小学三年级奥数-幻方

1、2021/3/101 故事引入：故事引入： 公元前三千多年，有条洛河经常发大水，皇帝公元前三千多年，有条洛河经常发大水，皇帝 夏禹带领百姓去治理洛河，这时，从水中浮起一夏禹带领百姓去治理洛河，这时，从水中浮起一 只大乌龟，背上有奇特的图案。只大乌龟，背上有奇特的图案。 龟背上的图案代表了几个不同的数，人们称它为龟背上的图案代表了几个不同的数，人们称它为“书书”。 龟背上的图案是龟背上的图案是 什么意思呢？什么意思呢？ 2021/3/102 龟背上的这些数填到表格中，你能发现什么？龟背上的这些数填到表格中，你能发现什么？ 4 618 753 29 探究一探究一 每一行，每一列，每一条对角线上的三

2、个每一行，每一列，每一条对角线上的三个 数的和，有什么特点数的和，有什么特点? 2021/3/103 1、幻方的定义、幻方的定义（三阶幻方）（三阶幻方） 4 618 753 29 4+9+2=154+9+2=15 3+5+7=153+5+7=15 8+1+6=158+1+6=15 4 4 3 3 +8+8 1515 9 9 5 5 +1+1 1515 2 2 7 7 +6+6 1515 8+5+2=158+5+2=15 4+5+6=154+5+6=15 每行、每列、对角线上的三个数的和都相等的方格，叫每行、每列、对角线上的三个数的和都相等的方格，叫 “幻方幻方”。 这个相等的和叫三阶幻方的幻和

3、。这个相等的和叫三阶幻方的幻和。 2021/3/104 它们是幻方么？你怎样来判别？它们是幻方么？你怎样来判别？ 6 62 2 8 8 2 2 9 9 1 15 5 3 3 7 7 4 4 9 94 4 7 75 53 3 6 61 18 8 2020 1515 1111 1515 1515 191911111515 15151515 1515 1515 1515 1515 15151515 每行每列斜着的三个数的和是否都相等，来判断是不是幻方。每行每列斜着的三个数的和是否都相等，来判断是不是幻方。 不是不是 是是 练习练习1 2021/3/105 按照纵横各有数字的个数，可以分为：按照纵横各

4、有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、三阶幻方、 四阶幻方、四阶幻方、 五阶幻方、五阶幻方、 六阶幻方六阶幻方 按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为：按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 奇阶幻方奇阶幻方 偶阶幻方偶阶幻方 2、幻方的分类、幻方的分类 2021/3/106 三、四阶幻方三、四阶幻方 宫健快乐奥数园 2021/3/107 五阶幻方 2021/3/108 六阶幻方 2021/3/109 (1) 所有行、列、对角线上的所有行、列、对角线上的 数数 之和均为之和均为15； (2) 偶数位于角上，奇数在中偶数位于角上，奇数在中 间；间； (3) 5位于中心点，相对的两个端位于中心点，相对

5、的两个端 点数和为点数和为10。因为因为9个数之和是个数之和是45， 所以中间的数是所以中间的数是5。 3、探究幻方的规律、探究幻方的规律 4 618 753 29 2021/3/1010 （4）幻和）幻和=九个数之和九个数之和3， （5）中间数）中间数=幻和幻和3. （6）C=(A+B)2 （如右图）（如右图） 4 618 753 29 2021/3/1011 把把1，2，39这这9个数填入个数填入33的方格里的方格里,变成三阶幻方变成三阶幻方 三阶幻方有技巧三阶幻方有技巧, 3数斜着先排好数斜着先排好, 上下左右要交换上下左右要交换, 然后各自归位了然后各自归位了! 2021/3/1012

6、 4、如何填幻方、如何填幻方（幻方的构成）（幻方的构成） 定中间数定中间数 填四角数填四角数 算其余数算其余数 2021/3/1013 将将19九个自然数填入下图的九个方格里，九个自然数填入下图的九个方格里， 使每行、每列、每条对角线上的三个数的使每行、每列、每条对角线上的三个数的 和都相等。和都相等。 定中间数，填四角数，算其余数定中间数，填四角数，算其余数 1 2 3 45 6 7 89 把九个数把九个数最中间最中间的一个填在方的一个填在方 格的正中央，第格的正中央，第二、四、六、二、四、六、 八八个数分别填在四个角上个数分别填在四个角上。 幻和=(1+2+3+8+9) 3=15 2021

