第8章无源滤波网络

1、第八章第八章 无源滤波网络无源滤波网络 第一节第一节 滤波器的概念滤波器的概念 一、分类一、分类 滤波器是一滤波器是一 种修整电信号频谱的网络种修整电信号频谱的网络, 是信号处理的主要部是信号处理的主要部 分。无源滤波器理论是个基础。分。无源滤波器理论是个基础。 1. 低通（低通（Lp） Am f( )fc( c)0 实际：实际： 0.707 1 理想理想： 通带通带 Am fc( c) 0 截止频率截止频率 阻带阻带 增益增益(dB) f( ) basS b U U i o 2 2、高通（、高通（HP） 通带通带 Am f fc 0 阻带阻带 f Am 0 1 0.707 fcfs 如二阶如

2、二阶 basS S U U i o 2 2 3、带通（、带通（BP） 通带通带 Am f fc1 0 阻带阻带 fc2 阻带阻带 f Am 0 1 fc2fc1 如二阶：如二阶： bass as U U i o 2 4、带阻（、带阻（BR） 用来用来滤除一段频带信号滤除一段频带信号 通通 Am f fc1 0 阻阻 fc2 通通 如二阶：如二阶： dass ds U U i o 2 2 Am f 0 实际实际： 第二节第二节 均衡器的概念均衡器的概念 增益均衡器：用来校正给定信号的增益频率特性（幅频特性）。增益均衡器：用来校正给定信号的增益频率特性（幅频特性）。 如如 录音时：增强高频信号幅度

3、防止尖叫录音时：增强高频信号幅度防止尖叫. 放音时：压低高频，提升低频放音时：压低高频，提升低频. 时延均衡器：用来校正相位特性（相频特性）时延均衡器：用来校正相位特性（相频特性）. 音频处理中，人耳对相位变化不灵敏，可忽略相频特性音频处理中，人耳对相位变化不灵敏，可忽略相频特性 在图象或数字传输系统中，由滤波器相位失真引起的时延在图象或数字传输系统中，由滤波器相位失真引起的时延 变化不可忽略变化不可忽略 一、信号无畸变传输条件一、信号无畸变传输条件 P u1u2 二端口网络二端口网络 若若 ) 1 ()()( 012 ttkutu称为无畸变传输称为无畸变传输 无关与、ttk 0 幅度放大了幅

4、度放大了 k 倍，时间延迟倍，时间延迟 t0，波形没有畸变，波形没有畸变 u1 1 or u1 u2 u2 k t0 二、群时延二、群时延 对对求付氏变换：求付氏变换： 0 )()( 12 tj ejkUjU 或或 0 )( 1 2 1 2 )( )( )( )( tjj kee jU jU jU jU 幅度无畸变条件：幅度无畸变条件：)( )( )( 1 2 比例k jwU jwU 相位无畸变条件：相位无畸变条件： 对任何频率而言对任何频率而言 或或 )()( 0 线性t ,.)2, 1 ,0(2 0 nnt 定义群时延：定义群时延： （常数） 0 )( )(t d d g 在任何在任何 都

5、都不会发生畸变，称为无群时延畸变。不会发生畸变，称为无群时延畸变。 三、均衡器作用三、均衡器作用 实际中，信号经过滤波器不可能无畸变，但要求限制在实际中，信号经过滤波器不可能无畸变，但要求限制在 一定容许范围内。所以靠均衡器补偿，校正。在滤波器一定容许范围内。所以靠均衡器补偿，校正。在滤波器 后面接上一个均衡器（增益、延时后面接上一个均衡器（增益、延时 ） 设二阶时延均衡器函数为：设二阶时延均衡器函数为： bass bass U U 2 2 1 2 增益：增益： 0lg10lg10lg20 2222 2 2 abab bass bass js 对所有对所有 具有平直增益具有平直增益全通函数全通

