论用圆规和直尺能将一个角三等分(续文)

1、论用圆规和直尺能将一个角三等分(续文) 对于此题的证明，是在通过具体解题过程得出解题结果之后，对于这一具体解题结果的正确与否所进行的证明。通过本人的不懈努力，在三十多年的证明研究过程中，经过了数百次的反复纠改，终使这一结果得到了严谨的理论证实。 解题步骤： 参见图1，以任意角的顶点o为原点，以任意长为单位，分别在角的两个边上连续截取三个相等的单位，令第一个单位上的点分别为e、f，令第三个单位上的点分别为p、q。以p点为圆心，以e、f两点距离为半径在角内划弧，再从e、f两点引出切线与该弧相切，两条切线相交于点b，以同样的方法以q点为圆心，可得另一交点c。b、c两点就是角的三等分线所经过的点。 以

2、o点为圆心，以ob或oc的长度为半径在角内划弧，分别交角的两边于a、d两点。连接ab、bc和cd，若能证明出ab=bc，或bc=cd，则说明b、c两点，就是角的三等分线所经过的点。因为oe=of，oa=od，op=oq，ab=cd，所以，ef、ad、pq、bc都是关于角平分线对称的点。 证明过程： 参见图2，首先连接p、q，交eb于 点h，交fc于点r。因为op=3oe，oq=3of，所以，pq=3ef，所以ph=hr=rq。连接ad，便得adbc，且adef。连接er，交ad于n，再连接fh交ad于m。因此m、n两点也是关于角平分线对称的点，所以mb=nc，同时便得出一个等腰梯形nmbc，则

3、有bn=mc。 因为ef=rq，所以nd=rq，所以nd=bc，所以四边形nbcd是一个平行四边形，若证明出四边形nbcd为菱形，就可以说明bc两点就是角的三等分线所经过的点。 参见图3，以n点为圆心，以bc长为半径画弧，交am于w点；连接wb并延长到等于一倍wb长的一点z，则有wb=nc，bz=nc，所以，wb=mb（等量代换）。 过m点作nc的平行线，交bn于k，交bc于g，则有bz=mg，再以b点为圆心，以wb长为半径划弧，交由m点所作的与nc相平行的线于t点，连接bt则有wb=mb=bz=bt，连接zt和tc以后，若能证明z、t、c三点是在同一直线上的点，整个问题就可以应刃而解。 此题

4、的证明，是需要通过多步骤比较复杂的过程才可以完成的，为此，我们将要对于本题进行分步证明： 证明z、t、c三点在一条直线上证明wt=mz 证明bc=cd。 通过对于这个问题进行一系列的推导以后，我们得出已知条件是：wb=bz=mb=bt，wn=bc，wznc 。 证明：wzmt，mb=bt（已知） wbm=bmg（内错角相等） bmg=btk（等腰三角形底角相等） wbm=btk（等量代换） 又四边形nmbc是一个等腰梯形（推导） n、m、b、c四点是在同一圆周上的点 mb=bt，wbm=btk（已知） btk是同弧上的圆圆角 t、n、m、b、c五点都是同一圆周上的点 四边形nbtc也是一个等腰

5、梯形 tcbn kt=bz z、t、c三点是同一直线上的点 第一步证毕 bz=mg=kt（证知）mg=kt（等量代换） 四边形mbzg和wbtk都是菱形 bmg=btk，bmg=bzg（证知） bzg=btk（等量代换） bwk=bmg=bzg=btk（等量代换） 又wb=bz=mb=bt（已知） 菱形bwktbmgz wt=mz 四边形wztm是一个等腰梯形 第二步证毕 wznc（已知） 四边形nmtc也是等腰梯形 nt=mc bc=tn，bn=mc （等腰梯形对角线相等） bn=bc （等量代换） bn=cd，bc=cd b、c两点就是角的三等分线所经过的点。 结论：通过具体的做法所得出的

6、在同一圆周上的四个点当中，在已被确定了不相邻的两个弦处于相等的状态下，又证明出了相邻的各个弦都能得出相等的结果，说明用圆规和直尺将一角三等分是一个完全可以实现的理论现实。 通过对于这一问题的严格证明，不仅是证明了一角三等分是可行的现实，而且还可以自然的形成一个几何定理。以任意角的顶点o为原点，以任意长为单位分别在角的两个边上连续截取三个相等的单位，以第三个单位的任意一点为圆心，以第一个单位长的两点的距离为半径在角内划弧，再分别从第一个单位上的点引出切线与该弧相切，两条切线的交点就是角的三等分线所经过的点。我们将此确定为切线相交定理。 总结： 对于三等分任意角的问题，只要是能将90度以内的角给予等分以后，对于其它的任意角也都可以通过减去90度的方法来对于所有的任意角进行全面的三等分。 用圆规和直尺将一角三等分，是一个只有做题要求而没有给出任何已知条件的几何题，类似这样的问题，它既不是作图题，也不是证明题，而是一种需要利用圆规和直尺来达到某种目的的特殊类型的几何题，作图题和证明题都是需要具备充分的已知条件的，唯有这一类型的几何题没有已知条件。它不仅是体现在等分的问题上，在其他的方面也都可以加以运用，立方体加倍的问题，就是通过尺规的作用来得以实现的，