田间试验与统计分析 第十一章 单因素试验结果的统计分析

1、第十一章第十一章 单因素试验结果的统计分析单因素试验结果的统计分析 试验设计试验设计 对比法和间比法试验的统计分析对比法和间比法试验的统计分析 完全随机和随机区组试验的统计分析完全随机和随机区组试验的统计分析 拉丁方试验的统计分析拉丁方试验的统计分析 试验结果的缺失数据试验结果的缺失数据 第一节 对比法和间比法分析 iy 一一 对比法分析对比法分析 品种名称品种名称 各小区的产量各小区的产量 总和总和 平均平均 对邻近对邻近 Ti ck Ti ck的的% % Ck 37.0 36.5 35.5 109.0 36.3 100.0 A 36.4 36.8 34.0 107.2 35.7 98.3

2、B 38.0 37.0 34.5 109.5 36.5 119.3 Ck 31.5 30.8 29.5 91.8 30.0 100.0 C 36.5 35.0 31.0 102.5 34.2 111.7 D 35.2 32.0 30.0 97.3 32.4 106.7 Ck 30.6 32.9 27.7 91.2 30.4 100.0 E 28.4 25.8 23.6 77.8 25.9 85.3 F 30.6 29.7 28.3 88.6 29.5 90.4 Ck 35.2 32.3 30.5 98.0 32.7 100.0 iy i y 二 间比法试验结果统计分析 品系品系 各重复小区产量

3、各重复小区产量 总和总和 平均平均 对照对照ck平均平均 对对ck 平均的平均的% % ck1 35.9 40.5 28.2 31.9 29.0 165.5 33.1 ck1 35.9 40.5 28.2 31.9 29.0 165.5 33.1 A 37.1 39.4 34.0 36.9 35.8 183.1 36.6 33.3 109.9 A 37.1 39.4 34.0 36.9 35.8 183.1 36.6 33.3 109.9 B 39.8 42.0 36.8 41.4 28.9 188.9 37.8 33.3 113.5 B 39.8 42.0 36.8 41.4 28.9 18

4、8.9 37.8 33.3 113.5 C 38.2 39.9 25.4 33.1 28.9 165.5 33.1 33.3 99.4 C 38.2 39.9 25.4 33.1 28.9 165.5 33.1 33.3 99.4 D 37.3 43.2 39.1 34.9 34.0 188.5 37.7 33.3 113.2 D 37.3 43.2 39.1 34.9 34.0 188.5 37.7 33.3 113.2 ck2 33.0 42.1 29.0 34.6 28.8 167.5 33.5 ck2 33.0 42.1 29.0 34.6 28.8 167.5 33.5 E 38.0

5、 40.2 34.5 39.8 37.5 190.0 38.5 34.2 111.1 E 38.0 40.2 34.5 39.8 37.5 190.0 38.5 34.2 111.1 F 36.1 34.3 32.8 27.1 29.7 160.0 32.0 34.2 93.6 F 36.1 34.3 32.8 27.1 29.7 160.0 32.0 34.2 93.6 G 37.8 36.3 41.3 34.2 39.9 189.0 37.8 34.2 110.5 G 37.8 36.3 41.3 34.2 39.9 189.0 37.8 34.2 110.5 H 34.0 39.1 27

6、.3 34.7 28.9 164.0 32.8 34.2 95.9 H 34.0 39.1 27.3 34.7 28.9 164.0 32.8 34.2 95.9 ck3 36.0 40.1 31.5 37.8 29.6 175.0 35.0 ck3 36.0 40.1 31.5 37.8 29.6 175.0 35.0 I 29.0 38.1 40.0 34.3 31.1 172.5 34.5 33.7 102.4 J 36.3 36.0 38.2 39.1 37.4 187.0 37.4 33.7 111.0 K 43.0 34.2 41.2 39.9 36.2 194.5 38.9 33