6、函数 对时延特性取决于系数对时延特性取决于系数a和和b P 滤波器滤波器 延延时时 均衡器均衡器 F 均衡器均衡器 P 总和总和 第三节第三节 无源滤波网络的特性参数（实际上是无源二端口网络）无源滤波网络的特性参数（实际上是无源二端口网络） 一、特性阻抗一、特性阻抗 Pu1 u2 I1 I2 正向传输正向传输： 2 2 1 1 I U DC BA I U 解得解得 11 1 1 2 1 BIDU DC BA DI BU U （无源互易）（无源互易） 11 1 1 2 1 AICU DC BA IC UA I 112 AICUI 反向传输：反向传输： 1 1 2 2 I U AC BD I U

7、当输出端接负载当输出端接负载： 2 2 I U ZL 或或 22 IZU L 输入端阻抗：输入端阻抗： 22 22 1 1 1 DICU BIAU I U Zin 212 IZU DCZ BAZ L L 同理，输入端接信号阻抗同理，输入端接信号阻抗 ZS： 11 11 2 2 2 AICU BIDU I U Zin 11 0IZUU SS ACZ BDZ S S 二端口网络匹配时二端口网络匹配时： 令令 Sin ZZ 1 （输入端左右看均为（输入端左右看均为ZS） Lin ZZ 2（输出端左右看均为（输出端左右看均为ZL） 有有 S L L in Z DCZ BAZ Z 1 L S S in

8、Z ACZ BDZ Z 2 联解得联解得 11Cin Z CD AB Z 及及 22Cin Z CA DB Z 21CC ZZ、称为特性阻抗称为特性阻抗 可见特性阻抗与网络参数有关，而与可见特性阻抗与网络参数有关，而与ZS ZL外部阻抗无关。外部阻抗无关。 当对称时，当对称时，A=D 则则 C B ZZZ CCC 21 另外当输出端短路：另外当输出端短路：0 L Z 0101 Z D B DCZ BAZ Z L Z L L in 当输出端开路：当输出端开路： L Z 11 Z C A DCZ BAZ Z L Z L L in 同理同理 当输入端短路：当输入端短路： 0 S Z 0202 Z A

9、 B ACZ BDZ Z s Z s s in 当输入端开路：当输入端开路： s Z 22 Z C D ACZ BDZ Z s Z s s in 以上四个结果代入以上四个结果代入： 1011 ZZ CD AB Zc 及及 2022 ZZ CA DB Zc 对称时：对称时：DA 则则 ccc ZZZZZ 021 ),( 2100201 ZZZZZZ 阻抗是阻抗是 函数函数 不同频率分量，相应的特性阻抗不同。不同频率分量，相应的特性阻抗不同。 二、传输系数二、传输系数 c 是指在输出端接以匹配的特性阻抗（是指在输出端接以匹配的特性阻抗（ZL=ZC2）时，输入）时，输入 端口电压与电流相量乘积与输出

10、端口电压与电流相量乘积之端口电压与电流相量乘积与输出端口电压与电流相量乘积之 比开方根再取自然对数。比开方根再取自然对数。 ln 2 1 ln )( 22 11 22 11 2211 2 IuIu CL j ZZc e IU IU IU IU 22 11 ln 2 1 IU IU c 单位：奈培（单位：奈培（Np） 称为衰减系数，表示了匹配下经传输势在功率衰减程度称为衰减系数，表示了匹配下经传输势在功率衰减程度 ccIuIu jj IU IU )( 2 1 ln 2 1 2211 22 11 )( 2 1 2211IuIuc 单位：弧度（单位：弧度（rad） 称为相移系数，表示匹配下经传输电压

11、称为相移系数，表示匹配下经传输电压/流相移。流相移。 若若0 c 表明输出电压、电流相位滞后。表明输出电压、电流相位滞后。 匹配时匹配时 111222 IZUIZU Cc ，代入代入 )ln(ln 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 C C C C c Z Z U U ZU ZU 或或)ln(ln 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 C C C C c Z Z I I ZI ZI 又又 22221 )(IDCZDICUI C 代入代入 2 1 2 ln C C Cc Z Z DCZ 代入代入 )ln(BCAD 反向传输时，反向传输时，A与与D对调，上式不变，即与传输方向

