高中数学 第二章 平面向量 2. 向量的线性运算 2..4 数乘向量示范教案 新人教B版必修4

1、学必求其心得，业必贵于专精2。1.4 向量数乘示范教案教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广与简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛,且容易出错尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着密切的联系三维目标1通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程;掌握实数与向量积的定义;理解实数与向量积的几何意义；掌握实数

2、与向量的积的运算律2通过探究，体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用重点难点教学重点:1.理解数乘向量所表达的几何意义；2理解并掌握向量的线性运算教学难点：数乘向量分配律所表达的几何意义课时安排1课时导入新课思路1。（类比引入)我们知道，平面几何中的全等与平行的问题，与向量加法及其运算律有着密切的联系，在几何中,一个重要问题是研讨图象的“放大“缩小和相似性质我们是否也能用向量的某种运算去研究呢？由此展开新课思路2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示

3、？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课推进新课活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证,点拨学生通过作图来进行通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义教师要引导学生特别注意0a0,而不是0a0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如a，a都无法进行向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：（)aaa和（ab）ab，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同判断两个向量是

4、否平行(共线），实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段对问题(1)，学生通过作图1可发现，aaa.类似数的乘法，可把aaa记作3a，即3a.显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即3a|3a|.同样，由图1可知，图1(a）(a）（a)，即（a）（a）(a）3（a)显然3（a)的方向与a的方向相反，3（a)的长度是a的长度的3倍，这样,3（a)3a.已知(图2），把线段ab三等分，分点为p，q，则图2，aq,。由上述分析，我们引出数乘向量的一般定义：定义实数和

5、向量a的乘积是一个向量，记作a，且a的长度a|a|。a（a0）的方向当0或a0时，0a0或00（图3）图3a中的实数，叫做向量a的系数数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小根据实数与向量的积的定义,我们可以验证数乘向量运算满足下面的运算律设、为实数,那么(a）（）a；（)aaa;(ab）ab(分配律)特别地，我们有(）a（a）(a），(ab)ab.对问题(3),向量共线的等价条件是:如果a(a0)与b共线,那么有且只有一个实数,使ba.推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a（a0)、b，如果有一个实数，使ba，那么由向量数乘的定义，知a与b共线反过来

6、，已知向量a与b共线，a0，且向量b的长度是向量a的长度的倍，即|ba，那么当a与b同方向时，有ba；当a与b反方向时，有ba。关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况:(1)有一个为零向量；(2）两个都为零向量；(3）同向且模相等;（4)同向且模不等；(5)反向且模相等;（6）反向且模不等讨论结果：(1)数与向量的积仍是一个向

7、量,向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定,大小由|a|确定(2）它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小(3)略(4）略例1设a，b为向量，计算下列各式:(1)3a；（2)2（ab)（ab）；(3)（2mn）amb(mn)（ab)(m，n为实数）活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己完成，要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律教学中,点拨学生不能将本题看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有(1a2b)1a2b.解:(1

8、)原式(3)aa.（2)原式2a2bab（2aa)(2bb）ab。（3）原式2manambm(ab)n（ab)2manambmambnanbmanb。点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”。变式训练计算下列各式：(1）(2)a；(2）2(ab）3(ab)；(3)（)(ab)（）(ab）解：（1）（2)a（2)a(1)aa。（2）2（ab）3（ab）2a2b3a3b(2a3a)（2b3b）a5b。(3）（)（ab）（）（ab)(ab)（ab）(ab)（ab）abababab2a2b。2如图4所示，已知3,3，说明向量与的关系图4解:因为333()

9、3，所以与共线且同方向，长度是的3倍3如图5，abcd的两条对角线相交于点m，且a，b,你能用a、b表示、和吗？图5活动：本例的解答要用到平行四边形的性质另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点解：在abcd中，ab,ab，又平行四边形的两条对角线互相平分，(ab）ab，（ab)ab，ab，ab.点评:结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键4凸四边形abcd的边ad、bc的中点分别为e、f，求证：(）活动:教师引导学生探究，能否构造三角形，使ef作为三角形中位线,借助于

10、三角形中位线定理解决，或创造相同起点，以建立向量间关系鼓励学生多角度观察思考问题解：方法一：过点c在平面内作，则四边形abgc是平行四边形，故f为ag中点（如图6)图6ef是adg的中位线efdg。.而，（)方法二：如图7，连接eb、ec，则有，图7又e是ad的中点，有0，即有。以与为邻边作ebgc，则由f是bc之中点，可得f也是eg之中点（)（）点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：（1)加强数形结合思想的训练，画出草图帮助解决问题；（2）加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习，做到准确熟练运用。变式训练若非零向量a、b满足ab|b,则（)a2a|2ab b|2a|0时，a与a方向相

11、同，当0时，a与a方向相反2向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点,教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量，、为任意实数，则有(1）（a)()a;(2）（)aaa；(3）（ab)ab.证明:（1)如果0或0或a0,则式显然成立如果0，0，且a0，则根据向量数乘的定义,有(a)|a|a，|(）a|a|a.所以（a）|（)a。如果、同号，则式两边向量的方向都与a同向；如果、异号，则式两边向量的方向都与a反向因

12、此，向量（a)与()a有相等的模和相同的方向,所以这两个向量相等(2)如果0或0或a0,则显然成立如果0,0且a0，可分如下两种情况：当、同号时，则a和a同向,所以（)a|a(|）a,aa|aa|a|a|（|)|a，即有(）a|aa|.由、同号，知式两边向量的方向或都与a同向，或都与a反向,即式两边向量的方向相同综上所述，式成立如果、异号,当时，式两边向量的方向都与a的方向相同;当0且1时如图8，在平面内任取一点o作a,b，a,b，则ab，ab.图8由作法知，有oaboa1b1，|。所以。所以aoba1ob1。所以，aoba1ob1.因此o、b、b1在同一条直线上，|，与的方向也相同所以（ab)ab.当0时，由图9可类似证明(ab）ab.图9所以式也成立二、备用习题1.（2a8b）（4a2b）等于()a2ab b2bacba dab2若向量方程2x3（x2a)0，则向量x等于()a。a b6a c6a da3在abc中，,efbc，ef交ac于f，