7、/3/1014 将2、4、6、8、10、12、14、16、18 九个数填入下图的九个方格里，使每行、 每列、每条对角线上的三个数的和都相 等。 幻和幻和=（2+4+6+18）3 =3010 48 1216 18 146 2 2021/3/1015 1997年美国佬发射年美国佬发射 了两个宇宙飞船，了两个宇宙飞船， 在飞船上为了向外在飞船上为了向外 星人展示人类的文星人展示人类的文 明，科学家就选择明，科学家就选择 了一张四阶幻图了一张四阶幻图- 耆那幻方耆那幻方。 是在印度耆那教寺庙门前一块石牌上刻的，是是在印度耆那教寺庙门前一块石牌上刻的，是 12121313世纪的产物。它的任何世纪的产物。

8、它的任何2 22 2的方块内的的方块内的4 4个个 数字和也是数字和也是3434。 耆那幻方：耆那幻方： 2021/3/1016 四阶幻方构成方法 4、如何编幻方、如何编幻方（幻方的构成）（幻方的构成） 数字依次先排好数字依次先排好, 上下中间交叉换上下中间交叉换, 左右中间交叉换左右中间交叉换, 其他地方不要变其他地方不要变! 中心对称法中心对称法 2021/3/1017 原理与步骤：原理与步骤： （1）先算幻和：）先算幻和： 幻和幻和=（1+2+16）4= 34 三阶幻方的幻和可以用三阶幻方的幻和可以用9个数的和除以个数的和除以3； 那么四阶幻方的幻和也可以用那么四阶幻方的幻和也可以用16

9、个数的和除以个数的和除以4 161513 1211109 87 14 65 4312 2021/3/1018 161513 1211109 87 14 65 4312 第一行和第一行和=10 （1 ）幻和）幻和=34 少了少了24 第二行和第二行和=26 第三行和第三行和=42 第四行和第四行和=58 少了少了8 多了多了8 多了多了24 第一列和第一列和=28 第二列和第二列和=32 第三列和第三列和=36 第四列和第四列和=40 少少6少少2 多多2 多多6 对角线和对角线和=34对角线和对角线和=34 （2）分析列表）分析列表原理与步骤：原理与步骤： 2021/3/1019 161513

10、 1211109 87 14 65 4312 根据刚才的情况我们发现对角线上的根据刚才的情况我们发现对角线上的 4个数和就是幻和，那么就让它们位置都不变。个数和就是幻和，那么就让它们位置都不变。 我是魔师我是魔师, 我可是有魔法的我可是有魔法的 现在我们来指引现在我们来指引 你们去把每行你们去把每行 每列的数字和相等每列的数字和相等 1.我先变个中心点我先变个中心点 2.数字数字2和和3与谁关于与谁关于 中心点相对中心点相对 3.数字数字5和和9谁关于谁关于 中心点相对中心点相对 34 34 34 34 34343434 2021/3/1020 16 15 13 12 1110 9 8 7 1

11、4 6 5 4 3 1 2 161513 1211109 87 14 65 4312 对比一下了，哪些数位置有变化对比一下了，哪些数位置有变化 1513 1211109 87 14 6 5 4312 16 数字依次先排好数字依次先排好, 上下中间交叉换上下中间交叉换,左右中间交叉换左右中间交叉换,其他地方不要变其他地方不要变 2021/3/1021 练习：填四阶幻方：练习：填四阶幻方： 把把3,4,5,6,.18这这16个数字编成一个四阶幻方个数字编成一个四阶幻方. 数字依次先排好数字依次先排好, 上下中间交叉换上下中间交叉换, 左右中间交叉换左右中间交叉换, 其他地方不要变其他地方不要变!