12、无关。对调，上式不变，即与传输方向无关。 不过原输入端所连接的阻抗仍应为不过原输入端所连接的阻抗仍应为ZC1。 若对称若对称 21cc ZZDA 由由得得 )ln(lnln 2 1 2 1 BCA I I U U c 仅与参数有关。仅与参数有关。 例例. 求图示网络的特性阻抗。求图示网络的特性阻抗。 500200 1000 解解 3 2000 1000200 1000200 5003 1600 1000500 1000500 200 12001000200 02 2 01 1 Z Z Z Z 800 3 1600 1200 0111 ZZZc 1000 3 2000

13、1500 0222 ZZZC 对任一网络，求出对任一网络，求出A、B、C、D 均可求出特性阻抗和传输系数。均可求出特性阻抗和传输系数。 第四节第四节 无源二端口网络的等效变换无源二端口网络的等效变换 无源二端口网络参数，满足互易性，所以只有三个是无源二端口网络参数，满足互易性，所以只有三个是 独立的，这就可以化为最简形式独立的，这就可以化为最简形式、形网络。形网络。 形：形： Z2 Z1 Z3 323 331 2221 1211 ZZZ ZZZ ZZ ZZ Z 32112 32123111 ZZZ ZZZZZZ 解得解得 211232122212111 ZZZZZZZZZ 给定任一网络（若存在

14、）只要知道它的参数，就可得其等效的给定任一网络（若存在）只要知道它的参数，就可得其等效的T形网络。形网络。 形：形： 3 23 3 3 1 2221 1211 111 111 ZZZ ZZZ yy yy 由由 3 2 22 3 2112 3 1 11 11 1 11 ZZ y z yy ZZ y 解得解得 2112 3 1222 2 1211 1 11 , 1 , 1 yy Z yy Z yy Z Z2Z1 Z3 给定任一网络（若存在）知道其给定任一网络（若存在）知道其参数，就可得参数，就可得形等效电路形等效电路 例例1. 求含理想变压器电路的求含理想变压器电路的形等效：形等效： I1 + U

15、1 - I2 + U2 - + U1 - Z 1:n 21211 11 ) 1 ( 1 U nZ U Z U n U Z I 2 2 112 111 U Zn U nZ I n I 即即 Zn yyy nZ y Z y 2 2212211211 1 , 1 , 1 2 1 1 U n U 21 nII 由上：由上： nZ y Z n Zn nZZn yy Z n nZ nZZ yy Z 12 3 2 2 1222 2 1211 1 1 1 11 11 1 11 11 I1 I2nZ + U1 - + U2 - 1n nZ n Zn 1 2 由上可知，当由上可知，当Z=0时，理想变压器时，理想变

16、压器参数不存在。参数不存在。 例例2. I1 + U1 - I2 + U2 - I1 Z 1:n 21 2 1 1 U n U nII ZnZnZZnZZZZ ZInnZInUU nZIZInIIZU 2 22211211 2 2 112 21211 )( T形等效：形等效： nZZZ nZZnZZZ nZZZZZ 123 2 21222 12111 I1 I2(1-n)Z + U1 - + U2 - Z2Z1 Z3 n(n-1)Z nz 所谓综合：所谓综合： 例例1. 给定输入给定输入/出关系，求实现该关系的网络拓扑结构出关系，求实现该关系的网络拓扑结构 元件类型及参数，这里无源是指由元件类

