2019年注册岩土工程师基础考试培训资料--无穷级ppt课件

1、 无穷级数无穷级数 一、数项级数 二、幂级数 讨论敛散性 求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。 1.数项级数及收敛定义：数项级数及收敛定义： 给定一个数列, 321n uuuu将各项依 , 1 n n u 即 1n n u n uuuu 321 称上式为无穷级数， 其中第 n 项 n u叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 n k kn uS 1 称为级数的部分和. n uuuu 321 次相加, 简记为 ,lim存在若SSn n 收敛收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和。 时当1q ppp n 1 3 1 2 1 1 等比级数(又称几何级数) )0( 2 0 aqaqaqaaqa

2、 n n n ( q 称为公比 ). 级数收敛 , ; 1 q a ,1时当q级数发散 . 其和为 发散。收敛，当11pp P-级数级数 2.无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 , 1 n n uS 1n n v )( 1 n n n vu 性质性质1.设设 c 是非零常数，则级数是非零常数，则级数 1n n u 收敛于 S ,那 么 , 1 n n uS 有相同的敛散性。假 设 1n n uc 与 收敛于 c S . 性质性质2. 设有两个收敛级数设有两个收敛级数 则级数 也收敛, 其和为.S 1n n u 1n n uc 说明说明: (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 那 么 )(

3、1 n n n vu 必发散 . 但若二级数都发散 ,)( 1 n n n vu 不一定发散. (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (用反证法可证) 性质性质3. , 1 n n uS 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 性质性质5：设收敛级数：设收敛级数则必有 .0lim n n u 可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . *例例1.判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性: 1 12 (1)() 23 nn n 1 1 (2) 2 n n 1 (3) 1 n n n 1 1 (4) (1) n n n (比较审敛法比较审敛法) 设 , 1 n

4、n u 1n n v 且存在, ZN对一切 ,Nn 有 (1) 若强级数 1n n v 则弱级数 1n n u (2) 若弱级数 1n n u则强级数 1n n v 则有 收敛 ,也收敛 ; 发散 , 也发散 . nn vku 是两个正项级数, (常数 k 0 ), 3.正项级数审敛法正项级数审敛法 的敛散性。判别级数例 1 ) 1( 1 2 n nn 1 1 ) 1( 1 ) 1( 1 2 n n nn (比较审敛法的极限形式) , 1 n n u 1n n v ,liml v u n n n 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 , 1 收敛时且 n n v ; 1 也

5、收敛 n n u (3) 当 l = , 1 发散时且 n n v . 1 也发散 n n u 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l 时, 的敛散性. n 1 例例3. 判别级数判别级数 1 1 sin n n 解解: n lim 1 根据比较审敛法的极限形式知 2 1 n 1 sin 1 n n 1 1 sin n n 发散 比值审敛法 ( Dalembert 判别法) 设 n u为正项级数, 且 ,lim 1 n n nu u 那 么 (1) 当1 (2) 当1 时, 级数收敛 ; 或时, 级数发散 . . 根值审敛法根值审敛法 ( Cauchy判别法判别法)设 1n n u为正项 ,l

6、im n n n u ;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 级数, 且 那么 时上述定理失效。注：1 n n nu u 1 lim lim n 1 2 ) 1( n e n n e n 2 2 11 lim n n e n 1 1 e 因此级数 1 2 n n e n 收敛. . 4 1 2 的敛散性判别级数例 n n e n 解解: 4.交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 n n uuuu 1 321 ) 1( 称为交错级数 . ( Leibnitz 判别法判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数 ; ),2, 1() 1 1 nuu nn ,0l

7、im)2 n n u n n n u 1 1 ) 1(收敛 。 ,2, 1,0nun设 5.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数对任意项级数 , 1 n n u 假 设 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 1n n u收敛 , 1n n u 数 1n n u 绝对收敛 ； 则称原级 数 条件收敛 . 绝对收敛的级数一定收敛 . 由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知: 交错级数 1 1 ) 1( n p n n .1;10绝对收敛当条件收敛当pp 例例5. 证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛 : 证证: , 1sin 44