7、.7 115.4 L 29.4 23.0 30.8 34.1 32.9 150.5 30.1 33.7 89.3 Ck4 35.2 38.7 27.4 32.5 28.2 162.0 32.4 7.2.1 完全随机设计完全随机设计(completely random design) 1、特点：使用了试验设计三个原则中的两个（重复、 随机），能够得到无偏的误差估计值，但控制试 验环境误差的能力不强。 2、常用于试验环境因素相当均匀的场合，如实验室 培养试验、网室温室的盆钵试验。 第二节 完全随机和随机区组统计分析 3 3、设计示例、设计示例 有三种生长激素，分别用A、B、C代替，测定其对小 麦株

8、高的影响，包括对照（用等量的清水）在内， 共4个处理，进行盆栽试验，每盆小麦为一个单元， 每处理用4盆（重复4次）共16盆。 第一步：用数字代表处理 A：14，B：58，C：912，CK：1316 第二步：抽签或查随机数字表，得到随机数字 14、9、7、1、5、12、16、3、11、8、4、2、6、13、 10、15 第三步：将随机数字对应的处理安排到相应的盆内。 ckCBABCckA CBAABckCck 7.3.27.3.2随机区组设计试验结果的统计分析随机区组设计试验结果的统计分析 一、单因素随机区组试验结果的方差分析 可将处理看作A因素，区组看作B因素，其余部分则为 试验误差。设试验有

9、k个处理，n个区组，则自由度与 平方和的分解为： nk-1= (n-1) + (k-1) + (n-1)(k-1) 总自由度=区组自由度+处理自由度+误差自由度 kn tr k t n r kn yyyy yynyykyy 11 2 2 1 2 111 2 )( )()()( 总平方和总平方和= =区组平方和区组平方和+ +处理平方和处理平方和 + +误差平方和误差平方和 例例 有一小麦品比试验，其有有一小麦品比试验，其有A A、B B、C C、D D、E E、F F、 G G、H8H8个品种个品种( (k k=8)=8)，其中，其中A A是标准品种是标准品种(ck)(ck)，采用，采用 随机

10、区组设计，重复随机区组设计，重复3 3次次( (n n=3)=3)，小区计产面积，小区计产面积 25m25m2 2，其产量如下，试作分析。，其产量如下，试作分析。 品 种区 组Tt IIIIII A10.99.112.232.210.7 B10.812.314.037.112.4 C11.112.510.534.111.4 D9.110.710.129.910.0 E11.813.916.842.514.2 F10.110.611.832.510.8 G10.011.514.135.611.9 H9.310.414.434.111.4 Tr83.191.0103.9T=278.0 10.411

11、.413.0 t y r y r y 1.1.自由度与平方和分解自由度与平方和分解 (1)自由度的分解 总DFT=nk-1=(38)-1=23 区组DFR=n-1=3-1=2 品种DFt=k-1=8-1=7 误差DFe=(n-1)(k-1)=(3-1)(8-1)=14 (2)平方和的分解 17.3220 83 278 22 nk T C 61.844 .14 1 . 99 .10 2 222 C CySST 56.27 8 9.1030.911.83 )( 222 2 1 2 C C k T yykSS r n rR 2.F 测验 08.34 3 1.341.372.32 )( 222 2 2

12、 1 C C n T yynSS t k tt 97.2208.3456.2761.84 tRTe SSSSSSSS 变异来源DFSSMSFF0.05 区组间227.5613.788.403.74 品种间734.084.872.972.77 误 差1422.971.64 总变异2384.61 3.3.品种平均数的比较品种平均数的比较 本例目的是测验各供试品种是否与标准品种A有显著 差异，宜应用LSD法。 )(05. 1 3 64. 122 21 kg n MS s e yy 由于=14时，t0.05=2.145, t0.01=2.977,故 LSD0.05=1.052.145=2.25(kg)

13、 LSD0.01=1.052.977=3.13 各品种产量与对照相比的差异显著性 品种差异 E14.2 3.5 B12.41.7 G11.91.2 H11.40.7 C11.40.7 F10.80.1 A(CK)10.7 D10.0-0.7 t y （四） 平均数比较 新复极差测验结果 品种品种 产量产量 差异显著性差异显著性 5% 1% E 14.2 a A B 12.4 ab AB G 11.9 ab AB H 11.4 b AB C 11.4 b AB F 10.8 b AB A 10.7 b AB D 10.0 b B 二、随机区组的线性模型与期望均方 n(一) 线性模型 n一个随机区

