单元评估检测(四)

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(四)第四章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013江西高考)复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2014天津模拟)已知下列结论:若a=b,b=c,则a=c;若ab,bc,则ac;|ab|=|a|b|;若ab=ac,则b=c的逆命题.其中正确的是()A.B.C.D.3.复数z=3-

2、1i(i为虚数单位)的模为()A.2B.3C.10D.44.已知向量a=(-1,2),则下列向量与a共线的是()A.b=(1,-2)B.b=(2,-1)C.b=(0,1)D.b=(1,1)5.(2014哈尔滨模拟)设P是ABC所在平面内的一点,若BC+BA=2BP,则()A.PA+PB=0B.PB+PC=0C.PC+PA=0D.PA+PB+PC=06.(2014成都模拟)复数i1-i的共轭复数为()A.-12+12iB.12+12iC.12-12iD.-12-12i7.(2013大纲版全国卷)已知向量m=+1,1,n=+2,2,若,则=()A.-4B.-3C.-2D.-18.下面是关于复数z=

3、2i-1+21+i的四个命题:p1:|z|=2;p2:z2=4i;p3:z=2i;p4:z的虚部是0,其中的真命题为()A.p1,p2B.p1,p3C.p2,p3D.p3,p49.(2014邯郸模拟)如图所示,非零向量OA=a,OB=b,且BCOA,C为垂足,若OC=a(0),则=()10.(2014宁波模拟)在平面直角坐标系中,A(3,1),B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点,则|OA+OB|的最大值是()A.4B.3C.2D.111.已知向量a=(1,3),b=(-2,-6),|c|=10,若(a+b)c=5,则a与c的夹角为()A.30B.45C.60D.12012.(能力挑战题)设e

4、1,e2是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量m满足(m-e1)(m-e2)=0,则|m|的最大值为()A.1B.2C.3D.2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.若OA=3+4i,OB=-1-i,i是虚数单位,则AB=(用复数代数形式表示).14.(2013重庆高考)在OA为边,OB为对角线的矩形中,OA=(-3,1),OB=(-2,k),则实数k=.15.已知角A,B,C是三角形ABC的内角,a,b,c分别是其对边长,向量m=23sinA2,cos2A2,n=cosA2,-2,mn,且a=2,cosB=33,则b=.16.(能力挑战题)已知点

5、A(3,0),B(0,3),C(cos,sin),若ACBC=-1,则1+tan2sin2+sin2的值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2014长春模拟)已知向量OP=2cos2+x,-1,OQ=-sin2-x,cos2x,定义函数f(x)=OPOQ.(1)求函数f(x)的表达式,并指出其最大值和最小值.(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=1,bc=8,求ABC的面积S.18.(12分)已知复平面内平行四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针排列),A点对应的复数为2+i,向量BA对应的

6、复数为1+2i,向量BC对应的复数为3-i.(1)求点C,D对应的复数.(2)求平行四边形ABCD的面积.19.(12分)(2014西安模拟)已知向量a=(sin(x+),2),b=(1,cos(x+)0,04,函数f(x)=(a+b)(a-b),y=f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1,且经过点M1,72.(1)求函数f(x)的解析式.(2)当-1x1时,求函数f(x)的单调区间.20.(12分)(2014大庆模拟)已知向量a=(3,cosx),b=(sinx,1),函数f(x)=ab,且最小正周期为4.(1)求的值.(2)设,2,f2-3=65,f2+23=-241

7、3,求sin(+)的值.(3)若x-,求函数f(x)的值域.21.(12分)已知平面向量a=(3,-1),b=12,32.(1)若x=(t+2)a+(t2-t-5)b,y=-ka+4b(t,kR),且xy,求出k关于t的关系式k=f(t).(2)求函数k=f(t)在t(-2,2)上的最小值.22.(12分)(能力挑战题)(1)如图,设点P,Q是线段AB的三等分点,若OA=a,OB=b,试用a,b表示OP,OQ,并判断OP+OQ与OA+OB的关系.(2)受(1)的启示,如果点A1,A2,A3,An-1是AB的n(n3)等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论.答案解析1.【解析】选D.由题意得z