8、 nn n 而 1 4 1 n n 收敛 , 1 4 sin n n n 收敛 因而 1 4 sin n n n 绝对收敛 . 1 4 sin n n n 判断数项级数敛散的方法判断数项级数敛散的方法 1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质 2、利用必要条件：主要判别发散 3、求部分和数列的极限 4、正项级数的审敛法 1比值审敛法根值审敛法） 2比较审敛法或极限形式） 5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理 6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝 对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛 ox发 散发 散 收 敛 收敛 发散 1.Abel定理定理 若幂级数 0n n nx a, 0 点

9、收敛在xx 则对满足不等式 0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 0 xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 ,则对满足不等式 二、求幂级数收敛域二、求幂级数收敛域 *例例6.已知幂级数已知幂级数 0n n nx a 在3x 处收敛，则该级数 在1x 处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛 还是绝对收敛？ 解：由Abel定理 ，该幂级数在3x 处绝对收敛， 故在1x 绝对收敛。 例例7. 知知 n n nx a 0 0 xx 在 处条件收敛 , 问该级数收敛 半径是多少 ? 答答:根据Abel 定理可知, 级数在 0 xx 收敛 , 0 xx 时发散

10、 . 故收敛半径为. 0 xR 假设 0n n nx a 0n n nx a 的系数满足 ,lim 1 n n na a ; 1 R ;R .0R 1) 当 0 时, 2) 当 0 时, 3) 当 时, 那 么 的收敛半径为 1 lim n n na a R 2.求收敛半径求收敛半径 对端点 x =1, 1 lim n n na a R n xxx x n n 1 32 ) 1( 32 的收敛半径及收敛域. 解解: 1 1 n n 1 1 对端点 x = 1, 级数为交错级数, 1 ) 1( 1 1 n n n 收敛; 级数为, 1 1 n n 发散 . . 1, 1( 故收敛域为 例例8.8

11、.求幂级数求幂级数 lim n 例例9. 1 2 ) 1( n n n n x 求幂级数 的收敛域. 解解: 令令 ,1 xt级数变为 n n n t n 1 2 1 n n n na a Rlimlim 1 n n 2 1 ) 1(2 1 1 n n n n n n n 2 ) 1(2 lim 1 2 当 t = 2 时, 级数为, 1 1 n n 此级数发散; 当 t = 2 时, 级数为, ) 1( 1 n n n 此级数条件收敛; 因此级数的收敛域为 ,22t 故原级数的收敛域为 ,212x 即.31x 三、求函数的幂级数展开式三、求函数的幂级数展开式 1、对函数作恒等变形如果需要的话

12、） 2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求 函数的幂级数 3、写出收敛范围 x1 1 n xxxx 32 1) 1 , 1( x e ! 2 1 2 n xx x n ),( xsin )!12( ) 1( ! 5! 3 12 12 53 n xxx x n n ),( )1ln(x 1 ) 1( 32 132 n xxx x n n 1 , 1( 的幂级数展开式展开成 解： 例例10.求函数求函数 1 y x 2x 11 22) y xx （ 11 2 2 1 2 x 0 12 ( 1) () 22 nn n x 1 0 (2) ( 1) 2 n n n n x 2 12204 2 x

13、 xx 四、求幂级数的和函数四、求幂级数的和函数 这是幂级数展开问题的逆问题，利用已知结论或求 导积分，求幂级数在收敛域内的和函数。 0 1 1 n n x x ( 1,1)x 0 ! n x n x e n (,)x 微分方程微分方程 一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念 二、解微分方程二、解微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念 的阶. 例如：例如： 一阶微分方程 yxyx 2)1( 2 二阶微分方程 2 (12 ) x e y x y 使方程成为恒等式的函数. 通解通解 解中所

