毕业设计（论文）卡尔曼滤波器

1、1. 绪论1.1 概述在滤波器的发展过程中，早期的维纳滤波器涉及到对不随时间变化的统计特性的处理，即静态处理。在这种信号处理过程中，有用信号和无用噪声的统计特性可与它们的频率特性联系起来，因此与经典滤波器在概念上还有一定的联系。由于军事上的需要，维纳滤波器在第二次世界大战期间得到了广泛的应用。但是，维纳滤波器有如下不足之处：第一，必须利用全部的历史观测数据，存储量和计算量都很大；第二，当获得新的观测数据时，没有合适的递推算法，必须进行重新计算；第三，很难用于非平稳过程的滤波。为了克服维纳滤波器的上述不足之处，卡尔曼等人在维纳滤波的基础上，与60年代初提出了一种递推滤波方法，称为卡尔曼滤波。与维

2、纳滤波不同，卡尔曼滤波是对时变统计特性进行处理。他不是从频域，而是从时域的角度出发来考虑问题。30多年来。卡尔曼已在各个领域得到了广泛的应用，包括机器人导航、控制、传感器数据融合甚至军事方面的雷达系统以及导弹追踪等。近年来更被应用于计算机图象处理，例如头脸识别、图象分割、图象边缘检测等等。1.2滤波器的发展滤波器最初是指某种具有选频特性的电子网络，一般由线圈、电容器和电阻器等元件组成。滤波器将使它所容许通过的频率范围（即通带）内的电信号产生较小的衰减，而使它所阻止通过的频率范围（即阻带）内的电信号产生较大衰减。划分通带和阻带的频率，称为滤波器的截止频率。按组成电路的元件，滤波器可分为lc、rl

3、c、rc、晶体和陶瓷滤波器等。我们也可以用机械元件代替电子元件，制成机械式滤波器，或利用物质的铁磁共振原理制成可点电调谐的滤波器。按容器通过的频率范围，滤波器可分为低通，高通，带阻和带通滤波器等。具有选频特性的串联或并联谐振回路，是一种常用的滤波器。收音机或其他差式接收机中的中频放大器，也是一中滤波器。也是一种滤波器。各级中频放大器中回路靠放大器和变压器来耦合，形成一定的通带和阻带。信号在通过中放级时，通带内的成分将被放大，而阻带内的成分将大大衰减，而且对通带内的信号还有放大作用。此外，调幅波接收机中的包络是一种非线性滤波器。非线性滤波器实例还有：自动增益控制电路，调频接收机中的锁相环以及近年

4、来在组合音响装置中用来提高信噪比的dobly系统等。上面所举的这些滤波器，不论是线性还是非线性的，由于都是用来对模拟信号进行处理，故统称为模拟滤波器或经典滤波器。随着集成电路技术的出现，特别是数字电子计算机的广泛应用，模拟滤波器开始向数字滤波器方向发展。a/d或d/a转换器，移位寄存器。只读存储器以及微处理机这样一些与传统的模拟滤波电路元件截然不同的电路元件和模块被广泛应用于数字滤波电路中，以适应离散数字信号处理的要求。即使是模拟信号，也可通过a/d转换先变成离散的数字信号，经相应的处理后再恢复成模拟信号。与模拟滤波器相比，数字滤波器不仅可使体积缩小，成本降低，而且还有如下优点：第一，滤波器的

5、参数可根据对滤波器性能指标的要求来设定，从而具有较高的精度；第二，滤波器的参数很容易重新设定或使具有自适应性；第三，有些采用微处理机的数字滤波器可实现对微处理机的分时使用，从而大大提高工作效率。经典滤波器的另一发展方向，就是利用统计理论来处理滤波问题，由此，产生了统计滤波器。从经典滤波的观点来看，有用信号和噪声信号是分布在不同频带之内。因此，我们可用具有一定选频特性的经典滤波网络把噪声尽可能地滤除，而保留畸变不大的有用信号。但是，我们所遇到的信号和噪声有时可能是随机的，其特性往往只能从统计的意义上来描述。例如，在导弹控制系统中，由于目标运动的随机性，目标的位置和速度都是随机的。此外，测量装置也

