第二课堂立几作业课

1、1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN平面AA1B1B.证明如图所示，作MEBC交BB1于点E，作NFAD交AB于点F，连接EF，则EF平面AA1B1B.MEBC，NFAD，.在正方体ABCDA1B1C1D1中，CMDN，B1MNB.又B1CBD，又BCAD，MENF.又MEBCADNF，四边形MEFN为平行四边形，MNEF.又EF平面AA1B1B，MN平面AA1B1B，MN平面AA1B1B.2.(2017全国)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD

2、90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.(1)证明由已知BAPCDP90，得ABPA，CDPD.由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)解如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，所以PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx，故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3，故x2.从而结合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2，可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin6062.3.(2017龙岩市新罗区校

3、级模拟)如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.(1)若弧BC的中点为D，求证：AC平面POD；(2)如果PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.(1)证明方法一设BCODE，D是弧BC的中点，E是BC的中点.又O是AB的中点，ACOE.又AC平面POD，OE平面POD，AC平面POD.方法二AB是底面圆的直径，ACBC.弧BC的中点为D，ODBC.又AC，OD共面，ACOD.又AC平面POD，OD平面POD，AC平面POD.(2)解设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，hr，lr.由SPAB2rhr29，得r3，S

4、表rlr2rrr29(1).4.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，且AB2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在？请说明理由.解存在这样的点F，使平面C1CF平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：ABCD，AB2CD，AF綊CD，四边形AFCD是平行四边形，ADCF.又AD平面ADD1A1，CF平面ADD1A1，CF平面ADD1A1.又CC1DD1，CC1平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1，CC1平面ADD1A1.又CC1，CF平面C1CF，CC1CFC，平面C1CF平面ADD

5、1A1.5.如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点.求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.证明(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四边形GFAB为平行四边形，AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.

6、6.(2017全国)如图，在四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)证明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.(1)证明如图，取AC的中点O，连接DO，BO.因为ADCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.又DOOBO，所以AC平面DOB，故ACBD.(2)解连接EO.由(1)及题设知ADC90，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.由题设知AEC为直角三角形，所以EOAC.又ABC是正三

7、角形，且ABBD，所以EOBD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.7.(2017南京一模)如图，在六面体ABCDE中，平面DBC平面ABC，AE平面ABC.(1)求证：AE平面DBC；(2)若ABBC，BDCD，求证：ADDC.证明(1)过点D作DOBC，O为垂足.平面DBC平面ABC，平面DBC平面ABCBC，DO平面DBC，DO平面ABC.又AE平面ABC，则AEDO.又AE平面DBC，DO平面DBC，故AE平面DBC.(2)由(1)知，DO平面ABC，AB平面

8、ABC，DOAB.又ABBC，且DOBCO，DO，BC平面DBC，AB平面DBC.DC平面DBC，ABDC.又BDCD，ABDBB，AB，DB平面ABD，则DC平面ABD.又AD平面ABD，故可得ADDC.8.已知四棱锥SABCD的底面ABCD为正方形，顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O，高为，设E，F分别为AB，SC的中点，且SE2，M为CD边上的点.(1)求证：EF平面SAD；(2)试确定点M的位置，使得平面EFM底面ABCD.(1)证明取SB的中点P，连接PF，PE.F为SC的中点，PFBC，又底面ABCD为正方形，BCAD，即PFAD，又PESA，平面PFE平面SAD.EF平面PF

9、E，EF平面SAD.(2)解连接AC，AC的中点即为点O，连接SO，由题意知SO平面ABCD，取OC的中点H，连接FH，则FHSO，FH平面ABCD，平面EFH平面ABCD，连接EH并延长，则EH与DC的交点即为M点.连接OE，由题意知SO，SE2.OE1，AB2，AE1，MCAECD，即点M在CD边上靠近C点距离为的位置.9.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点.求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.证明(1)在PAD中，E，F分别为AP，AD的中点，EFPD.又EF平面PCD，PD平面PCD，直线EF平

10、面PCD.(2)如图，连接BD.ABAD，BAD60，ADB为正三角形.F是AD的中点，BFAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BF平面ABCD，BF平面PAD.又BF平面BEF，平面BEF平面PAD.10.(2017山东)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E平面ABCD.(1)证明：A1O平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1

11、O1OC，A1O1OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD.因为B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1.又A1E，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平面A1EM.又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.11.(2017汉中二模)如图，在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点.(1)求证：A1D1平面AB1D；(2)若