8、=1-2i,对应点为(1,-2),故选D.2.【解析】选B.由向量相等的概念知正确;因为零向量和任何向量共线,所以当b=0时,结论不成立,故不正确;因为|ab|=|a|b|cos|(是a与b的夹角),所以当|cos|1时,不正确;的逆命题是“若b=c,则ab=ac”,显然该结论是正确的.故选B.【误区警示】解答本题易类比实数的运算性质和平行线的传递性而误选C,出错的原因是忽视了向量与数量的区别,而把实数的运算法则照搬到向量运算中来.3.【思路点拨】利用复数的除法运算化简给出的复数,然后直接利用模的公式求模.【解析】选C.由z=3-1i=3-ii2=3+i.所以|z|=32+12=10.故选C.

9、4.【解析】选A.由a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线x1y2-x2y1=0,验证易知A正确.5.【解析】选C.由已知,得PC-PB+PA-PB=-2PB,即PC+PA=0,故选C.【一题多解】本题还有如下解法:如图,由BC+BA=2BP,知P是AC的中点,显然PA+PC=0,故选C.【加固训练】若ABBC+AB22=0,则ABC必定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.ABBC+AB22=0AB(BC+AB)=0ABAC=0ABAC,则ABC必定是直角三角形.6.【解析】选D.因为i1-i=(1+i)i(1+i)(1-i)=-1+i2=-12

10、+12i.所以其共轭复数为-12-12i.【加固训练】(2013广元模拟)复数2+i1-2i的共轭复数是()A.-35iB.35iC.-iD.i【思路点拨】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,复数化简为a+bi(a,bR)的形式,然后求出共轭复数即可.【解析】选C.复数2+i1-2i=(2+i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=5i5=i,它的共轭复数为-i.故选C.7.【解析】选B.因为(m+n)(m-n),所以(m+n)(m-n)=|m|2-|n|2=0,即(+1)2+1-(+2)2-4=0,解得=-3.8.【解析】选B.z=2(1+i)+2(i-1)(i-1)(1+i)=4ii2-1

11、=-2i.所以|z|=2,z2=-4,z=2i,z的虚部是-2.故p1,p3是真命题,p2,p4是假命题.9.【解析】选A.BCOA,即BCOC,所以(OC-OB)OC=0,所以|OC|2-OBOC=0,即2|a|2-ab=0,又0,解得=.10.【解析】选B.由题意可知向量OB的模是不变的,所以当OB与OA同向时,|OA+OB|最大,结合图形可知,|OA+OB|max=|OA|+1=12+(3)2+1=3.【一题多解】本题还有如下解法:由题意,得|OA|=3+1=2,|OB|=1,设向量OA,OB的夹角为,所以|OA+OB|=(OA+OB)2=OA2+OB2+2OAOB=4+1+221cos

12、=5+4cos.所以当=0,即OA与OB同向时,|OA+OB|max=5+4=3.11.【解析】选D.设c=(x,y),因为a+b=(-1,-3),所以(a+b)c=-x-3y=5,|c|=x2+y2=10,即x=-3y-5,x2+y2=10,解得x=33-12,y=-3-32或x=-1-332,y=-3+32.不妨取x=33-12,y=-3-32,即c=33-12,-3-32,设a与c的夹角为,则cos=33-12+-9-3321010=-12.因为0180,所以=120,故选D.【一题多解】选D.由题意,得b=-2a,所以(a+b)c=(a-2a)c=-ac=5,即ac=-5.设a与c的夹

13、角为,则cos=-51010=-12.因为0180,所以=120.故选D.12.【解析】选B.因为|e1|=|e2|=1,e1e2,所以(m-e1)(m-e2)=m2-m(e1+e2)+e1e2=m2-m(e1+e2)=0,即m2=m(e1+e2).设m与e1+e2的夹角为,因为|e1+e2|=2,所以|m|2=|m|e1+e2|cos,即|m|=2cos,因为0,所以|m|max=2.【一题多解】选B.设e1,e2是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,则e1=(1,0),e2=(0,1).设m=(x,y),则m-e1=(x-1,y),m-e2=(x,y-1),所以(m-e1)(m-e2)=x(