6、会有随机噪声。此时，我们就不可能采用一般的经典滤波器把有用信号从测量结果中分离出来，而只能用统计估算方法给出有用信号的最优估计值。从统计的观点来看，一个滤波器的输出越接近实际有用信号，这个滤波器就越好。也就是说，最优滤波器是输出最接近于实际有用的信号的滤波器。1.3 卡尔曼滤波器的基本思想卡尔曼滤波是线性无偏最小均方误差递推滤波器。与维纳滤波相比，在平稳条件下，它们所得到的稳态结果是一致的。然而，它们解决的方法有很大区别。维纳滤波是根据全部过去的和当前的观察数据 来估计信号的当前值，它的解是以均方误差最小条件下所得到的系统的传递函数h(z)或单位样本响应h(n)的形式给出的，因此称这种系统为最

7、佳线性过滤器或滤波器。而卡尔曼过滤是用前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值，是用状态方程和递推的方法进行估计的，其解是以估计值形式给出。因此称这种系统为线性最优估计器或滤波器。卡尔曼过滤中信号和噪声是状态方程和量测方程表示的，因此设计卡尔曼滤波器要求已知状态方程和量测方程。 标准卡尔曼滤波器是在最小均方误差准则下的最佳线性过滤器，就是说，它使系统的状态向量和状态向量的预测值之间的均方误差达到最小，它用状态方程和递推方法进行估计，它的解是以估计值形式给出的。由于它能够对物体的运动建立某种模型，因此在跟踪中经常被用到。当观测方程不是线性时，上述标准卡尔曼滤波方程不再适用，但是如果状态估

8、计值离真实值不是很远，可以将观测方程局部线性化，得到扩展卡尔曼滤波器（ekf）。由于ekf 使用泰勒展开的一阶近似，跟踪一段时间之后，经常会引起很大的参数估计的累计误差。为此，unscented kalman filter (ukf) 不再近似估计观测方程，它仍然用高斯随机变量表示状态分布，不过是用特定选择的样本点加以描述。与ekf 相比，ukf 的误差仅仅出现在三阶以上的矩中，而且计算也简单，而ekf 仅仅精确到一阶矩。总的来说，卡尔曼滤波是一个线性的估计器，能够有效地跟踪物体的运动和形状变化，但它基于两个假设：一是背景相对干净；二是运动参数服从高斯分布。因而适用范围有限，对于复杂的多峰情况

9、，还得求助于其它方法。1.4 课题解决方案 本课题采用卡尔曼滤波器技术对热力系统进行温度估计，选取温室室内温度作为系统研究对象。系统建模 具体流程如下： 组织相似状态向量集 运行与调试 状态观测器的设计形成卡尔曼滤波器的叠代初始值matlab编程2.卡尔曼滤波器的数学模型卡尔曼滤波方法是由r.e.kalman建立的,他在wiener平稳随机过程的滤波理论基础上建立了一种新的递推式滤波方法,可借助于前一时刻的滤波结果,递推出现时刻的状态估计量,因而大大提高了下一时刻的预测精度。该方法不但需要的历史资料很短(23月),而且大大减少了计算机的存储量和计算量。利用前一时刻预报误差反馈到原来的预报方程,

10、通过修正原预报方程系数,来提高一下时刻的预报精度,这是卡尔曼滤波与多元回归预报方法的最大区别,也是它的最大优点。2.1 一维时变随机信号的数学模型对每一确定的取样时刻k，x（k）是一个随机变量。当取样时刻的时标k变化时，我们就得到一个离散的随机过程，即随机序列x（k）。假设待估随机信号的数学模型是一个由白噪声序列w（k）驱动的一阶自递归过程，其动态方程为： (2-1) 式中：参数a1（2-1）式中的w（k-1）称为过程噪声或动态噪声。当时标k变化时，它将构成一个白噪声序列w（k），其统计特性可用以下数字特征来描述：均值 方差 常数 自相关序列 由（2-1）式所决定的信号x（k），当时标k变化时