17、型及参数，这里无源是指由RLC元件实现的元件实现的. 第五节第五节 无源网络综合无源网络综合 (正实函数和正实矩阵正实函数和正实矩阵) 设某单口网络的驱（策）动点阻抗为设某单口网络的驱（策）动点阻抗为 1 232 )( 2 s ss sZ 试综合一个输入阻抗为试综合一个输入阻抗为Z(s)的网络。的网络。 解解 )(sZ 分子分子/分母分母 1 2 2 S S S 1 1 12 S S 分成三个最简单的子网络串联分成三个最简单的子网络串联 1 Z(s) 1 1F 2H 例例2. 设设1 11 sS S Z不能不能 用无源元件综合用无源元件综合 Z(s) -1 1F Z(s) 1 1F -1 NI

18、C 是否任何是否任何Z(s)均可均可 用无源网络综合？用无源网络综合？ 否定的。否定的。 结论：能用无源元件综合的驱动点函数称为正实函数。结论：能用无源元件综合的驱动点函数称为正实函数。 正实函数的定义：正实函数的定义： 设设 Z(s)为为S（= +j ）的有理函数，）的有理函数， 当满足：当满足： 1. s 是实数时，是实数时， Z(s) 也是实数也是实数 0)(,0. 2sZRe时 称称Z(s)为正实函数。为正实函数。 推论：若推论：若Z(s)为正实函数，则为正实函数，则 )( 1 )( sZ sy 也为正实函数（驱动点导纳）也为正实函数（驱动点导纳） Z(s)为正实函数的充要条件为：为正

19、实函数的充要条件为： a. Z(s)在在S平面的右半部无极点平面的右半部无极点 b. Z(s)在在j 轴上的极点是具有正实数留数的单极点轴上的极点是具有正实数留数的单极点 c. 对所有对所有0)(0jZRe 此充要条件有时不方便，若此充要条件有时不方便，若 )( )( )( sD sN sZ 则则 Z(s)为正实函数的必要条件为：为正实函数的必要条件为： N(s), D(s) 的所有系数是正实数；的所有系数是正实数； N(s), D(s)的所有零点都在的所有零点都在S平面的左半部；平面的左半部； Z(s)和和1/Z(s)在在j轴上的极点是单极点且有正的实数留数轴上的极点是单极点且有正的实数留数

20、 N(s), D(s) 的次数最多相差一次的次数最多相差一次 Z(s)在原点既无多重极点，也无多重零点。在原点既无多重极点，也无多重零点。 以上必要条件有一个不满足，则为非正实的，以上必要条件有一个不满足，则为非正实的， 但全部满足不一但全部满足不一 定是定是正实的，还要检查正实的，还要检查充要条件充要条件C。 例例3.检验下列函数正实性检验下列函数正实性 1 1 )() 1 2 s sZ 6 123 )()2 23 23 sss sss sZ 234 3 3 23 )()3 sss ss sZ 2 1 )()4 s s sZ 正实矩阵的定义：正实矩阵的定义： 设设 H(s)为为n n矩阵，其

21、中各元件为矩阵，其中各元件为s的有理函数的有理函数 当满足：当满足：a. s是实数时是实数时 ，H(s)是实数矩阵是实数矩阵 b. 对任意实数列向量对任意实数列向量, xT H(s)x是正实函数是正实函数 正实矩阵的充要条件：正实矩阵的充要条件：)()(shsH ij hij的所有系数是实数的所有系数是实数 H(s)在在S右半平面没有极点右半平面没有极点 H(s)在在j 轴上的所有极点是单极点，轴上的所有极点是单极点， 且相应留数且相应留数矩阵是半正定的。矩阵是半正定的。 对所有对所有 )( 0 je HR是半正定的。是半正定的。 例例4. 检验正实性检验正实性 1 3 1 11 2 22 22 s s s s s s s s s）（ 满足满足 但不满足但不满足 ，极点：，极点： j各分母为各分母为（s+j)(s-j) 可知可知j 轴上极点的留数轴上极点的留数矩阵不是半正定的。矩阵不是半正定的。 如如 jsjsjsjs s s s sy 11 )( 2