(完整版)用构造法求数列的通项公式汇总最新（精华版）

1、用构造法求数列的通项公式上海外国语大学嘉定外国语实验学校徐红洁在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项 ,公比),来求数列的通项公式。 但实际上有些数列并不是等差、等比数列 ,给出数列的首项和递推公式 ,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法： 一利用倒数关系构造数列。5例如：数列 an中，若 a12,1an 114(nann ),求 an设bn1 ,则b anbn +

2、4,n1即bn 1bn ， bn 是等差数列。可以通过等差数列的通项公式求出bn ,然再求后数列 an 的通项。练习： 1)数列 an 中， an 0，且满足 a11 , an121, (n13ann ), 求 an2) 数列 an 中， a11,an 12anan2, 求 an 通项公式。3) 数列 an 中, a11, an0, 且an2anan 1an 10(n2,nn ), 求 an.222二构造形如 bnan 的数列。例：正数数列 an 中，若 a15, an 1an4(nn ),求an2解：设 bn2an ,则bn 1bn4,即bn 1bn4数列 bn 是等差数列，公差是4， b1

3、a125bn即an25( n1) (4)2294n294nan294n , (1n7, nn )练习：已知正数数列 an 中， a1求数列 an 的通项公式。2, an2 an1 (n2, nn) ,三构造形如 bnlg an 的数列。例：正数数列 an 中，若 a1=10,且 lg an1 lg an21 ,( n2, nn ), 求 an.解：由题意得：lg anlg an 11 ， 可设bn2lg an ，即 bn1 ,bn 121bn是等比数列，公比为1 ， b 2lg 101bn1( 1 n 1)2n1(1) n21, (nn) .( 1 ) n 1即 lg a n() n 1 ,a

4、 210 2练习：（选自 2002 年高考上海卷）2数列 an 中，若 a1=3, an 1an ,n 是正整数，求数列 an 的通项公式。四构造形如 bnanm 的数列。例：数列 an 中，若 a1=6,an+1=2an+1, 求数列 an 的通项公式。解： an+1 +1=2a n+2,即 an+1+1=2（ an +1）设 bn= an+1,则 bn = 2 bn-1n则数列 b n 是等比数列，公比是 2,首项 b= a +1 7,bn72n 1 ,即a17 2 n 1an72n 11 ， ( nn )构造此种数列，往往它的递推公式形如：an 1c and, (c1)和snann2的形

5、式 。如： an+1 c an+d,设可化成 an+1+x=c(an+x),an+1=c an+(c-1)x用待定系数法得：(c-1)xdx=d. c1又如： n+an=n+2,则 n-1+an-1=n+1,二式相减得： n n-1 +a na n-1 =，即 a n +a na n-1 =， 2 an an-1=，an = 1 an-1+ 1 .2如上提到 bn = a n 21d = a n1c1练习： 1. 数列 an 满足 an+1=3an+2, 求 an 2.数列 an 满足 n+an=2n+1, 求 an五构造形如 bnan 1an 的数列。例：数列 an 中，若 a1=， a=3

6、,an+2 + 4 an+1 - 5an=0 (nn),求 an。解： an+2 + 4 an+1 - 5an=0 得： an+2 an+1 = - 5（an an） 设 bn = an an，则数列 b n 是等比数列，公比是 -5,首项 b= a2 - a12,n-1an an=2?(-5)即 a a=2?(-5)a a =2?(-5)a a =2?(-5)n-2an an =2?(-5)以上各式相加得： an a =2?（-5） (-5)(-5)（ -5）n- 1即： ana =2?1 （15）n 1(5)an11(5) n31，即 an4( 5)n 13，（nn )当递推公式中， an

7、 与 an 的系数相同时， 我们可构造 bn = an an，然后用叠加法得： b1+b2+b3+b4+bn = an-a1通过求出数列 bn前 n-1 项和的方法，求出数列 an 的通项公式。1) 当递推公式中形如 :nnan+1 =a n+an+b ;an+1=a n+qn(q 1) ;an+1=a n+qn +an+b 等情形时，可以构造 bn = an an ,得:bn = an+b； bn = q求出数列前 n-1 项的和 tn-1,;bn =q+an+b。tn-1=a(n21)n(n1)b ;tn-1=tn-1=q(11q(11q n 1 ) qq n 1 )q；+ a(n21)

8、n(n1)b即：ana=a(n21)n(n1)b ;ana=q (11qn 1 );qan a =a(n21)n(n1)b +q(11q n 1 ) q从而求出an =a+a( n21)n( n1)b ;an= a+q(1n 1q) ;an =a+1a( n2q1) n( n1)b +q(11q n 1 )。q2）当递推公式中形如 :111an+1=a n+n(n；an+1=a n+1)（2n1）(2n； an+1=a n+1) n等情形n1可以构造 bn = an an ,得:：bn =1n(n；bn =1)（2n11）(2n；bn =11)nn1即 bn = 1n1；bn = 1 (1n1

9、22n112n1) ； bn =n1n从而求出求出数列前 n-1 项的和 tn-1,1tn-1=1；tn-1=n1 (121) ；tn-1=n12n1即：ana=11 ;n1ana=(121) ;2n1an a =n1从而求出an =a+11 ;n11an= a+(1) ;22n1an =a+n1n练习： 1）数列 an 中，若 a1=1， an+1 -a n=2n, 求通项 an. 2）数列 an 中，若 a1=1， an+1 -a n=2n, 求通项 an.3) 数列 an 中，若 a1=2， an 1a2nn ，求通项 an.六构造形如 bnan 1 的形式。an例：数列 an 中，若

10、a1=1， (n1)an 1nan ，求 an.解：由 (n1)a n 1nan 得：an 1nann1 a2a11 ， a 32 a 22 ， a 43 a 33 ，4ann1 an 1n用累乘法把以上各式相乘得：an1a1n1 an。nn当递推公式形如： anq n a ； (n1)an 1nan； na n 1(n1)an 等形式，我们可以构造 bn可得:an 1 。annnbqn ;bn; b n1n1 .nn然后用叠乘法得：b1b2b3anbn 1。a1令数列bn 的前 n-1 项的积为 a n-1,则an 1n( n 1)q2； an 111; an 1nn从而得到： ann (

11、n 1)aq2； n1 ； an1a1n( n 1)a1na1nana1 q2； an11aa。1； an1nnnn练习： 1）数列 an 中，若 a1=2， an2 a ，求 an.七构造形如 bnan 1man 的形式。例：数列 an 中， a1=2，sn=4an-1+1，求 an.解： sn=4an-1+1，sn-1=4an-2+1二式相减： sn-sn-1=4an-1-4an-2an =4an-1-4an-2an -2an-1=2（ an-1-an-2）设 bn=an+1-2an，当 递 推 公 式 形 如sn+1=4an+2;an+2=pan+1+qan(p+q=1)等 形 式 时 ， 因an -2an+1=2(an+1-2an);an+2-an+1=(p-1)(an+1-an),我们构造 bn=an+1-2an; bn=an+1-an,由等比数列知识得 bn=(a2-a1) 2n-1; bn=(a2-a1) (p