11、，将构成一个平稳随机序x（k），其统计特性可用以下数字特性来描述： 1.均值 2.方差 常数 3.自相关序列 当取样时刻的时标k变化时，取样时刻时标相差j的x（k）的两样值见的自相关序列为 2.2 信号测量过程的数学模型 信号测量过程的数学模型，可用如下的测量方程给出 (2-2) 式中：为k时刻的信号值。为该时刻对进行测量所得到的信号测量样值。为此时在测量过程中所引入的量测噪声，可将其视为独立的附加白噪声。当k变化时，将组成一个随机信号序列，将组成一个测量样值序列，而将组成一个附加白噪声序列。c为量测参数，它是一个由测量系统和测量方法所确定的不随时间变化的常数。因为量测噪声序列是一个白噪声序列

12、，故其统计特性可用如下的数字特征来描述：均值 方差 常数自相关序列 又因量测噪声序列与随机信号序列互不相关，故 所以，我们可以得到一维时变随机信号及其测量过程的数学模型，见图2-1。y(k)w(k-1)x(k) c + x(k-1) v(k)ta 信号的数学模型 测量过程的数学模型 图2-1 一维时变随机信号及其测量过程的数学模型2.3 多维随机信号向量及其数学模型假设我们想同时对q 个独立的标量随机信号，进行最优滤波或预测，而这q个独立的标量随机信号都由它们各自的一阶自递归过程产生，即 (2-3)式中：=1，2， 。若上述个一阶自递归过程中的过程噪声是彼此独立的白噪声序列，则可以定义一个由这

13、q个独立的标量随机信号组成的q维随机信号向量 (2-4)和一个由q个独立的白噪声序列组成的q维过程噪声向量 (2-5)并将（2-3）式写成一个一阶的向量方程 (2-6)式中：和均为（q1）维列向量，而a则是一个（qq）阶矩阵 (2-7)我们称之为系统矩阵。在引入q维过程噪声向量后，原标量过程噪声的方差将变成q维过程噪声向量的协方差矩阵 (2-8)因为我们假设产生q个独立标量随机信号的一阶自递归过程的过程噪声是彼此独立的白噪声序列，故 (2-9)显然，此协方差矩阵对角线上个元素即为组成该过程噪声向量的个分量的方差。2.4 多维测量数据向量及其数学模型假设为了对一个q维随机信号向量进行最优滤波或预

14、测，在k时刻对的前r个分量，令rq，同时进行了一次测量。得到r个测量数据的样值，用，表示，即 （2-10）式中：，为测量系统的量测参数；，为测量过程中引入的附加量测噪声。（2-10）式可写成一个一阶向量方程 （2-11）式中：和为（r1）维列向量，为（q1）维列向量，而c则是一个（rq）阶矩阵 （2-12）称为量测矩阵回观测矩阵。显然，一阶向量方程（2-11）式就是r维测量数据向量的数学模型，或者说是q维随机信号向量的测量过程的数学模型。在引入r维量测噪声向量后，原标量量测噪声的方差此时也将变成量测噪声向量的协方差矩阵 （2-13） 3卡尔曼滤波器3.1标量卡尔曼滤波器的基本内容一维随机信号的

15、递归型估计器的一般表达式： (3-1) 在信号数学模型为（2-1）式、测量过程的数学模型为（2-2）的条件下，以均方估计误差最小为准则对估计器的加权系数和进行最优化，并推导出标量卡尔曼滤波器的最优估计的递推算法。由（3-2）式表述的递归型估计器在k时刻对信号的估计误差为 (3-2) 均方估计差为 (3-3) 若将（3-1）式代入（3-3）式，可得 (3-4) 若令对和的偏导数为零，即 (3-5) (3-6) 则由（3-5）式和（3-6）式中解出和将保证该递归型估计器的均方估计误差为最小。 根据统计估计理论中的正交原理，我们也可将（3-5）式和（3-6）式分别写成正交方程的形式，即 (3-7)

16、(3-8) 由（3-5）式，我们可得 (3-9) 再由（3-9）式出发，经过一系列的代换可求出 (3-10)此式为经过最优化得到的表达式。式中：是最优递归型估计器的一个时变增益，它将随时标k的改变而变化。是信号模型中反映一阶自递归过程惰性大小的参数，只要信号模型确定后，它就是一个常数。显然，和是两个意义完全不同的量。我们还可以看出，由于式中还包含另一个未知的时变增益，因此它实际上只是一个与的关系式。要想最终确定，还必须求出。 最优递归型估计器对信号的均方估计误差可写成 由正交公式（3-7）式和（3-8）式可知，上式等号右侧的后两项为零，故 (3-11) 由量测方程（2-2）式，我们可得 代入（