14、含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件. 初始条件初始条件( (或边值条件或边值条件):): 的阶数相同. 特解特解 微分方程的解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线. 例例1. 验证函数验证函数 是微分方程 tkCtkCxsincos 21 的解. 解解: : t kkCsin 2 2 2 k x tkCtkCxsincos 21 是方程的解 . ),( 21 为常数CC t kkCcos 2 1 2 2 2 d x k x dt 2 k x 2 0kx 2 2 2 0 d x k x dt 二、解微分方程二、解微分方程 1. 一阶微分方程 可分离变量，

15、一阶线性 2. 高阶微分方程 可降阶微分方程，二阶线性微分方程解的结构， 二阶线性常系数齐次微分方程求解。 分离变量方程的解法分离变量方程的解法: xxfyygd)(d)( (2)两边积分 yygd)( xxfd)( CxFyG)()( )(yG )(xF (3)得到通解 称为方程的隐式通解, 或通积分. (1)分离变量 *例例2. 求微分方程求微分方程yx x y 2 3 d d 的通解. 解解: 分离变量得分离变量得 xx y y d3 d 2 两边积分xx y y d3 d 2 得Cxylnln 3 即 3 x eCy ( C 为任意常数 ) 因此可能增、 减解. 一阶线性微分方程一阶线

16、性微分方程 一阶线性微分方程标准形式:)()( d d xQyxP x y 假设 Q(x) 0, 假设 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 称为齐次方程 ; CxexQey xxPxxP d)( d)(d)( . sin1 的通解求方程 x x y x y , 1 )( x xP, sin )( x x xQ Cdxe x x ey dx x dx x 11 sin Cdxe x x e xxlnln sin Cxdx x sin 1 .cos 1 Cx x 解解 * *例例3.3. 利用一阶线性方程的通解公式得：利用一阶线性方程的通解公式得： )( )( xfy n 令, ) 1( n yz

17、 )( d d n y x z 则 因而 1 d)(Cxxfz 即 1 ) 1( d)(Cxxfy n 同理可得 2 )2( d Cxy n 1 d)(Cxxf xd xxfd)( 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . , )(xf 21 CxC 型的微分方程型的微分方程 例例5.求解求解 解解: 2 1 cos x yex dxC 2 1 1 sin 2 x exC 2 1 4 x yexcos 12 C xC 2 cos x yex ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程 ),(pxfp 设其通解为),( 1 Cxp 则

18、得),( 1 Cxy 再一次积分, 得原方程的通解 21 d),(CxCxy 例例6. 求解求解 yxyx 2)1( 2 ,1 0 x y3 0 x y 解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得 pxpx2)1( 2 分离变量 )1( d2d 2 x xx p p 积分得,ln)1(lnln 1 2 Cxp )1( 2 1 xCp即 ,3 0 x y利用, 3 1 C得 于是有)1(3 2 xy 两端再积分得 2 3 3Cxxy 利用,1 0 x y, 1 2 C得 13 3 xxy 因此所求特解为 ),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令 ),(ypy x p y d d 则 x y

19、 y p d d d d y p p d d 故方程化为),( d d pyf y p p 设其通解为),( 1 Cyp即得 ),( 1 Cyy 分离变量后积分, 得原方程的通解 2 1) ,( d Cx Cy y 例例7. 求解求解.0 2 yyy 代入方程得,0 d d 2 p y p py y y p pdd 即 两端积分得,lnlnln 1 Cyp , 1y Cp 即 yCy 1 故所求通解为 xC eCy 1 2 解解: ),(ypy 设 x p y d d 则 x y y p d d d d y p p d d 定理定理 1. )(),( 21 xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 那 么 )()( 2211 xyCxyCy 数) 是该方程的通解. 例如例如, 方程方程0 yy有特解,cos 1 xy ,sin 2 xy 且 常数, 故方程的通解为 xCxCysincos 21 2 1 tan y x y 为任意常 21, (CC 二阶线性齐次方程解的结构二阶线性齐次方程解的结构 ),(0为常数qpyqypy ,0 2 qrpr 特征方程: xrxr eCeCy 21 21 21, :rr特征根 21 rr