数学分析中辅助函数的作法与应用

1、 数学分析中辅助函数的作法与应用 摘要:辅助函数法不仅是转化数学问题的一种重要手段，而且是综合运用多种数学思维进行理论分析的具体体现.通过系统的探讨辅助函数在微分中值定理的证明、定积分不等式证明、利用函数单调性证明不等式、数值不等式证明中的作法，对相关结论进行了证明，并用多个例子论述并总结了辅助函数法在硕士研究生考试命题中的应用.理论结合实例的分析与总结，结果表明经由辅助函数法这样一种巧妙的数学变换，我们可以将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，进而提高解题的效率.关键词: 辅助函数法；理论分析；定理证明；不等式证明auxiliary function in the practice

2、 and application of mathematical analysis abstract：method of auxiliary function is not only a kind of transformation mathematical problems, but also is an important means of comprehensive use of mathematical thinking a theoretical analysis of the concrete embodiment of systematic discussion. through

3、 the auxiliary function in the mid-value theorem of proof, definite integral inequality proof, using functional monotonicity proof, inequality, the numerical inequality proof of relevant conclusion practice proved, and multiple example demonstrating and summarizes the method of auxiliary function in

4、 the application of exam of master graduate student proposition. theory of analysis and summary examples, the result shows that through the method of auxiliary function such a clever mathematical transformation, we can will generally problem into special problems, will complex problem into a simple

5、question, thus improving the efficiency of solving problems.key words：method of auxiliary function; theoretical analysis; theorem proof; inequality proof0 引言 辅助函数是数学解题中构造的辅助手段的一种，它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数.通常情况下，我们可以利用这个函数的特性进行有关的证明或求.之所以要构造辅助函数，是因为通过这样一种巧妙的数学变，我们可以将原来不易解决的数学问题转化为容易解决的辅助函数问题.在数学分析中，微分中值定理

6、扮演了极其重要的角色，而有关辅助函数的构造问题是应用微分中值定理解决问题的关键.在近几年的数学类硕士研究生考试，有关微分中值定理的命题屡见不鲜，而解决这类问题的关键正是有关辅助函数的构造问题.如果我们对辅助函数的构造原理有一个清晰的认识和理解，那么对于这类问题的解决无疑是种莫大的帮助.因而，探究有关辅助函数的构造及应用问题对于我们具有重要的理论意义和实用价值. 本文将从四个方面探讨有关辅助函数的作法与应用问题.首先将给出微分中值定理中辅助函数的三种作法，并且对于每一种作法都将相应的给出几个例题予以应用，以便使大家不仅能够理解并掌握这种方法，而且能够饶有兴趣地继续研究其它的方法，以拓宽思维；其次

7、将探讨定积分不等式证明中辅助函数的作法与应用问题；再次将讨论利用函数单调性证明不等式中辅助函数的作法与应用问题；最后我们讨论数值不等式证明中辅助函数的作法与应用问题.全文大体分为这四个部分，旨在对于辅助函数在数学分析中的作法与应用作一个初步的探究.1 微分中值定理中辅助函数的作法与应用 在微分中值定理中，辅助函数的作法常见的有以下三种：1.1 原函数法（又称微分方程法） 应用原函数法构造辅助函数的步骤如下：第一步：将欲证结论中的或改写为；第二步：通过恒等变形将欲证结论化为易消除导数符号的形式（或称为易积分形式）；第三步：用观察法或积分法求出原函数（即不含导数符号的式子）.为简便起见，积分常数取

8、作“0”；第四步：移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所求的辅助函数. 下面，首先我们以拉格朗日中值定理和柯西中值定理为例，利用原函数法来构造辅助函数，以得到这两个定理的证明.定理 拉格朗日（lagrange）中值定理 设函数满足如下条件：（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导；则至少存在一点，使得 分析：拉格朗日中值定理的结论：于是得到辅助函数 证明：令则在闭区间上连续；在开区间内可导；且即 所以函数在上满足罗尔中值定理的三个条件于是由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得又 故 ， 即 定理 柯西（cauchy）中值定理 设函数满足如下条件：（i）在闭区间上都连续；（ii）在开区间内都

9、可导；（iii）在内不同时为零；（iv）；则至少存在一点，使得 分析：柯西中值定理的结论：于是得到辅助函数 证明：令则在闭区间上都连续；在开区间内都可导；且即 所以函数在上满足罗尔中值定理的三个条件于是由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得又 故 ， 即 以上所给出的利用原函数法来构造辅助函数，以证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理，较教材中所构造的那个辅助函数更易于我们掌握运用.因为这种方法本身为我们阐明了有关这类问题辅助函数的构造原理，具有一定的科学探究性和推理性.微分中值定理在微分学中应用非常广泛，我们经常会遇到类似“至少存在一点,使得等满足”的证明问.有关这类问题的解决常常要用到中值定理,

