【原创】探究辅助圆的基本模型及应用

1、探究探究辅助圆辅助圆的基本的基本模型模型及应用及应用 一、情境引入一、情境引入 2019年年9月月30日全国公映的电影我和日全国公映的电影我和 我的祖国票房大卖我的祖国票房大卖。次日，小明想去万达。次日，小明想去万达 国际影城观看此片，国际影城观看此片，却却发现售票屏幕上只剩发现售票屏幕上只剩 下两下两个座位可供选择，如图所示，第个座位可供选择，如图所示，第7排的排的 A座位位于该厅右侧，且座位位于该厅右侧，且ANM=90o，第，第13 排的排的B座位在这一排正中间的座位在这一排正中间的位置。请位置。请同学同学 们从数学角度进行分析们从数学角度进行分析，帮小明出个主意，帮小明出个主意， 应选择

2、应选择哪个哪个座位观看座位观看电影视角电影视角更好？更好？ 一、情境引入一、情境引入 荧荧 幕幕 MN B A 探究探究1.若若OA=OB=OC，AOB=60o，则，则ACB= . 半径半径 圆心圆心 定长定长 定点定点 30o 二二、辅助圆条件、辅助圆条件的的探究探究 确定定点和定长确定定点和定长 圆可以看成是所有到定点圆可以看成是所有到定点o的距的距 离等于定长离等于定长r的点的集合的点的集合. 圆的定义：圆的定义： 战国时期的战国时期的墨经墨经有有 “圆，一中同长也圆，一中同长也 ”的的 记载。它的意思是圆上记载。它的意思是圆上 各点到圆心的距离都等各点到圆心的距离都等 于半径于半径.

3、探究探究2.已知点已知点C为为 一动点，且一动点，且ACB=90o，AB=2，动，动 点点C在运动过程中所经过的路径是什么？在运动过程中所经过的路径是什么？ C A B O 动态展示动态展示1 二二、辅助圆条件、辅助圆条件的的探究探究 线段线段AB上方上方线段线段AB外外 如何画图？如何画图？ 小组活动小组活动 第一组第一组：已知点已知点C为为线段线段AB上方上方一动点，且一动点，且ACB=80o，请探究，请探究 动点动点C的运动路径的运动路径. 第二组第二组：已知点已知点D为为线段线段AB下方下方一动点，且一动点，且ADB=100o，请探，请探 究动点究动点D的运动路径的运动路径. 动态动态

4、展示展示2 第一组图第一组图第二组图第二组图 探究探究3.在在四边形四边形ABCD中，中，B+D=180o，能否做出四边形，能否做出四边形 ABCD的外接圆呢？的外接圆呢？ 反反 证证 法法 二二、辅助圆条件、辅助圆条件的的探究探究 提出假设提出假设 假设对角互补的假设对角互补的 四边形不能做出四边形不能做出 外接圆外接圆 找出矛盾找出矛盾得出结论得出结论 对角互补的四边对角互补的四边 形能做出它的外形能做出它的外 接圆接圆 晋江市锦东华侨学校晋江市锦东华侨学校志忠勤恒志忠勤恒 情况一：情况一：四边形四边形ABCD，其中点，其中点A、 B、C三点共圆，点三点共圆，点D在圆外在圆外.且且 B+D

5、=180o. A B C D O E 情况二：情况二：四边形四边形ABCD，其中点，其中点A、 B、C三点共圆，点三点共圆，点D在圆内在圆内.且且 B+D=180o. A B C D E O 结论：点结论：点D只只 能在圆上能在圆上. B+AEC=180o B+D=180o. AEC=D AECD 矛盾矛盾 B+AEC=180o B+ADC=180o. AEC=ADC ADCAEC 矛盾矛盾 情况一矛盾，情况一矛盾， 所以点所以点D不能不能 在圆外在圆外. 情况二矛盾，情况二矛盾， 所以点所以点D不能不能 在圆内在圆内. 分分 类类 讨讨 论论 思思 想想 以上的问题探究以上的问题探究中，明明

