山东工商学院

1、(n阶行列式)11 L 1MMOM11 L 1解：D4 (n(n10L01L0)MMOM11L(na1a100a2a2-二00a30001110a10a200解：D4MM00n 11(n 1)( 1)n L ananan110L00a2L00a3L00MMMM0Lanan1L11(1)n(n 1)a1a2L 务三、设 11,1,1 ,1,2,3 ,31,3,t(1)当t为何值时，向量组 1, 2, 3线性相关?当t为何值时，向量组 1111解：(1)当D12313t(3)当1, 2, 3线性相关时,3可否由1,2线性表示？若能，求111012t 50，即 t 5 时,02 t 12,3线性无关

2、?其表示系数(2)当D t 50，即t 5时，1,2, 3线性无关(3)当t 5时，解线性方程组3X1 1 X2 2，即X|x21x1 2x23得x 1x22x1 3x25所以3可由1 , 2线性表示，表达式为:3122 .四试判断向量2,4,8可否由向量组12,1,121,1,3 ,31,1,342,1,1线性表出？若能，请试写出其一种表示形式解:解线性方程组X1 1X2 2X33&42x1X2X32x42即xX3X443x23x3X482112210212A11114111141331813318102121021201306013060350100040810212100 1201306

3、010 0000102001 02X12x4即X20，当X40时，X12,X20,X3 2,X4 0.X32所以210 22304 .212，L ，s123s 也线性相关 .证明：显然， 向 量 组 1, 2,L ,s可由向量组1, 2丄，s 线 性 表出 ， 故 秩（1, 2,L ,s )秩(1,2,L ,s），而向量组1, 2,L, s 线性相关，有秩（1, 2,L ,s）s，则秩（1, 2,L, s ） s ，所以向量组1, 2,L , s也线性相关六证明：若向量组1,2,3可由向量组1 ,2,3 线性表出，1,2,3线性相关，则1, 2 , 3 也线性相关 .证明： 由于向量组 1,

4、2, 3 可由向量组 1, 2, 3 线性表出，故秩（ 1, 2, 3） 秩（1,2,3 ），而向量组1,2,3线性相关，有秩（1,2,3） S，则秩（1,2,3）s，所以向量组1,2,3也线性相关 .123121k2七设矩阵A0113 , 若它的秩等于 3，求 k 的值11042025解：对矩阵A进行初等变换12311231123121k205k6000k115A01130113011311040333000122025044300015123112300113011000k11500k100001000100010000要使矩阵A 的秩等于3，则k1.八、设向量组i 1, 1,2,4, 2

5、0,3,1,2 , 33,0,7,14, 41, 2,2,0 ,103121031130210331A217250110421401002201031210312000100110101101000100000000000这个向量组的秩为3，其极大无关组为1,2 ,九试求向量组1 1,1,2,2,20,2,1,5 ,32,03,1,452,1,5,10 .求其极大无关组解：根据这个向量组作一个矩阵并对这个矩阵作初等行变换2312将其余向量用此极大无关组表示解：根据这个向量组作一个矩阵并对这个矩阵作初等行变换4 或 1,3 ,4 或 1,4 ,5.1,1,0,4的秩和一个极大无关组，并这个向量组

6、的秩为一个极大无关组为，且有2x1x2x30取何值时，方程组xx2x30有非零解？4x15x2 5x30解：当这个线性方程组的系数行列式212 1D111 0(1)(54) 0，4 554504十这个线性方程组有非零解4时，即 1或32120Xi十一方程组4X15x1X2 X3 X4 X513x2 2x3 2x4 2x514x2 3x3 3x4 x5 aX22x3 2x4 6x5 b问：当a、b为何值时，方程组有解？无解？有解时，是唯一解还是无穷解?解:对这个线性方程组的增广矩阵进行初等行变换1111111 1111 14322210 12263A54331a0 1226 a 501226b0

7、 1226b11111101226300000a 200000b 3当a2或b3时，这个线性方程组无解；当a 2且b 3时，这个线性方程组有解，且有无穷多解十二a、b取何值时，线性方程组Xi X2X3X4X53 2x2X3X43x55x1 4x23x4x2 2x3 2x4 6x53解:对这个线性方程组的增广矩阵进行初等行变换11111111111132113a01226a 3A01226301226354331b01226b 510115201226300000a00000 b23X3X5有解，并求出全部解当a 0且b 2时，这个线性方程组有解，其全部解为211532260k1112 0 13 0 ， 00101X3010100100121，300121010t 1210x06，解齐次线性方程组