17、3-11）式，因为信号与量测噪声不相关，（）时刻的信号估计值与时刻的量测噪声也不相关，故 (3-12)我们还可以把最优递归型估计器对信号的均方估计误差写成 (3-13)再利用与的关系式（3-10）式 因为、和互不相关，它们的交叉乘积项的均值都为零，故 (3-14)将（3-12）式代入（3-14）式，经整理后求解得 (3-15)此式即经过最优化所得到的的表达式。3.2 最优递归型估计器的构成由（3-1）式所表述的递归型估计器，当其时变增益和经过最优化，即分别有（3-10）式和（3-15）式给出时，就是一个最优递归型估计器，其均方估计误差最小。利用（3-10）式，我们可从（3-1）式中消去，得到

18、(3-16)由（3-16）式，可构成一个最优递归型估计器-标量卡尔曼滤波器，其框图如图3-1。x(k)y(k)+_+b(k)cat 图3-1 标量卡尔曼滤波器框图对（3-16）式物理意义的说明：在尚未获得k时刻的新测量样值以前，我们只能从时刻对信号所作出的估计出发，根据由信号数学模型所确定的规律来对k时刻的信号进行预估。由于信号数学模型中的动态噪声的确切数值无从得知，故对的预估值只能取作。可见，（3-16）式等号右侧的第一项就是在未获得任何新信息的情况下，根据以往的测量数据对k时刻的信号所做的预估。在k 时刻的新测量样值尚未得到之前，我们还可对k时刻的将要测得的新测量样值进行预估。但是，此时我

19、们只能从对k时刻的信号的预估值出发，根据量测方程来对k时刻将要测得的作出预估。由于量测噪声的确切数值无从得知，故对的预估值只能取作 当我们测得k时刻的新测量样值后，若所测得的值与其预估值之差不为零，就说明k时刻的新测量样值中包含有前（）次测量中所没有的新信息。若与其预估值之差为零，则说明k时刻的新测量样值中不包含任何新信息。因此，我们把k时刻的信号实测值与其预估值之差称为第k 次测量中的新信息。显然，当我们测得k时刻的新测量样值之后，可利用第k次测量中的新信息乘上一个比例系数作为修正项，对未测得前对信号给出的预估值进行修正，从而得到k时刻对信号的估计值。可见，（3-16）式等号右侧的第二项即为

20、对信号预估值的修正项。3.3 标量卡尔曼滤波器的递推算法卡尔曼滤波的基本算法是预估加修正，而公式（3-16）式、（3-15）式和（3-12）式就构成了标量卡尔曼滤波器在信号及其测量过程的数学模型分别为和时对信号进行最优估计的一套完整的递推算法。（3-6）式可用来推算卡尔曼滤波器在不同取样时刻k 对信号的估计值，即 （3-15）式可用来推算卡尔曼滤波器在不同取样时刻k的时变滤波增益，即 （3-12）式可用来推算卡尔曼滤波器在不同取样时刻k的均方估计误差，即 为了便于将标量卡尔曼滤波器的递推算法直接推广到向量随机信号（即多维随机信号）的卡尔曼滤波中去，给出如下的一套完整的递推算法：滤波估计方程 (

21、3-17)滤波增益方程 (3-18)式中： (3-19)均方滤波误差方程 (3-20)3.4 标量卡尔曼预测器假设待测标量随机信号的数学模型为一阶自递归过程，即信号测量过程的数学模型为线性递归型预测估计器可用如下的递推方程来表述： (3-21)为使（3-21）式表述的线性预估器成为一个最优线性预测器，就必须依据最小均方误差准则对（3-21）式中的时变预测增益和进行最优化。用上节类似的方法，可以求得经最优化后的和的表达式以及相应的均方预测误差的表达式，即 (3-22) (3-23) (3-24) 其中：根据（3-22）式，可由推算出；再根据（3-23）式又可由推算出。只要选定了初值，这一递推过程

