椭圆的简单几何性质(一)汇编

1、 复习：复习： 1.椭圆的定义: 到两定点到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的）的 动点的轨迹叫做椭圆。动点的轨迹叫做椭圆。 2.椭圆的标准方程是： 3.椭圆中a,b,c的关系是: |)|2(2| 2121 FFaaPFPF 当焦点在当焦点在X轴上时轴上时 当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 222 cab 一、椭圆的范围一、椭圆的范围 o x y 由由1 2 2 2 2 b y a x 即即byax和 说明：椭圆位于矩形之中。说明：椭圆位于矩形之中。 1

2、1 2 2 2 2 b y a x 和 即即 byb axa 和和 椭圆的对称性椭圆的对称性 Y XO P（x，y） P1（-x，y） P2（-x，-y） 二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性 o y B2 B1 A1 A2 F1F2c a b 从图形上看，从图形上看，椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原点对称。轴、原点对称。 从方程上看：从方程上看： （1）把）把x换成换成-x方程不变，图象关于方程不变，图象关于y轴对称；轴对称； （2）把）把y换成换成-y方程不变，图象关于方程不变，图象关于x轴对称；轴对称； （3）把）把x换成换成-x，同时把，同时把y换成换成-y方程不变，图象关于原点成中方程

3、不变，图象关于原点成中 心对称。心对称。 三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点 )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 在在 中，令中，令 x=0，得，得 y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与 y轴的交点？轴的交点？ 令令 y=0，得，得 x=？说明椭圆与？说明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的的四个交点，叫做椭圆的 顶点。顶点。 *长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴分别叫做椭圆的长轴 和短轴。和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。轴长和短半轴长。 o x y B

4、1(0,b) B2(0,-b) A1A2 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x 根据前面所学有关知识画出下列图形根据前面所学有关知识画出下列图形 1 1625 22 yx 1 425 22 yx （1） （2） A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 四、椭圆的离心率四、椭圆的离心率 o x ya c e 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： 叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。 1离心率的取值范围：离心率的取值范围： 因为因为

5、 a c 0，所以，所以0e 1 1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，从而，从而 b就越小，椭圆就就越小，椭圆就 越扁越扁. 2）e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，从而，从而 b就越大，椭圆就就越大，椭圆就 越圆越圆. 3）特例：）特例：e =0，则，则 a = b，则，则 c=0，两个焦点重合，椭，两个焦点重合，椭 圆方程变为（？）圆方程变为（？） 2离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响： 2 2 22 2 1612:9 362, y x xyC 1 问：对于椭圆C与椭圆： 更接近于圆的是。2 C 1 椭圆标准方程椭圆标准方程)0(1 2 2 2 2

6、ba b y a x 所表示的椭圆的存在范围是什么？所表示的椭圆的存在范围是什么？ 2 上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？ 3 椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？ 4 对称轴与长轴、短轴是什么关系？对称轴与长轴、短轴是什么关系？ 5 2a 和和 2b是什么量？是什么量？ a和和 b是什么量？是什么量？ 6 关于离心率讲了几点？关于离心率讲了几点？ 回回 顾顾 o x y B1(0,b) B2(0,-b) A 1 A2 22 22 1(0) xy ab ab |x| a,|y| b 关于关于x x轴、

7、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称； 关于原点成中心对称关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为长半轴长为a a, ,短短 半轴长为半轴长为b. b. abab c e a 22 22 1(0) xy ab ba |x| b,|y| a 同前同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前同前 同前同前 同前同前222 cab (0e1) (e越接近于越接近于1越扁越扁) 例例1.1.已知椭圆方程为已知椭圆方程为9x9x2 2+25y+25y2 2=225,=225, 它的长轴长

8、是它的长轴长是： 。短轴长是短轴长是： 。 焦距是焦距是： 。 离心率等于离心率等于： 。 焦点坐标是焦点坐标是： 。顶点坐标是顶点坐标是： 。 外切矩形的面积等于外切矩形的面积等于： 。 10 6 8 ( 3,0) (0, 4) 60 解题的关键：解题的关键：1、将椭圆方程转化为标、将椭圆方程转化为标 准方程准方程 明确明确a、b 1 925 22 yx 2、确定焦点的位置和长轴的位置、确定焦点的位置和长轴的位置 5 4 例例2 求椭圆 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点坐标，并作出简图。心率、焦点和顶点坐标，并作出简图。 解

9、：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程 1 45 2 2 2 2 yx 这里，这里， 31625,4,5cba 因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是82,102ba 离心率离心率 6.0 5 3 a c e 焦点坐标分别是焦点坐标分别是 )0,3(),0,3( 21 FF 四个顶点坐标是四个顶点坐标是 )4,0(),4,0(),0 , 5(),0 , 5( 2121 BBAA 例例2 求椭圆 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点坐标，并作出简图。心率、焦点和顶点坐标，并作出简图。 )4,0(

10、),4,0(),0 , 5(),0 , 5( 2121 BBAA A1 A2 B2 B1 x y O 例例3求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点）经过点P（- 3，0）、）、Q（0，2）; （2）长轴长等于）长轴长等于20，离心率等于，离心率等于 5 5 3 3 22 1 94 xy 22 1 10064 xy 22 1 10064 yx 或或 （1） 例例4 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕 其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分

11、。过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一上，片门位于另一 个焦点个焦点F2上上,由椭圆一个焦点由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋转椭圆面反出发的光线，经过旋转椭圆面反 射后集中到另一个焦点射后集中到另一个焦点F2. 所在椭圆的方程。求截口 已知 BAC cmFFcmBFFFBC,5 . 4,8 . 2, 21121 解：建立如图所示的直角坐标系，解：建立如图所示的直角坐标系， 设所求椭圆方程为设所求椭圆方程为 . 1 2 2 2 2 b y a x 22 2 21 2 1221 5 . 48 . 2FFBFBFFBFRt中，在 所以由椭圆的性质知，,2 21 aBFBF 1 . 4)5 . 48 . 28 . 2( 2 1 )( 2 1 22 21 BFBFa y F2F1 xo B C 4 . 325. 21 . 4 2222 cab1 4 . 31 . 4 2 2 2 2 yx 为所以，所求的椭圆方程 A 的轨迹。，求点的距离的比是常数 的距离和它到直线与定点点例 Mxl FyxM 5 4 4 25 : )0 , 4(),(6