12、平面ABC平面BCC1B1，B1BC60，求三棱锥B1ABC的体积.(1)证明连接DD1，在三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点，B1D1BD，且B1D1BD，四边形B1BDD1为平行四边形，BB1DD1，且BB1DD1.又AA1BB1，AA1BB1，AA1DD1，AA1DD1，四边形AA1D1D为平行四边形，A1D1AD.又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，A1D1平面AB1D.(2)解在ABC中，边长均为4，则ABAC，D为BC的中点，ADBC.平面ABC平面B1C1CB，交线为BC，AD平面ABC，AD平面B1C1CB，即AD是三棱锥AB1BC的高.在AB

13、C中，由ABACBC4，得AD2，在B1BC中，B1BBC4，B1BC60，B1BC的面积为4.三棱锥B1ABC的体积即为三棱锥AB1BC的体积V428.12.如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点.(1)求证：CD平面SAD；(2)求证：PQ平面SCD；(3)若SASD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN平面ABCD？并证明你的结论.(1)证明四边形ABCD为正方形，CDAD.又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，CD平面SAD.(2)证明取SC的中点R，连接QR，D

14、R.由题意知，PDBC且PDBC.在SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，QRBC且QRBC.QRPD且QRPD，则四边形PDRQ为平行四边形，PQDR.又PQ平面SCD，DR平面SCD，PQ平面SCD.(3)解存在点N为SC的中点，使得平面DMN平面ABCD.连接PC，DM交于点O，连接PM，SP，NM，ND，NO，PDCM，且PDCM，四边形PMCD为平行四边形，POCO.又N为SC的中点，NOSP.易知SPAD.平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，且SPAD，SP平面ABCD，NO平面ABCD.又NO平面DMN，平面DMN平面ABCD.例(12分)如图，四棱锥PABC

15、D的底面为正方形，侧面PAD底面ABCD，PAAD，点E，F，H分别为AB，PC，BC的中点.(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PAH平面DEF.审题路线图(1)(2)规范解答评分标准证明(1)取PD的中点M，连接FM，AM.在PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，FMCD且FMCD.在正方形ABCD中，AECD且AECD，AEFM且AEFM，则四边形AEFM为平行四边形，AMEF.4分又EF平面PAD，AM平面PAD，EF平面PAD.6分(2)侧面PAD底面ABCD，PAAD，侧面PAD底面ABCDAD，PA底面ABCD.DE底面ABCD，DEPA.E，H分别为正方形ABCD边A

16、B，BC的中点，RtABHRtDAE，则BAHADE，BAHAED90，则DEAH.8分PA平面PAH，AH平面PAH，PAAHA，DE平面PAH.10分DE平面DEF，平面PAH平面DEF.12分构建答题模板第一步找线线：通过三角形或四边形的中位线，平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直.第二步找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行.第三步找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行.第四步写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.1.如图，在空间四面体ABCD中，若E，F，G，H分别是AB

17、，BD，CD，AC的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)求证：BC平面EFGH.证明(1)在空间四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，EF綊AD，GH綊AD，EF綊GH，四边形EFGH是平行四边形.(2)E，H分别是AB，AC的中点，EHBC.EH平面EFGH，BC平面EFGH，BC平面EFGH.2.(2017北京)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积.(1)证明因为PA

18、AB，PABC，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PABD.(2)证明因为ABBC，D是AC的中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.(3)解因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因为D为AC的中点，所以DEPA1，BDDC.由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC，所以三棱锥EBCD的体积VBDDCDE.3.(2017北京海淀区模拟)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA2，E是侧棱PA上的动点.(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)如果E是PA的中点，求证：PC平面

19、BDE；(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE？证明你的结论.(1)解PA底面ABCD，PA为此四棱锥底面上的高.V四棱锥PABCDS正方形ABCDPA122.(2)证明连接AC交BD于点O，连接OE.四边形ABCD是正方形，AOOC.又AEEP，OEPC.又PC平面BDE，OE平面BDE，PC平面BDE.(3)解不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE.证明：四边形ABCD是正方形，BDAC.PA底面ABCD，BD平面ABCD，PABD.又PAACA，BD平面PAC.CE平面PAC，BDCE.4.如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥ABCD.(1)求证：平面AOC平面BCD；(2)若三