22、就可以不断的进行下去。将（3-22）式代入（3-21）式，可得 (3-25)根据（3-25）式，可以构成一个标量卡尔曼预测器，其框图如图3-2所示。+ 图3-2 标量卡尔曼预测器框图图3-2所示的标量卡尔曼预测器的一套完整的递推算法有（3-22）式、（3-23）式、（3-24）式组成。但为了便于将这组公式直接推广到向量随机信号（即多维随机信号）的卡尔曼递推预测中去，当变量随机信号及其测量过程的数学模型分别为和时，将（3-24）式作下改写，即利用（3-23）式消去（3-24）式中的。经过改写后得到卡尔曼预测器对此信号进行递推预测的一套完整的递推算法，公式如下：预测估计方程 (3-26) 预测增益

23、方程 (3-27)均方预测误差方程 (3-28)3.5 向量卡尔曼滤波和预测与标量情况类似，可用向量表示k时刻对随机信号向量的最优线性滤波估计值，用向量表示在k时刻对时刻的随机信号向量的最优线性预测估计值。对向量卡尔曼滤波来说，标量情况下的滤波误差此时将变成一个滤波误差向量 （3-29）标量情况下的均方滤波误差，此时将变成一个滤波误差的协方差矩阵 （3-30）同样，对向量卡尔曼预测来说，其预测误差向量为 （3-31）其预测协方差矩阵为 （3-32）所谓向量卡尔曼滤波器或预测器，实际上就是一种能对向量随机信号进行最优线性滤波或预测的递归型滤波器。“最优”的含义，是指能使每个信号分量的均方估计误差

24、同时为最小。考虑到向量卡尔曼滤波器或预测与标量卡尔曼滤波器或预测无论条件上（即信号及其测量过程的数学模型）还是在要求上（即“最优”的含义）都完全相似，因而，可以直接把标量卡尔曼滤波或预测的递推公式推广到向量情况。在直接引用标量卡尔曼滤波或预测的递推公式时，除了应把标量形式的信号、信号估计值和测量样值表述成向量形式，把系统参数a和量测参数c表述成系统矩阵（或称系统的状态转移矩阵）a和量测矩阵c，把均方估计误差和有关噪声和方差表述成相应的协方差矩阵外，还应根据表3-1将递推公式中的标量运算变换成相应的矩阵运算。 表3-1 从标量运算到矩阵运算的转换表标量运算 矩阵运算 注意：在使用表3-1时必须使

25、变换后的没一步矩阵运算都能进行下去，并使等号两侧最终得到的矩阵在阶数上保持一致。我们可以从标量卡尔曼滤波的递推算法（3-17）（3-20）式直接得到向量卡尔曼滤波的递推算法：滤波估计方程： (3-33）滤波增益方程： （3-34）式中： （3-35）滤波协方差方程： （3-36）和标量卡尔曼滤波器一样，向量卡尔曼滤波器也是以预测加修正作为其递推滤波的基本算法的。卡尔曼滤波器的这一特性，使得很容易用计算机来实现对信号的实时滤波，为此，可采用软件芳案来实现卡尔曼滤波。在向量卡尔曼滤波的一整套递推算法中，（3-33）式可构成向量卡尔曼滤波的主程序算法， 图3-3给出了主程序算法的框图。第三步+第二步

26、第一步 图3-3 向量卡尔曼滤波的主程序算法框图从图3-3中可以看出，向量卡尔曼滤波的主程序算法主要分三步来进行。第一步：在已知（k-1）时刻对信号向量的估计值的条件下，用系统矩阵a乘以，得到在（k-1）时刻对k时刻信号向量的预测值。 第二步：用量测矩阵c乘以，得到在（k-1）时刻对k时刻的测量数据向量的预测值；再用的实测值减去预测值，得到残差（新信息）；最后用滤波增益矩阵乘以，得到修正量。 第三步：把对信号的预测值加上修正量，得到信号的滤波估计值。值得注意的是：在上述运算过程中，所用的滤波增益矩阵并不是在主程序中计算出来的，而是从向量卡尔曼滤波的子程序算法中计算出来的。上述运算过程中所得到的

