换，转化为线性形式，这种置换方法称为间 接置换法。接置换法。 n 进行

16、变量间接代换应用最广泛的模型就是进行变量间接代换应用最广泛的模型就是 指数模型与幂函数模型。指数模型与幂函数模型。 （1）指数函数模型）指数函数模型 指数函数模型的一般形式为指数函数模型的一般形式为 对上式两边取对数得到对上式两边取对数得到 令令 则可将原模型化为标准的线性回归模型；则可将原模型化为标准的线性回归模型； ii bXu i YAe lnln iii YAbXu * ln,ln ii YYA * iii YbXu 00，ba 00，ba （2）幂函数模型幂函数模型 幂函数模型的一般形式为：幂函数模型的一般形式为： 对上式两边取对数得到：对上式两边取对数得到： 令令 则可将原模型化为

17、标准的线性回归模型：则可将原模型化为标准的线性回归模型： 12 12 ki u iiiki YAXXXe 1122 lnlnlnlnln iiikkii YAXXXu * 01122 ln ,ln,ln,ln,ln iiiiikiki YYA XXXXXX * 01122iiikkii YXXXu n幂函数模型常用于人口增长、产值或利润幂函数模型常用于人口增长、产值或利润 增长、劳动生产率以及就业等问题。这类增长、劳动生产率以及就业等问题。这类 模型的一般形式为：模型的一般形式为： ube aXY 1 0 b a 10 0 b a 0，0ba 以柯布以柯布道格拉斯（道格拉斯（CobbDougl

18、as）生产函数）生产函数 模型模型 为例为例 下表列出了下表列出了1955-1974年间墨西哥的产出年间墨西哥的产出Y（用国内生（用国内生 产总值产总值GDP度量，以度量，以1960年不变价格计算，单位为百万年不变价格计算，单位为百万 比索）、劳动投入比索）、劳动投入X2（用总就业人数度量，单位为千人）（用总就业人数度量，单位为千人） 以及资本投入以及资本投入X3（用固定资本度量，以（用固定资本度量，以1960年不变价格计年不变价格计 算，单位业百万比索）的数据，试用回归分析法解释在墨算，单位业百万比索）的数据，试用回归分析法解释在墨 西哥国内生产总值产出中，各要素的贡献及其产出特点。西哥国内

19、生产总值产出中，各要素的贡献及其产出特点。 例题：例题： eLAKQ 表表 墨西哥的实际墨西哥的实际GDP、就业人数和实际固定资本、就业人数和实际固定资本 年份 GDP 就业人数 固定资产 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 114043 120410 129187 134705 139960 150511 157897 165286 178491 199457 212323 226977 241194 260881 277498

20、296530 306712 329030 354057 374977 8310 8529 8738 8952 9171 9569 9527 9662 10334 10981 11746 11521 11540 12066 12297 12955 13338 13738 15924 14154 182113 193749 205192 215130 225021 237026 248897 260661 275466 295378 315715 337642 363599 391847 422382 455049 484677 520533 561531 609825 解：根据所提供的数据，运用

21、解：根据所提供的数据，运用Eviews4.1回归回归, 输出结果如下输出结果如下： Dependent Variable: LNY Method: Least Squares Date: 03/25/03 Time: 21:43 Sample: 1955 1974 Included observations: 20 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -1.652379 0.606175 -2.725910 0.0144 LNX2 0.339694 0.185687 1.829383 0.0849 LNX3 0.846023

22、0.093350 9.062911 0.0000 R-squared 0.995081 Mean dependent var 12.22605 Adjusted R-squared 0.994502 S.D. dependent var 0.381497 S.E. of regression 0.028288 Akaike info criterion -4.155298 Sum squared resid 0.013603 Schwarz criterion -4.005938 Log likelihood 44.55298 F-statistic 1719.365 回归方程为回归方程为：

23、t = (-2.73) (1.83) (9.06) p = (0.0144*) (0.085) (0.000*) R2=0.995, F=1719.365 对回归方程解释如下：对回归方程解释如下： 斜率系数斜率系数0.3397表示产出对劳动报酬的弹性，即表明在表示产出对劳动报酬的弹性，即表明在 资本投入保持不变的条件下，劳动投入每增加一个百分点，资本投入保持不变的条件下，劳动投入每增加一个百分点， 平均产出将增加平均产出将增加0.3397个百分点。同样地，在劳动投入保持个百分点。同样地，在劳动投入保持 不变的条件下，资本投入每增加一个百分点，产出将平均增不变的条件下，资本投入每增加一个百分点，产出将平均增 加加0.8640个百分点。两个弹性系数相对为规模报酬参数，其个百分点。两个弹性系数相对为规模报酬参数，其 数值等于数值等于1.1857，表明墨西哥经济的特征是规模报酬递增的，表明墨西哥经济的特征是规模报酬递增的 （如果数值