14、组的试验结果，若以I 代横行(处理)，则i=1， 2，k ；以j 代纵行(区组)，则j =1，2，n，整 个资料共有k行n列。所以，在第i行j列的方格可以ij表 示之(参见表12.3)。如果每一方格仅有一个观察值yij， 则其线性模型为： n n上式中， 为总体平均， 为行的效应或处理效应，可为 固定模型或随机模型，在固定模型中，假定 ，在随机模型中，假定 N(0， ）； 为列的 效应或区组效应，一般为随机模型，假定 N(0， ），若为固定模型则假定 ；而 则为相互独立的随机误差，服从N(0， ）。 ijjiij y i 0 i i 2 j 2 0 j ij 2 (1211) j n(二) 期

15、望均方 n随机区组的各种效应一般有3种模型，即固定模型(称模 型)，随机模型(称模型)和混合模型。这3种模型的 期望均方(EMS )列于表。 表 随机区组设计的期望均方 变异来 源 DFMS 固定模型 (区组、处 理均固定) 随机模型 (区组、处理 均随机) 混 合 模 型 (区组随 机， 处理固 定) (区组固 定， 处理随 机) 区 组 间 MSR 处理或 品种 MSt 试验误 差 MSe 1)( n 1)( k 1)1)(kn 22 k 22 n 2 22 k 22 n 2 22 k 22 n 2 2 22 k 22 n n固定模型：随机区组中仅有两个或较少的处理或品种时 是适用。 n随

16、机区组试验是随机模型，则表示处理(或品种)和区组 都是从处理(或品种)总体和区组总体中随机抽取的。试 验结论则推断到有关处理(或品种)和区组总体，而不是 仅涉及某一特定处理(或特定品种)。 三、随机区组试验的缺区估计和结果分析 n缺区估计可采用最小二乘法 n (1212) n移项可得缺区估计值为： 0 nk yT k yT n yT y eeret e 1)1)( kn TTkTn y tr e (1213) n(一) 随机区组试验缺一个小区产量的结果分析 n例 有一玉米栽培试验，缺失一区产量ye(kg)，其结 果如表，试作分析。 表 玉米随机区组试验缺一区产量(kg)kg)的试验结果 t T

17、 r T 处 理 区 组 A27.827.328.538.5122.1 B30.628.8ye39.598.9+ye C27.722.734.936.8122.1 D16.215.014.119.664.9 E16.217.017.715.466.3 F24.922.522.726.396.4 143.4133.3117.9+ye176.1570.7+ye n首先，应估计出缺值ye。根据(1212)可得： n如将表中有关数值代入(1213)，也同样可得： 0 24 570.7 6 117.9 4 98.9 eee e yyy y 即 494.315 e y 所以， 33.032.95 e y

18、(kg) 33.032.95 1)1)(6(4 570.798.96117.94 e y n然后，将该置入表 ye的位置，得表12.10。表12.10的形 式和表12.3完全一样，因此可同样进行平方和的分解； 但在分解自由度时需注意：因为是一个没有误差的理论 值，它不占有自由度，所以误差项和总变异项的自由度 都要比常规的少1个。由此得到的方差分析表如表12.11。 表12.10 玉米随机区组试验结果 t T r T 处 理 区 组 A27.827.328.538.5122.1 B30.628.833.039.5131.9 C27.722.734.936.8122.1 D16.215.014.1

19、19.664.9 E16.217.017.715.466.3 F24.922.522.726.396.4 143.4133.3150.9176.1603.7 表12.11 玉米栽培试验(缺一区)的方差分析 变异来源DFSSMSFF0.05 区 组 3 166.84 处 理 51093.20218.6421.502.66 误 差14 142.44 10.17 总 变 异221402.48 在进行处理间的比较时，一般用t 测验。对于非缺 区处理间的比较，其仍由(124)式算出(假定以小 区 平均产量作为比较标准)，对于缺区处理和非缺区处 理间的比较， 21 yy s 1)1)( 2 kn k n