6、图中没有中，明明图中没有“圆圆”， 偏偏在探究过程中要用到偏偏在探究过程中要用到“圆圆”，像这样根，像这样根 据相关条件构造出图形中的圆据相关条件构造出图形中的圆我们通常称之我们通常称之 为为“辅助圆辅助圆”. . 辅助圆辅助圆概括概括 晋江市锦东华侨学校晋江市锦东华侨学校志忠勤恒志忠勤恒 M 荧荧 幕幕 N B A 1. 2019年年9月月30日全国公映的电影我日全国公映的电影我 和我的祖国票房大卖和我的祖国票房大卖。次日，小明想去万。次日，小明想去万 达国际影城观看此片，发现售票屏幕上只剩达国际影城观看此片，发现售票屏幕上只剩 下两个座位可供选择，下两个座位可供选择，如图所示，第如图所示，

7、第7排的排的 A座位位于该厅右侧，且座位位于该厅右侧，且ANM=90o，第，第13 排的排的B座位在这一排正中间的位置座位在这一排正中间的位置，请同学，请同学 们从数学角度进行分析，帮小明出个主意，们从数学角度进行分析，帮小明出个主意， 应选择哪个座位观看电影视角更好？应选择哪个座位观看电影视角更好？ 三三、解决问题、解决问题 O C 答：选择答：选择A座位，角度更大，因此看电影视角更好座位，角度更大，因此看电影视角更好. . 四四、应用举例应用举例 1.如图，如图， PAC为等边三角形，为等边三角形， 点点A，点，点B关于直线关于直线l对称，其中对称，其中 点点A，点，点B在在x轴上，点轴上

8、，点C在在y轴上，轴上， 点点P在直线在直线l上，求线段上，求线段OC和线段和线段 OB的数量关系的数量关系. y AB PC xO l 晋江市锦东华侨学校晋江市锦东华侨学校 志忠勤恒志忠勤恒 y AB PC xO l 分分析析： 以点以点P为圆心，以线段为圆心，以线段 PA的长度为半径画圆的长度为半径画圆 定点：点定点：点P 定长：定长：PA=PC=PB OCOB3答案：答案： 晋江市锦东华侨学校晋江市锦东华侨学校志忠勤恒志忠勤恒 四、应用举例四、应用举例 2. 如如图，图， 点点A（2，0），点），点B （6，0），点），点P为为x轴上方一动点，轴上方一动点， 且且APB=60o，求点，求

9、点P的运动路径的运动路径 的长度的长度. y x OAB P 26 4 定角定角 晋江市锦东华侨学校晋江市锦东华侨学校志忠勤恒志忠勤恒 分分析析： 定线：定线：线段线段AB 定角：定角：APB=60o y x OAB P 26 C D 2 3 32 以点以点D为圆心，以为圆心，以 为半径画弧为半径画弧 3 32 9 34 180 3 32 120 P l 答案：答案： 4 晋江市锦东华侨学校晋江市锦东华侨学校志忠勤恒志忠勤恒 五五. .拓展训练拓展训练 抛物线抛物线 与与y轴交轴交 于点于点A，顶点为，顶点为B，对称轴，对称轴BC与与x轴轴 交于点交于点C. 点点P在抛物线上，直线在抛物线上，

10、直线 PQ/BC交交x轴于点轴于点Q，连接，连接BQ.若含若含 45o角的直角三角板角的直角三角板DCE如图所示放如图所示放 置，其中一个顶点与点置，其中一个顶点与点C重合，直角重合，直角 顶点顶点D在在BQ上，另一个顶点上，另一个顶点E在在PQ 上，求直线上，求直线BQ的解析式？的解析式？ 3)1( 4 1 2 xy y xO A B D C E Q P （1,3） （1,0） 晋江市锦东华侨学校晋江市锦东华侨学校 志忠勤恒志忠勤恒 分分析析： y xO A B D C E P Q （1,3） （1,0） （4,0） 以以DE为直径为直径作四边形作四边形 CQED的外接圆的外接圆. CDE+CQE=180o 答案：答案：y = -x + 4 晋江市锦东华侨学校晋江市锦东华侨学校志忠勤恒志忠勤恒 O A 知识知识 辅助圆辅助圆 模型模型 圆圆 三角形、四边形三角形、四边形 函数函数 技能方法技能方法 分析法分析法 和综合和综合 法法 从特殊从特殊 到一般到一般 构造法构造法反证法反证法 六六、课堂小结、课堂小结 数学思想数学思想 化归化归 数学数学 建模建模 数形数形 结合结合 分类分类 讨论讨论 完成学案上的分层作业 七七、作业布置作业布置 晋江市锦东华侨学校