数学理第一轮第9章第55讲曲线与方程

1、22110064xy22226620.1.xyxy 方程化简的结是果226,06,020110064xy该方程表示的几何意义是到定点，的距离之和为的点的轨迹结合椭圆的定义可知化简结果析：为解28yx2240.2yxyxM与 轴相切，且与圆相外切的动圆圆心的轨迹方程是222242,028 .xyMxyx 圆方程为，则动圆圆心到的距离等于它到定直线的距离，故所求轨迹方程是解析：224412521xy223.1251,0.xyCAQAQCQMM设圆的圆心为 ，是圆内一定点， 为圆周上一动点，线段的垂直平分线与交于，则点的轨迹方程为222225525211.24441.2521CQMCMQMCMAAC

2、MCAacbacMxy依题意得，且，故点的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，则，故点的轨迹方程为解析：2214xy 224.4.xyPxPQPQM过圆上任意一点 向 轴作垂线段，则线段的中点的轨迹方程是111,1111221122221122()()0.22()4444.1.4M xyP xyQ xxxxxyyyyP xyxyxyxyxMy设， ，则，、由中点坐标公式得，即又点，在圆上，则，即所以的轨方程是：迹解析221394xyx221212121 122195.4.xyAAPPA AAPA PM设 、是椭圆的长轴两个端点， 、是椭圆的垂直于的弦的端点，则直线与的交点的轨迹方程为120000022

3、20002001 100220222202022()() ()341.94993333499991394MPPxyxyxyxxyyxyAPyxxyA Pyxxyyxxxxyx 如图，设点、 、 的坐标分别为 ， 、，、 ，则，即直线的方程为直线的方程为得，整理得解析：定义法求轨迹方程定义法求轨迹方程 已知 F1:(x+3)2+y2=1， F2:(x -3)2 +y2=9, 动圆P与 F1， F2均外切，求圆心P的轨迹方程.【例1】解析：设 P的半径为r.则由题意有 ， 所以|PF2| - |PF1|= 2 |F1F2|. 由双曲线的定义知，点 P 的轨迹是以F1 , F2 为焦点，实轴长为2的

4、双曲线的左支. 设双曲线的方程为 ，1213PFrPFr 22221xyab 则 ，所以 . 故点P的轨迹方程为 (x-1).222223acabc 18ab 2218yx 在求动点 P 的轨迹方程时，有时可以先根据题中的几何条件，判断出轨迹的形状及位置，再运用待定系数法求方程的特征量，从而求出轨迹方程，这种方法称为定义法.本题在得出 |PF2|-|PF1| =2 3时, 方程可化为 ,化简得 y2= -12(x -4). 故点P的轨迹方程为22(1)34xyx 22(1)34xyx 22(1)34xyx 2412(4)xyx (03)(34)xx 【解析】 如图所示，已知P(4 , 0)是圆

5、x2+y2=36内的一点，A、B是圆上 两 动 点 ， 且 满 足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.相关点法求轨迹方程相关点法求轨迹方程【例3】2222222222222()Rt.Rt3644364100.APBQABRxyABPARPRRABOARARAOORxyPRxyxyxyxyx VV设矩形的对角线的中点为 ，其坐标为 ， ， 则在中，又因为 是弦的中点，依垂径定理，在中，又，所以有，即解析：111111222222()()40224100404()()410022256RRQQ xyR xyRPQxyxyxyxxyxxy因此，点 在一个圆上，而当 在此圆上运动时， 点即

6、在所求的轨迹上运动 设， ， 因为 是的中点， 所以， 代入方程， 得， 整理得，这就是所求的轨迹方程 本题主要考查利用“相关点代入法”求轨迹方程的能力.在此题中，欲求点Q的轨迹方程，应先求点R的轨迹方程，若没有发现这个解题的实质，就会陷入僵局.由此可见，对某些比较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程. 2304,23Ml xyAPAMAPPMP 为直线 ：上的一动点，为一定点，又点 在直线上运动，且，求动点 的轨迹方程00000000()()43441333,23423132308430.P xyM xyx

7、xxxAPPMyyyyxyxy 设， ，因为所以又，代入化简得【解析】3【变式练习 】 1.已知椭圆的焦点是F1、F2, P是椭圆上的一个动点，如果延长 F1P 到点Q，使得|PQ|=|PF2|, 那么动点Q的轨迹是 .圆解析：因为|PF1|+|PF2|=2a, |PQ|=|PF2|, 所以|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a, 所以动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆. 2.已知点M(-3 , 0)、N(3 , 0)、B(1 , 0),圆C与直线MN切于点B，分别过M、N且与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹 方程为 .221(0)8

8、yxx 3.分别过A1(-1 , 0) , A2(1 , 0) 作两条互相垂直的直线，则它们的交点M的轨迹方程是 .x2+y2=1解析：设M(x , y).因为MA1MA2，所以MA1 MA2=0,即(x+1 , y) (x -1 , y)=0，得x2+y2=1. 4.已知圆C:(x -1)2+y2=1，过原点O作圆C的任意一条弦，求弦的中点的轨迹方程.22221 () ( , ) 0,(1, )( , )011)(01)242 ()90( 0)11()(01)24OQOP x yCPOQCP OQxyx yxyxOPCPMOCxyx方法 ： 直接法设为过 的任意一条弦，是其中点，则，故所以，

9、 即( 方法 ： 定义法因为，动点 在以，为圆心，为直径的圆上， 所以所求点的轨迹解方程为析：uur uuu r 222211221222223 ().120. *11()()()1.211*11()(01)24PQykxykxkxxxyP xyQ xyPQxyxxkxykxkkkxyx 方法 ： 参数法设动弦的方程为 由，得 设，线段的中点的坐标为 ， ， 则，将以上两式代入消去 得所求点的轨迹方程为 5.如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2 =4. 过动点 P 分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N分别为切点)，使得|PM|=2|PN|.试建立适当的坐标系，求动点的轨迹方程.

10、 解析：以线段O1O2的中点O为原点，线段O1O2所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(-2 , 0) , O2(2 , 0). 由已知|PM|= |PN|，得|PM|2=2|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2 -1=2(|PO2|2 -1).2 设P(x , y)，则(x+2)2+y2 -1=2(x -2)2 +y2 -1, 即(x -6)2+y2=33. 所以动点P的轨迹方程为(x -6)2+y2=33(或x2+y2 -12x+3=0). 1求曲线方程时应注意的问题在求曲线方程时经常出现的问题是产生多解或漏解现象，为此，解题时应注意以下三点： 注意动点应满足的某些隐含条件； 注意方程变形是否同解； 注意图形可能的不同位置或字母系数取不同值时的讨论 2. 曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式，“曲线”是轨迹的几何形式，反映的是数量关系所表示的图形；“方程”是轨迹的代数形式，反映的是图形所满足的数量关系在具体解题操作时要将二者结合起来，这就是“数形结合”的方法 3.定义法