12、3 4 56 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 42 42 42 42 42424242 所以所以 幻和幻和=42 2021/3/1022 同学们同学们 你们真的好棒哦你们真的好棒哦!不要骄傲不要骄傲, 继续加油哦继续加油哦! 请你们把请你们把1,3,5,7,.29,31这这16个数字编成一个四阶幻方个数字编成一个四阶幻方. 1,3,529,31 中间的数你们中间的数你们 知道是多少吗知道是多少吗? 数字依次先排好数字依次先排好, 上下中间两两换上下中间两两换, 左右中间两两换左右中间两两换, 其他地方不要变其他地方不要变! 这个四阶幻方这个四阶幻方 的幻和是多

13、少的幻和是多少? 全是单数全是单数 2021/3/1023 5、巧填幻方：、巧填幻方： 例例1：给出一个不完整的幻方：给出一个不完整的幻方,请你们认真补充完这个表格请你们认真补充完这个表格! 6 30 3226 20 181412 82 先求出幻和先求出幻和 68 28 68 68 68 68 68 6868 24 16 4 2210 2021/3/1024 例例2、 下面是一个四阶幻方下面是一个四阶幻方,求求a= 355 112317 1925 29333 ab 跟跟a有关的有有关的有哪些行哪些行, 哪些列或哪些对角线哪些列或哪些对角线? 1 2 3 接下来你们看看幻和接下来你们看看幻和 能

14、求出来吗能求出来吗? 幻和不能求出来幻和不能求出来. 但可以表示出来但可以表示出来: 幻和幻和 135+23+3+a 19+b+25+a3 35+23+3=19+b+25b=17 幻和幻和=5+23+15+29=74 17 a=74-(35+23+3)=13 13 2021/3/1025 例例3、 下图中，下图中，ag 7个字母，各代表个字母，各代表7个数字，个数字， 要使三阶幻方成立，要使三阶幻方成立，“a”所代表的数字是多少？所代表的数字是多少？ a=（12+18）2 =302 =15 2021/3/1026 例例4 4、 在下图的每个方格里填上适当的数，在下图的每个方格里填上适当的数，

15、使每行、每列、每条对角线上的三个数的和使每行、每列、每条对角线上的三个数的和 都相等。都相等。 幻和幻和=83=24 24-8-3=13 13 24-8-7=9 95 （3+7）2=5 24-9-5=10 10 24-10-8=6 611 2021/3/1027 例例5、 在下图的每个方格里填上不大于在下图的每个方格里填上不大于11且互且互 不相同的八个自然数，使每行、每列、每条对不相同的八个自然数，使每行、每列、每条对 角线上的三个数的和都等于角线上的三个数的和都等于21。 中间数=213=7 7 6 21-7=14 11+3 10+4 9+5 11 310 4 95 2021/3/1028

16、 中间数=213=7 7 6 6、7、8、3、4、5、9、10、11 4 103 9 11 5 7 6 4 10 3 9 11 5 2021/3/1029 在下图的每个方格里填上不同的自然数，使在下图的每个方格里填上不同的自然数，使 每行、每列、每条对角线上的三个数的和都每行、每列、每条对角线上的三个数的和都 等于等于27。 中间数中间数=273=9 9 9、8、7、6、5、1312、11、10、 2021/3/1030 三阶幻方的编制和补充三阶幻方的编制和补充四阶幻方的编制和补充四阶幻方的编制和补充 三阶幻方有技巧三阶幻方有技巧, 3数斜着先排好数斜着先排好, 上下左右要交换上下左右要交换,

17、 然后各自归位了然后各自归位了! 数字依次先排好数字依次先排好, 上下中间交叉换上下中间交叉换, 左右中间交叉换左右中间交叉换, 其他地方不要变其他地方不要变! 2021/3/1031 数阵数阵 把一些数按一定的规律组成各式各样把一些数按一定的规律组成各式各样 的图形的图形 2021/3/1032 例例: :在下面数阵图中的在下面数阵图中的内填上适当的数使内填上适当的数使 同一条线上的三个同一条线上的三个的三个数的和是的三个数的和是13.13. 1 8 4 7 6 2 3 2021/3/1033 例例: :把把10,20,30,40,5010,20,30,40,50分别填分别填 入入内内, ,

18、使每条使每条 直线上的三个数的和相等直线上的三个数的和相等. . 8 8 8 8 8 10 20 30 40 50 (10+20+30+40+50-10)/2=70 20+50=70 30+40=70 (10+20+30+40+50-20)/2=65 X (10+20+30+40+50-30)/2=60 10+50=60 20+40=60 2021/3/1034 例：把例：把1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7这七个数字填入这七个数字填入 下面的下面的内，使每条线上的和相等。内，使每条线上的和相等。 2 6 3 5 4 1 7 1+2+3+4+5+6+7=28 28-中间的数中间的数=剩下两个数剩下两个数 的和的和3 28-1=27 273=9 （1）当中间填）当中间填1时，剩