14、x-1)+y(y-1)=0,即x2+y2-x-y=0,x-122+y-122=12,故向量m的终点(始点在坐标原点)的轨迹是以12,12为圆心,22为半径的圆.如图,所以|m|的最大值是圆的直径,即为2.【加固训练】(2014广州模拟)如图,已知圆M:(x-3)2+(y-3)2=4,四边形ABCD为圆M的内接正方形,E,F分别为边AB,AD的中点,当正方形ABCD绕圆心M转动时,MEOF的取值范围是()A.-62,62B.-6,6C.-32,32D.-4,4【解析】选A.设A(3+2cos,3+2sin),D(3+2cos,3+2sin),则F(3+cos+cos,3+sin+sin),由图知

15、,ME=12DA=(cos-cos,sin-sin),OF=(3+cos+cos,3+sin+sin),所以MEOF=(3+cos+cos,3+sin+sin)(cos-cos,sin-sin)=3(cos+sin)-3(cos+sin)=32sin+4-32sin+4-62,62,故选A.13.【解析】因为OA=3+4i,OB=-1-i,i是虚数单位,所以AB=OB-OA=(-1-i)-(3+4i)=-4-5i.答案:-4-5i14.【思路点拨】可根据题意先求出向量AB的坐标,再利用OAAB求解.【解析】AB=OB-OA=(-2,k)-(-3,1)=(1,k-1),因为OAAB,所以OAAB

16、=0,即-3+k-1=0,解得k=4.答案:415.【解析】因为mn,所以mn=23sinA2cosA2-2cos2A2=0,因为A(0,),所以cosA20,所以tanA2=33,A2=6,A=3.由cosB=33,得sinB=1-39=63,由正弦定理得2sin3=b63,解得b=432.答案:432【加固训练】(2013济宁模拟)平面向量a与b的夹角为3,a=(2,0),|b|=1,则|a+b|等于.【思路点拨】利用向量数量积的性质可得|a+b|=,把已知代入即可.【解析】因为向量a与b的夹角为3,a=(2,0),|b|=1,所以|a+b|=22+12+221cos3=7.答案:716.

17、【解析】由题意,得AC=(cos-3,sin),BC=(cos,sin-3),所以ACBC=cos(cos-3)+sin(sin-3)=-1,即sin+cos=23.两边平方,得1+2sincos=49,所以2sincos=-59.原式=1+sincos2sin(sin+cos)=12sincos=-95.答案:-9517.【解析】(1)f(x)=OPOQ=(-2sinx,-1)(-cosx,cos2x)=sin2x-cos2x=2sin2x-4,所以f(x)的最大值和最小值分别是2和-2.(2)因为f(A)=1,所以sin2A-4=22.所以2A-4=4或2A-4=34.所以A=4或A=2.

18、又因为ABC为锐角三角形,所以A=4.因为bc=8,所以ABC的面积S=12822=22.18.【思路点拨】由点的坐标得到向量的坐标,运用向量、复数间的对应关系解题.【解析】(1)设点O为原点,因为向量BA对应的复数为1+2i,向量BC对应的复数为3-i,所以向量AC对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又OC=OA+AC,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.又BD=BA+BC=(1+2i)+(3-i)=4+i,OB=OA-BA=2+i-(1+2i)=1-i,所以OD=OB+BD=1-i+(4+i)=5,所以点D对应的复数为5.(2)由(1)知BA=(1,2),B

19、C=(3,-1),因为BABC=|BA|BC|cosB,所以cosB=BABC|BA|BC|=3-2510=152,所以sinB=752,又|BA|=5,|BC|=10,所以面积S=|BA|BC|sinB=510752=7.所以平行四边形ABCD的面积为7.19.【解析】(1)f(x)=(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=sin2(x+)+3-cos2(x+)=-cos(2x+2)+3,由题意得周期T=22=4,故=4,又图象过点M1,72,所以72=3-cos2+2,即sin2=12,而00.k2(t+2)1t+2-5=-3.当且仅当t+2=1t+2,即t=-1时,“=”成立.故k的最小值是-3.22.【思路点拨】(1)把向量OP,OQ都用OA,OB表示,再求和即可.(2)思路同(1).【解析】(1)OP=OA+AP=O