10、而应用中值定理时往往需要构造出辅助函数.若辅助函数构造的巧妙适当,则问题很快便能迎刃而解;否则,我们有时会感到无从下手. 以下，我们利用微分中值定理证明一些恒等式，其方法仍然是构造辅助函数.为直观地说明这种方法的巧妙性，我们以一些考研真题为例来继续讨论原函数法在构造辅助函数方面的精妙之处.例1.1.1 设函数在上连续，在内可导，且有.试证：至少存在一点，使得. 分析：由原结论于是得到辅助函数显然在上满足罗尔中值定理的条件 证：令则在闭区间上连续；在开区间内可导；且，即 所以函数在上满足罗尔中值定理的三个条件于是由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得又 故 例1.1.2 设函数在上二阶可导，且.试

11、证：至少存在一点，使得 分析：由原结论两边积分，得.令，并移项，得于是得到辅助函数显然在上满足罗尔中值定理的条件 证：令则在闭区间上连续；在开区间内可导；且即 所以函数在上满足罗尔中值定理的三个条件于是由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得又 故 ，即 例1.1.3设函数在上连续，在内可导.试证：至少存在一点，使得，这里 分析：由原结论于是得到辅助函数显然在上满足柯西中值定理的条件。 证：令则由题设条件知，在闭区间上都连续；在开区间内都可导；在内， ；所以函数在上满足柯西中值定理的四个条件于是由柯西中值定理知，至少存在一点，使得 又 故 ， 即 例1.1.4 设函数在上连续，在内可导，且.试证：

12、存在，使得 分析：由原结论于是得到辅助函数显然与在上都满足柯西中值定理的条件 证：令则由题设条件知，在闭区间上都连续；在开区间内都可导；在内，；所以函数在上满足柯西中值定理的四个条件于是由柯西中值定理知，至少存在一点，使得 (1)再令则在上也满足柯西中值定理的四个条件于是由柯西中值定理知，至少存在一点，使得 (2)联立（1），（2）两式便得： 以上各题以不同的形式向我们阐明了原函数法在构造辅助函数方面的巧妙.也就是说，它们的欲证结论虽呈现不同的形式，但这类问题总可以利用原函数法所构造的辅助函数予以成功解决，只是我们要特别注意这种方法的灵活性和技巧性.1.2 常数k值法 常数k值法适用于欲证结论

13、中常数部分可分离出的命题.有关这类命题，构造辅助函数的步骤如下：第一步：令常数部分为k;第二步：作恒等变形，使上述等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式;第三步：分析端点的表达式是否为对称式或轮换对称式.若是，只需把 (或)改写为,相应的函数值 (或）改写为,则替换变量后的端点表达式即为所求的辅助函数. 为便于在以后的解题中应用这种方法，下面我们举一个例子.例1.2.1设函数在上连续，在内可导.证明：存在，使得 分析：令 ，则 显然这是一个对称式（这是因为a与b互换，等式不变）于是得到辅助函数显然在上满足罗尔中值定理的条件 证：令则在闭区间上连续；在开区间内可导；且即 所以函数在上满

14、足罗尔中值定理的三个条件于是由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得又 故 ， 即 常数k值法只适用于欲证结论中的常数部分可分离出的命题.若遇到的问题中，其欲证结论中的常数部分无法分离出或即使能够分离出但分离出后的形式特别复杂，则这种方法一般不再适用.拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒定理也可以用常数k值法通过找辅助函数加以证明.1.3 尝试法 尝试法适用于题设条件或欲证结论中含有积分表达式的命题.有关这类命题，构造辅助函数的方法如下: 将欲证结论中的或改写为，移项后，使等式一端为“”，令另一端的表达式为 (i)若满足根的存在性定理（又称零值定理）的条件，则由根的存在性定理即可得出命题的证明；

15、（ii）若不满足根的存在性定理的条件，即或,则此时改令为移项后含的那一端表达式，再通过积分得出辅助函数，此时应该检验是否满足罗尔中值定理的条件.若满足，则由罗尔中值定理即可得出命题的证明；若不满足，则通常验证不出=,此时应改令为移项后含的那一端表达式，通过两次积分即可得到辅助函数，此时证明命题时，须将展成一阶泰勒公式，由此即可得出命题的证明. 有关微分中值定理的命题在历届考研试题中大量出现，解决这种命题的关键是构造出合适的辅助函数，尝试法是解决这类问题的一个很好的方法.我们接着以一些考研真题为来继续讨论这种方法的灵活性和实用性.例1.3.1 设函数在上非负连续.证明：在内至少存在一点，使得 分