27、值应存储起来，以供下一次递推时使用。只要确定了信号估计值的初值，例如设，则随着时间的推移，可在测得后算出，在测得后算出，依次类推。在从（k-1）时刻到k时刻这段时间内，只需把存储起来。随着递推的不断进行，再对它不断更新。当然，如果系统矩阵和量测矩阵是时变的，就需把和也存储起来。向量卡尔曼滤波的子程序算法是由（3-33）（3-36）式构成的，其算法框图由图3-4所示。从图3-4中可以看出，向量卡尔曼滤波的子程序算法也分三步来进行。第一步：在以知、和的条件下，利用（3-35）式求出。第二步：将、和代入（3-34）式，求出，供主程序调用。第三步：将、和代入（3-36）式，求出并存储起来，以供下一次递

28、推用。计算延时计算计算图3-4 向量卡尔曼滤波的子程序算法框图由于滤波增益矩阵只与矩阵、和以及滤波协方差矩阵的初值无关，而与信号的估计值和测量值无关，所以对的计算可在对信号进行估计之前就由子程序来独立完成。需要指出的是：即使a、c、q、r都是与时间无关的常数矩阵，滤波协方差矩阵和滤波增益矩阵仍将与时间有关。只要选定了滤波协方差矩阵的初值，子程序中的递推运算即可反复进行下去，从而对和主程序所需调用的不断进行更新。此外，由于在用（3-34）式求的过程中需对（rr）阶矩阵求逆，所以量测数据向量的维数r一般不宜取得过大。最后把向量卡尔曼滤波的主程序算法和子程序合在一起，看看子程序中影响滤波增益的诸因数

29、与在主程序中所起的作用。在卡尔曼主程序中：首先根据信号模型对信号进行外推预测，得到信号的外推预测值；然后，根据信号的量测方程和信号的实测值，求出残差，经调用加权后，作为对信号预测值的修正量；最后，将预测值和修正值相加，给出信号的滤波估计值。在主程序中是修正量的加权因子。大，意味着实际测量值在滤波估计中所起的作用大；小，意味着外推预测值在滤波估计中所起的作用大。的大小是在卡尔曼滤波的子程序中计算出来的。从（3-34）式可知，的大小与有关。若变小，则变大。这一结果的物理意义很明显。变小意味着测量过程中引入的量测噪声变小，因此信号实测值的准确度较高。此时，当然把取大一些，使信号的滤波估计值依赖实测值

30、的比重加大。从（3-34）式还可知，的大小还与有关，即与预测误差的协方差有关。根据（3-35）式，若变小，或变小，或两者都变小，则变小。此时，也变小。这一结果的物理意义也不难理解。变小意味着原有滤波估计值较为准确，变小意味着动态过程噪声在信号模型中起的作用较小，这都会使信号的外推预测值的可靠性提高。这一点，也可以从预测协方差变小看出。此时，当然应把值取得小一些，使信号的滤波估计值依赖外推预测值的比重加大。3.6卡尔曼的线性化卡尔曼滤波在测量领域的应用一般都存在线性化的问题。卡尔曼滤波的线性化目前主要有按系统标称状态线性化和按系统状态最优估计线性化(也称广义卡尔曼滤波)两种方式。在静态定位领域，

31、由于观测目标状态不变，因而标称状态的误差不会随滤波过程增大，这两种线性化方法都易于使用。但在动态定位领域，由于状态方程中动态噪声的原因， 系统的标称状态和实际状态容易相差过大，按照标 称状态线性化方式的线性化就会有较大误差，从而影响滤波精度。广义卡尔曼滤波按照系统状态最优 估计进行线性化，其线性化精度可以保证，但是其线性化是在本时刻预报的基础上进行 的，即线性化时 必须确定定位点的动态模型，而在卡尔曼滤波的实 际应用中，如采用多模型的自适应滤波方法 动态模型改变，系统就必须重新线性化，不便进行数据处理。同时，此线性化方法和测量界常用的最小 二乘线性化方法不同，后者经常在卡尔曼滤波中被 用来作各

32、种辅助处理，如成果检核和精度分析等，数 据处理也不便。因此 ，本文提出了一种新的线性化方法，使用前一步最优估计值进行线性化，将最小二乘和卡尔曼滤波的线性观测方程统一，从而便于数据处理，也能保证精度，在空间状态变化不大的情况下，线性化精度和广义卡尔曼滤波类似。经典方程对于线性系统： (3-37)经典线性离散卡尔曼滤波方程为： (3-38) (3-39) (3-40) （3-41） (3-42)目前的两种线性化方法 在一般的工程实践中，滤波方程的状态方程或量测方程常是非线性方 程，最常见的是系统噪 声为线性的非线性方程： (3-43)经典滤波方程式(3-38)式(3-42)并不能直接使用，要推导出

