平面向量的坐标运算及共线坐标表示(用)

1、2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 A B C D o x y i j a 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 如图，如图， 是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同 的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则 , i j , i j + a aij xy xy 对对于于该该平平面面内内的的任任一一向向量量 ， 有有且且只只有有一一对对实实数数 、 ，可可使使 这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）坐标，记作的（直角）坐标，记作a ( , )ax y 其中，其中，x x叫做

2、叫做 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做 在在y y轴上的坐标，轴上的坐标， 式叫做向量的坐标表示。式叫做向量的坐标表示。 aa ),( ),( ),( ),(),( 11 2121 2121 2211 yxa yyxxba yyxxba yxbyxa 则： 向量的坐标运算 (2,1),( 3,4), ,34 ab ab abab 练习，已知 求的坐标。 (2,1)( 3,4)15 (2,1)( 3,4)53 343(2,1)4( 3,4)619 ab ab ab 解：（， ） （ ， ） （，） 例例1.已知已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量求向量 的坐标的坐标.

3、AB 解：解： ABOBOA =(x2,y2)(x1,y1) =(x2x1，y2y1)。 说明：一个向量的坐标等于说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐向量终点的坐 标减去始点的坐标标减去始点的坐标。 例例2.在直角坐标系在直角坐标系xOy中，已知点中，已知点A(x1,y1), B( x2, y2), 求线段求线段AB中点的坐标。中点的坐标。 解：设解：设M(x,y)是线段是线段AB的中点，则的中点，则 1 () 2 OMOAOB 1122 1 ( , )(,)(,) 2 x yx yxy 1212 , 22 xxyy xy 例例2得到的公式，得到的公式， 叫做线段中点的叫做线段中点的 坐标公式

4、，简称坐标公式，简称 中点公式。中点公式。 例例3.已知已知ABCD的三个顶点的三个顶点A(2, 1)、B(1, 3)、C(3, 4)，求顶点，求顶点D的坐标。的坐标。 解：解： ODOAADOABC OAOCOB =(2,1)+(3,4) (1,3) =(2, 2) 所以所以D点的坐标是点的坐标是(2, 2). O x y 1 1 D(x,y) C(3,4) A(-2,1) A(-1,3) 练习练习1. 设向量设向量a=(1,3)，b =(2,4)，c =(1,2)，若表示向量，若表示向量4a、4b2c、2(a c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则的有向线段首尾相接能构成四边形，则 向

5、量向量d为为 . 解：解： 4a+(4b2c)+2(ac)+d=0, 所以所以d=6a4b+4c=(2, 6). 2.设设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足满足 (1) 为何值时为何值时,点点P在直线在直线y=x上上? (2)设点设点P在第三象限在第三象限, 求求的范围的范围. APABAC 解解: (1) 设设P(x, y)，则，则 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以所以x=5+5，y=7+4. 2 1 解得解得 = (2) 由已知由已知 5+50,7+40 , 所以所以1. 如何用坐标表示向量平行如何用坐标表示向量平行(共线共线)的等价条件的等价条件?

6、 会得到什么样的重要结论会得到什么样的重要结论? 向量向量 与非零向量与非零向量 平行平行(共线共线)的等价条件是有且的等价条件是有且 只有一个实数只有一个实数 , 使得使得 a b ba 设设 即即 中中,至少有一个不为至少有一个不为0 ,则由则由 得得 ),( 11 yxa ),( 22 yxb ba 0, b 22, y x 0 1221 yxyx 0 1221 yxyx 这就是说这就是说: 的等价条件是的等价条件是 )0(/ bba a=(x1 ,y1)， b=(x2 ,y2) 3、 其中其中 , a 0 有且只有一个实数有且只有一个实数，使得，使得a b= 即：即：（x2 , y2)