20、MS s e yy 21 (1214) 上式的MSe为误差项均方，n为区组数，k为处理数。在 本例可求得： 2.47 1)1)(6(4 6 2 4 10.17 21 yy s(kg) n(二)随机区组试验缺二个小区产量的结果分析 n例12.5 有一水稻栽培试验，假定缺失两区产量(yc和 ya)，其结果如表12.12，试分析。 表12.12 水稻随机区组试验缺两区产量(kgkg/小区)的试验结果 t T r T 处 理 区组 A 81412 816ya58+ya B 91110 711 957 C16171412yc1372+yc 3342362727+yc22+ya187+yc+ya n首先，

21、应估计出缺值yc和ya。采用解方程法，根据 (1212)，对yc有方程 0 18 187 3 27 6 72 accc c yyyy y 对ya有方程 0 18 187 3 22 6 58 acaa a yyyy y 整理成二元一次联立方程， 19110 19110 ac ac yy yy n解之得：yc=18.09(kg)，ya=10.09(kg) n将yc18kg，ya10kg置入表12.12中，即得表12.13。然 后进行方差分析，得到表12.14。由于表12.13中有两个 缺区估计值，它们不占有自由度，故表12.14中误差项和 总变异项的自由度均比通常的少2个。 表12.13 水稻随机

22、区组试验结果 t TrT 处 理 区组 A 81412 816(10) 68 B 91110 711 9 57 C16171412(18)13 90 334236274532215 t T r T 表12.14 水稻随机区组试验(缺二区)的方差分析 n在进行处理间比较时，非缺区处理间比较的差数标准误 仍由(124)给出(当以各处理小区平均数相比较时)；若 相互比较的处理中有缺区的，则其平均数差数的标准误 为 变异来源DFSSMSFF0.05 区 组574.28 处 理294.1147.0620.283.68 误 差818.562.32 总 变 异15186.95 n上式中的为误差项均方，和分别

23、表示两个相比较处理的 有效重复数，其计算方法是：在同一区组内，若两处理 都不缺区，则各记为1；若一处理缺区，另一处理不缺区， 则缺区处理记0，不缺区处理记，其中k为试验的处理数 目。 例如，本试验在A和B比较时， 21 21 nn MSs eyy 11 (1215) A的有效重复数 B的有效重复数 在A和C比较时， A的有效重复数 C的有效重复数故 5011111 1 n 5.5 13 23 11111 2 n 故 0.94 5.5 1 5 1 2.32 BA yy s (kg) 4.50 13 23 1111 1 n 4.5 13 23 01111 2 n 1.02 4.5 1 4.5 1

24、2.32 CA yy s (kg) 第三节 拉丁方试验的统计分析 水稻品比水稻品比5X5拉丁方试验的产量结果拉丁方试验的产量结果 横行区组横行区组 纵行区组纵行区组 Tr D(37)A(38)C(38) B(44) E(38) 195 D(37)A(38)C(38) B(44) E(38) 195 B(48)E(40)D(36) C(32) A(35) 191 B(48)E(40)D(36) C(32) A(35) 191 C(27)B(32)A(32) E(30) D(26) 147 C(27)B(32)A(32) E(30) D(26) 147 E(28)D(37)B(43) A(38)

25、C(41) 187 E(28)D(37)B(43) A(38) C(41) 187 A(34)C(30)E(27) D(30) B(41) 162 A(34)C(30)E(27) D(30) B(41) 162 Tc 174 177 176 174 181 T=882Tc 174 177 176 174 181 T=882 品种总和和品种平均数 品种品种 Tt 平均平均 A 38+35+32+38+34=177 35.4 B 44+48+32+43+41=208 41.5 C 38+32+27+41+30=168 33.6 D 37+36+26+37+30=166 33.2 E 38+40+3