33、相应的线性公式。 在线性化时，卡尔曼滤波基本方程的式(3-40)、式(3-42)变化较小 ，较易写出，本文主要针对线性化中的式(3-38)、式(3-39)、式(3-41)进行讨论。目前使用的两种线性化为按标称状态线性化和按照状态估计值线性化。 按标称状态线性化后，式(3-38)、式(3-39)、式(3-41)有如下形式： (3-44) (3-45) (3-46) 式中，由于式(3-44)中的 是根据标称的物理过程 给出的，如果实际物理过程和标称物理过程相差过大，会导致数值过大,线性化误差也会相应增大 。围绕状态估计值线性化的滤波方法即为广义卡尔曼滤波。在广义卡尔曼滤波中，对应卡尔曼滤波基本方程

34、的式 (3-38)、式(3-39)、式(3-41)为： (3-47) (3-48) (3-49)式（3-49）可以进一步表示为： (3-50)由于式(3-47)中的 总为零，线性化误差仅受上一步估计结果精度及下一步预报精度的影响，所以精度较高。 按前一步状态最优估计线性化最小二乘线性化中，由于不顾及观测点的运动状态 ，其线性化一般都是采用上一步的定位结果。这样，如果在数据处理中同时使用此两种估计方法，由于最小二乘和广义卡尔曼滤波的线性化方法不同，所得观测方程亦不同 ，不便于数据处理。本文提出了在上一步的定位结果的基础上进行线性化的方法，可将最小二乘和卡尔曼滤波的线性观测方程统一 ，从而便于数据

35、处理，也能保证精度。以下进行理论推导。定义： (3-51)式中，为本时刻的估计值。将式(3-43)中的状态方程在前一步状态最优估 计处按泰勒级数展开，并取一次形式： (3-52)将改写成，则由式（3-52）可推得： (3-53)同时定义： （3-54）将式（3-43）中的观测方程在本时刻状态最优估计处按照泰勒级数展开： (3-55)得： （3-56）结合式（3-53）、式（3-56）即可得到按照前一步状态线性化的状态方程和量测方程： （3-57）根据式（3-57）可以推导出相应的线性滤波公式： （3-58） （3-59） （3-30）从形式上看，此滤波公式和按照标称状态线性化的公式相同。但由式

36、(3-51)的定义可以得知，由于的误差不会随着滤波时间的增长而愈来愈大，因而，这种线性化方式不会像按标称状态线性化那样会导致线性化误差过大的问题。同时，式(3-30)中的滤波结果 为一个滤波周期中状态的变化量，在状态变化缓慢的情况下，其数值不会太大，此时线性化的精度效果和广义卡尔曼滤波基本相同。 这种线性化方法的优点是其线性化点与观测对象的运动状态无关，观测对象的动态噪声不会影响到线性化的精度。更为重要的是，在最小二乘估计中，由于不顾及观测对象的运动状态 ，其线性化常在前一步的估计结果处进行，这样本文的线性化方式就和最小二乘线性化一致 。4 传感器及转换技术4.1 传感器的概述传感器技术是一项

37、正在迅速发展的高新技术，它与通信技术，计算机技术一起构成当代信息产业的三大支柱。由于传感器是用来直接或间接与被测对象发生联系，将被测参数（机械、物理、化学、压力、温度等非电量）转换成可以直接测量的信号（通常是易于放大和远距离传输的信号），它为系统提供了进行处理和决策所必需的原始信息。因此，它是现代检测系统和信息技术系统中的关键环节。传感器获得的信息正确与否，直接影响整个系统的精度。如果传感器的误差大，后级的测量电路、放大器以及微处理器的精确度再高也是徒劳。在现代工业生产中，尤其是计算机过程控制中，需要各种传感器监视生产过程中的各种参数，并转换成电信号，以便控制生产设备及工艺流程，使其处于最佳状