7、 =(x1 , y1) =(x1 , y1) 所以所以 x2=x1 y2=y1 消去消去得：得： x1y2- x2 y1=0 a=(x1 ,y1)， b=(x2 ,y2) 其中其中 x1y2- x2 y1=0 a b a b (0)a 平面向量平面向量共线共线的坐标表示的坐标表示 向量共线的充要条件向量共线的充要条件的两种表示形式的两种表示形式: x1y2- x2 y1=0 (2) a b(a0) a=(x1 ,y1)， b=(x2 ,y2) 有且只有一个实数有且只有一个实数,使得使得a b= (1) a b(a0) 例例1 1 已知已知 a = =（4 4，2 2）,b=,b=（6 6，y

8、y） 且且a b b，求，求y y的值的值. . 解：解： a b b 4y-2 4y-26=06=0 解得解得y=3y=3 典型例题典型例题 ), 1(xa )2 ,( xb 例例2 已知点已知点A(1，3)， B(3，13)，C(6，28) 求证：求证：A、B、C三点共线三点共线. 证明：证明：AB=(3-1,13-3)=(2,10)AB=(3-1,13-3)=(2,10) BC=(6-3,28-13)=(3,15) BC=(6-3,28-13)=(3,15) 2 225=525=51010 ABBC ABBC 又又 直线直线ABAB、直线、直线BCBC有公共点有公共点B B A A、B

9、B、C C三点共线三点共线 典型例题典型例题 x y O P1 P2 P (2)(2) x y O P1 P2 P 例例3:设点设点P是线段是线段P1P2上的一点，上的一点，P1、P2的坐标分别是的坐标分别是 。 （1）当点）当点P是线段是线段P1P2的中点时，求点的中点时，求点P的坐标的坐标； （2）当点）当点P是线段是线段P1P2的一个三等分点时，求点的一个三等分点时，求点P的坐标的坐标。 1122 ( ,),(,)x yxy x y O P1 P2 P x y O P1 P2 P . 2 2 1 153 . 22 2 1 2 1 21 PP PP PP PP PPP 或有两种情况，即，

10、的一个三等分点时，是线段，当点）如图（ x y O P1 P2 P 3 2 , 3 2 3 1 3 2 )( 3 1 3 1 2 1 2121 21121 21111 2 1 yyxx OPOPOPOPOP PPOPPPOPOP PP PP ，那么如果 ），的坐标是（即点 3 2 3 2 2121 yyxx P 直线直线l上两点上两点 p1 、 p2，在，在l上取不同于上取不同于 p1 、p 2的任一点的任一点P， 则则P点与点与p1 p2的位置有哪几种情形？的位置有哪几种情形？ P在之在之 间间 21P P 1 P 2 PP P在在 的延长线上，的延长线上， 21P P 1 P 2 PP P

11、在在 的延长线上的延长线上. . 12P P 1 P 2 PP 能根据能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量 方向确定方向确定的取值范围吗？的取值范围吗？ 0 1 01 存在一个实数存在一个实数，使，使 ，叫做点叫做点P分有向线分有向线 段段 所成的比所成的比 21 PPPP 21P P 设设 ， ，P分分 所成的比为所成的比为 ，如何，如何 求求P点的坐标呢？点的坐标呢？ ),( 111 yxP),( 222 yxP 21P P ),( 111 yyxxPP ),(),( 2211 yyxxyyxx ),( 222 yyxxPP 21 PPP

12、P )( )( 21 21 yyyy xxxx 1 1 21 21 yy y xx x 1 1 21 21 yy y xx x 有向线段有向线段 的的定比分点坐标公式定比分点坐标公式 21P P 有向线段 的中点坐标公式 21P P 2 2 21 21 yy y xx x (1)两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和； (2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差； (3)实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标 乘以该实数； 小结小结 1212 (,)xxyyab 1212 (,)xxyyab (,). xya 1222 1212 2 22 .A(,),(,) ; xyBxy xxyy xy 点点的的 坐坐 标标点点的的 坐坐 标标 则则 线线 段段 A AB B的的 中中 点点 坐坐 标标 ( (x x, ,y y) )为为 : : 1、向量平行、向量平行(共线共线)的两种形式的两种形式: 1122 1221 (1) / / (0); (2)