26、0+28+27=163 33.6 1 自由度和平方和的分解 （1）自由度的分解）自由度的分解 总总DF= 横行横行DF=k-1=4 纵行纵行DF=k-1=4 品种品种DF=k-1=4 误差误差DF=(k-1)(k-2)=12 241 2 k (2)平方和的分解 矫正数矫正数C= 总总 横行区组横行区组 纵行区组纵行区组 品种品种 误差误差 96.31116 2 5 2 882 2 2 k T 64.348 2 ) 1 ( C kr T y k r yk R ss 64. 6 2 2 ) 1 ( c k c T y k c yk c ss 44.271 2 2 ) 1 ( C kt Tk y t

27、 yk t ss 2 1 04.815 22 ) 2 1 ( k Cy k yy T ss 32.188 t ss C ss R ss T sssse 2 方差分析和F测验 方差分析表方差分析表 变异来源变异来源 DF SS MS F F0.05 横行区组横行区组 4 348.64 87.16 纵行区组纵行区组 4 6.64 1.66 品种品种 4 271.44 67.86 4.33 * 3.26 试验误差试验误差 12 188.32 15.69 总变异总变异 24 815.04 3 品种平均数的比较 LSR法法 水稻品比试验的新复极差测验水稻品比试验的新复极差测验 品种品种 平均产量平均产量

28、 差异显著性差异显著性 5% 1% B 41.6 a A A 35.4 b AB C 33.6 b AB D 33.2 b E 32.6 b B 77. 1 5 69.15 SE 二、拉丁方的线性模型与期望均方 n用 代表拉丁方的 横行、 纵行的交叉观察值，再以 代表处理，则拉丁方试验的线性模型为： (1218) n上式中 为总体平均数； 为横行效应， 为纵行效应， 若两者为固定模型，有 ij yij t )()()(tijtjitij y i j 0 i 0 j n若两者均为随机模型，有 N(0， )， N(0， )； 为处理效应，固定模型有 ，随机模 型时 N(0， )；相互独立的随机误差

29、 N(0， )。 n拉丁方设计的固定模型和随机模型的期望均方如下表： i 2 j 2 )(t 0 )(t )(t 2 )(tij 2 拉丁方设计的期望均方 1k 22 k 22 k 1k 22 k 22 k 1k 22 k 22 k 2)1)(kk 2 2 变异来源DF固定模型随机模型 横 行 间 纵 行 间 处 理 间 试验误差 三、拉丁方试验的缺区估计和结果分析 n缺值ye的估计公式为： (1219) n移项可得： (1220) 0 )2( 2 k yT k yT k yT k yT y eetecer e 2)1)( 2)( kk TTTTk y tcr e n当仅有一个缺区时，可由(1

30、219)或(1220) 直接解 得 ye 值； n当有多个缺区时，可由(1219)建立联立方程组，解 出各个缺区估计值。 n例12.7 有一甘蔗品比试验，采用55拉丁方设计， 缺失一区产量，其结果见表12.22，试求该缺区估计值 ye并作分析。 表12.22 55甘蔗试验缺失一区产量的试验结果(100kgkg/区) r T C T 横行区 组 纵 行 区 组 A 14E 22D 20C 18B 2599 D 19B 21A 16E 23C 1897 B 23A 15C 20D 18E 2399 C 21D (ye)E 24B 21A 1783+ye E 23C 16B 23A 17D 2099

31、 10074+ye10397103477+ye n首先求缺区估计值ye。将表12.21的有关数值代入 (1219)可得： n则 (100kg) n同样，代入(1220)得： 0 25 )2(477 5 77 5 74 5 83 eeee e yyyy y 18 e y 18 2)1)(5(5 477277)74(835 e y(100kg) n将置入表12.22的ye位置，得表12.23。 表12.23 55甘蔗试验具有一个估计值的试验结果(100kgkg/区) r T C T t T t y 横行区 组 纵 行 区 组 A 14E 22D 20C 18B 2599 D 19B 21A 16E 23C 1897 B 23A 15C 20D 18E 2399 C 21 D (18)E 24B 21A 17101 E 23C 16B 23A 17D 2099 1009210397103T=495 A=79B=113C=93D=95E=115 15.822.618.619.023.0 n表12.23可按没有缺区的拉丁方资料作出方差分析，仅误 差项和