38、态，从而取得高质量产品，并能极大地提高生产率。可见，若没有众多的优良的传感器，现代化生产也就失去了基础。传感器的种类很多，分类方法也有很多，常见的有：按检测用途分类、按能量传递方式分类、按转换原理分类、按传感器技术发展阶段分类等。本文中所要用的是温度传感器。按能量传递方式分类，它应该是热电式传感器。热电偶是目前温度测量领域里应广泛的传感器之一，主要应用在化工、冶金、石油、机械等部门测量1600摄氏度以下的液体，气体，蒸汽等介质的温度。它与其它温度传感器相比具有以下突出的优点：（1）能测量较高的温度，常用的热电偶能长期地用来测量-1802800摄氏度的温度。（2）热点偶把温度信号转换成电压信号，

39、测量方便，且便于远距离传递和自动记录，有利于集中检测、报警和控制。（3）结构简单、准确可靠、性能稳定、维护方便。（4）热容量和热惯性都很小，能用于快速测量。热点偶的主要缺点就是它的输出信号和温度示值呈非线性关系，并且下限范围的灵敏度较低。热电偶的基本工作原理是基于“热电势效应”。将两种不同材料的导体组成一个闭合回路。如果两端接点的温度不同，回路中就产生电势，该电势的方向和大小，与两种导体的性质和接点温度有关。这个物理现象叫作热电势效应，有时也称为温差效应。组成热电偶的导体称为“热电极”，温度高的一端称为“热端”或工作端，另一端称为自由端或冷端。根据上述热电偶的测温原则，从理论上说任何两种导体都

40、能配成热电偶。但在工业生产和科学研究中使用的热电偶，对其材料有一点要求：（1） 物理性能稳定；（2） 化学性能稳定；（3） 有足够的灵敏度；（4） 复现性好；（5） 电阻温度系数小，导电率高；（6） 机械加工性能好，材料质地均匀；根据上述要求，目前我国广泛采用三种合金材料制作热电偶，主要有以下几种：（1） 铂铹-铂热电偶（wrlb）；（2） 镍铬-镍硅热电偶（wreu）；（3） 镍铬-考铜热电偶（wrea）。热电偶在室温下的典型输出电压为毫伏数量级。4.2转换技术传感器，如温度，压力，流量，电阻等，他们的输出量都是模拟量。然而，计算机识别的只有数字量。因此，传感器和计算机之间要通过模数转换器（

41、a/d），它的功能是把输入的，模拟量转换成二进制数字信号，即计算机接受的数字信号。相反，把计算机输出的数字信号，用于控制执行时，由于大多数执行装置都是识别模拟信号，因此，传输之前还得进行数模转换（d/a），它把数字信号转换成模拟信号。可见，a/d和d/a模拟电路与数字电路的接口装置，是数字花和计算机应用基础，其应用非常广泛，在检测系统中也占有重要的位置。4.2.1 d/a转换器：d/a转换器的功能是将几位输入的数字量转换成对应的模拟量，其输出有模拟电压和模拟电流两种形式。如dac0832（电流输出），ad7224（电压输出）等。常用的dac有两种结构形式，一种是权电阻解码网络，另一种是r-2r

42、梯形解码网络。dac的技术指标较多，其中重要的有：1.精度 精度有绝对精度和相对精度。绝对精度是指dac输出信号的实际值与理论值的误差，它包括非线性，零点，增益，温度漂移等项误差。2.转换时间 输入数字代码产生满度值的变化时，其模拟输出达到最终值的1/2内所需时间。输出形式是电流时，其转换时间是很多的，一般50-500，若输出形式是电压，转换器主要建立时间是输出运算放大器所需的时间，约为110。3分辨率 分辨率d是dac最重要的指标，它是表示dac对微小输入量变化的敏感程度的描述。 分辨率d的定义：量化单位q除以满量程电压值，或用d/a转换器的位数表示可写成： 式中： （数字量最低位所代表的数值） n-数字量的位数4.2.2 集成芯片dac 近年来，随着大规模集成技术发展，特别是cmos工艺的发展，已经产生出各种单芯片的dac，主要是将r-2r体形网络、模拟开关、运算放大器集成在单一芯片上，根据实际应用的需要，再附加一些功能电路，就形成了具有各种特性及功能的不同型号的dac芯片。dac芯片的典型结构框图如下图4-1所示。 参考源放大器模拟转换电流电压输出运算放大器模拟转换参考源放大器外参考源 电平转换电平转换数学控制或存储数字输入 图4-1 集