16、析：由原结论令 则 ， 在上不满足根的存在性定理的条件此时改令 积分，得 显然在上满足罗尔中值定理的条件故 由罗尔中值定理即可得到该命题的证明 证：令则在闭区间上连续；在开区间内可导；且所以函数在上满足罗尔中值定理的三个条件于是由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得又 故 ，即 例1.3.2设函数在上连续，在内可导.证明：在内至少存在一点，使得 分析：由原结论令 ，则由于无法判断与是否严格异号因此 在上不满足根的存在性定理的条件.此时改令积分，得 显然在上满足罗尔中值定理的条件故由罗尔中值定理即可得到该命题的证明 证：令 则在闭区间上连续；在开区间内可导；且所以函数在上满足罗尔中值定理的三个条件

17、于是由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得又 故 ， 即 例1.3.3 设函数在上连续，且.证明：至少存在一点，使得 分析：由原结论令 ，则 在上不满足根的存在性定理的条件此时改令，积分，得显然在上满足罗尔中值定理的条件故由罗尔中值定理即可得到该命题的证明 证：令则在闭区间上连续；在开区间内可导；且 即 所以函数在上满足罗尔中值定理的三个条件于是由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得又 故 例1.3.4设函数在上连续，在内二阶可导，且.证明：在内至少存在一点，使得 分析：由原结论令 则 由于无法判断与是否严格异号因此在上不满足根的存在性定理的条件.此时改令 积分，得 ， 于是有 由于无法判断与是否

18、相等因此在上不满足罗尔中值定理条件.此时改令 两次积分，得 显然在上满足罗尔中值定理的条件故由罗尔中值定理即可得到该命题的证明 证：令 则由题设条件知在内二阶可导.现将在处展成一阶泰勒公式，得令 ， 则有 因为 所以由式有， 又因为 所以 于是由式有， ， 又 故在内存在一点，使得 运用尝试法构造辅助函数，首先必须明确题型的特点，然后依照如上的方法予以逐步探讨.这种构造辅助函数的方法较前两种相对难一些，其关键在于每一步都必须运用相关定理及运算技巧予以仔细推证.2 定积分不等式证明中辅助函数的作法与应用 若被积函数是连续的，则有关这类不等式的证明，我们一定要采用辅助函数法.也就是说，在这类问题的

19、证明中，我们通常是把定上限积分变为变上限积分或把定下限积分变为变下限积分来予以证明. 以下我们通过一个例子来说明这种方法在证明定积分不等式中的巧妙性.例2.1设函数在上连续，且严格单增.证明：分析：令, 则原结论变为 于是得到辅助函数下面只需证明在上严格单增即可得到命题的证明.为此只需证在上恒成立. 证：令 且 又 在上严格单增， 在上严格单增故 ， 即 3 利用函数单调性证明不等式中辅助函数的作法与应用 在利用函数单调性证明不等式时，辅助函数的作法通常有以下两种方法：（1） 直接通过移项，使不等式一端为“0”，另一端记为.（2） 直接对不等式作恒等变形，然后再移项，使不等式一端为“0”，另一

20、端记为.有关这类问题，其证明的程序一般可分为以下几个步骤：第一步：作辅助函数；第二步：求出辅助函数的导数，判断它的单调性；第三步：由第二步以及得出来的辅助函数在某一端点处的函数值（一般来说，端点处的函数值或者等于零或者已经知道它的符号），我们可以立刻得出命题的证明. 为说明这种证明方法的实用性，下面我们举一个例子.例3.1设.证明： 分析：由原结论 于是得到辅助函数下面只需证明在内单增即可得到命题的证明为此只需证在内恒成立 证：令则 ，且 所以 在内严格单增 故 即 ， 亦即 4 数值不等式证明中辅助函数的作法与应用 有关这类不等式的证明，通常有以下两种方法：（1）形似法：即由数值不等式出发找

21、一个与之相似的函数，由的单调性去证明这个数值不等式.（2）通过改变不等式中某个常数为变量，移项后，使不等式的一端为“0”，另一端即为所求的辅助函数. 下面，我们应用上面所介绍的方法来证明以下两个命题.例4.1证明： 分析：显然与该数值不等式相似的一个函数为 证：令 则 所以在其定义域内严格单增又 又 故 例4.2 设.证明： 分析：由原结论令 ，则上式变为 于是得到辅助函数 证：令则 且 ， 又 在内严格单增 在内严格单增 故 即 ， 亦即 5 结束语 通过对以上命题中辅助函数的构造方法和技巧的归纳和分析可知，数学应该在培养学生的函数思想观念，提高用构造辅助函数法解决数学问题的意识和能力方面体现教育价. 特别需要指出的是，中值定理是研究函数性态的一个重要的数学工具，而构