《圆的对称性(1)》3垂径定理

1、圆的对称性圆的对称性(1)(1)圆的对称性圆的对称性1.1.圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？2.2.如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少条对称轴？你能找到多少条对称轴？是是.圆的对称轴是任意一条经过圆圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线心的直线,它有无数条对称轴它有无数条对称轴.O轴对称图形轴对称图形复习回顾复习回顾O圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形圆是轴对称图形,其对其对称轴是任意一条过圆心称轴是任意一条过圆心的直线的直线.圆的相关概念圆的相关概念1.1.圆上任意两点间的部分圆上任意两点间的部分叫做叫做圆弧圆弧, ,简称简称弧弧. .以以A,BA,B两点为

2、端点的两点为端点的弧弧. .记作记作 , ,读作读作“弧弧ABAB”. .ABABOA AB B2.2.连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦( (例如：弦例如：弦AB).AB).3.3.经过圆心的经过圆心的弦弦叫做叫做直径直径( (例如：直径例如：直径AC).AC).圆的相关概念圆的相关概念A AB BC CO O.圆的相关概念圆的相关概念4.4.圆的任意一条直径的两个端点把圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆半圆. .OD DB B5.5.小于半圆的弧叫做小于半圆的弧叫做劣弧劣弧, ,如图记作：如图记作： ( (用两

3、个字母表示用两个字母表示).).ABAB6.6.大于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做优弧优弧, ,如图记作：如图记作： ( (用三个字母表示用三个字母表示).).ADBADBA A做一做做一做如图，如图，ABAB是是O O的一条弦的一条弦. .（2 2）你能发现图中有哪些等量关系）你能发现图中有哪些等量关系? ? 说一说你的理由说一说你的理由. .作直径作直径CD,CD,使使CDAB,CDAB,垂足为垂足为M.M.（1 1）右图是轴对称图形吗）右图是轴对称图形吗? ? 如果是如果是, ,其对称轴是什么其对称轴是什么? ?A AB BO OC CD DM MAM=BM，AC=BC，AD=BD. O

4、O关于直径关于直径CDCD对称，对称， AC=BC,AC=BC,理由如下理由如下: :连接连接OAOA、OB,OB,在在OABOAB中，中，则则OA=OB.OA=OB.OA=OBOA=OB，OM AB OM AB ，AM=BM.AM=BM.点点A A和点和点B B关于关于CDCD对称对称. . 当圆沿着直径当圆沿着直径CDCD对折时，对折时，ACAC和和BCBC重合重合, ,ADAD和和BDBD重合重合. .AD=BD.AD=BD. 点点A与点与点B重合重合,OA AB BC CD DM M 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, , 并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧. .CD

5、AB,CDAB,CDCD是直径是直径, ,AM=BM ,AM=BM ,条件条件一条直径一条直径垂直于弦垂直于弦 直径平分弦直径平分弦平分弦所对的弧平分弦所对的弧结论结论 AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.A AB BO OC CD DM M符号语言：符号语言：垂径定理垂径定理垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, ,并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧. . 老师提示老师提示: :垂径定理是圆中一个重要的结论垂径定理是圆中一个重要的结论, ,三种语言三种语言 要相互转化要相互转化, ,形成整体形成整体, ,才能运用自如才能运用自如. . CDCD是直径

6、是直径, CDAB, CDAB,AM=BM,AM=BM,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.符号语言：符号语言：A AB BO OC CD DM M 如图，如图，ABAB是是O O的弦的弦（不是直径）（不是直径）, ,作一条作一条平分平分ABAB的直径的直径CDCD，交，交ABAB于于M M点点. .议一议议一议（2 2）你能发现图中有哪些等量关系？）你能发现图中有哪些等量关系？ 说说你的理由说说你的理由. .（1 1）右图是轴对称图形吗）右图是轴对称图形吗? ? 如果是如果是, ,其对称轴是什么其对称轴是什么? ?A AB BO OC CD DM M AD=BD.AD=BD. A

7、C=BC,AC=BC,90 ,AMDBMDM M AC=BC,理由如下理由如下: :连接OA、OB,则OA=OB.OA=OB，OM=OM，OAMOBM.AM=BM.AD=BD.在OAM和OBM中,OA AB BC CD D.90BMDAMDCDAB,又由垂径定理,.BMDAMD .180BMDAMD又议一议议一议 如图，如图，ABAB是是O O的弦的弦 , ,作一条作一条平分平分ABAB的直径的直径CDCD，交，交ABAB于于M M点点. .等量关系：等量关系：A AB BO OC CD D AD=BD.AD=BD. AC=BC,AC=BC,90 ,AMDBMD（不是直径）（不是直径）M MD

8、ADAOBBOCC思考：如果思考：如果ABAB也是直径，上述也是直径，上述结论是否成立？结论是否成立？不一定不一定. .O O平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦）的直径垂直于弦, ,并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧. .垂径定理的推论垂径定理的推论CDCD是直径是直径, AB, AB是弦（不是直径），是弦（不是直径），AM=BM,AM=BM,CDAB,CDAB, AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.符号语言：符号语言：A AB BC CD DM M想一想想一想在上图中，为什么要强调在上图中，为什么要强调AB是是O O的弦，而不是直径呢？的弦，而不是直径呢？ 垂径定

9、理和垂径定理的推论垂径定理和垂径定理的推论如图如图, ,下列五个条件中下列五个条件中: : CDCD是直径是直径, , AM=BM,AM=BM, CDAB,CDAB, AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD. A AB BO OC CD DM M5 5个条件中，任满足个条件中，任满足2 2个，剩下个，剩下3 3个结论都成立个结论都成立. .由由 (2)(2)、(3)(3)，得，得(1)(1)、(4)(4)、(5).(5).常用此方法来确定圆心的位置常用此方法来确定圆心的位置.BAOC由由OECDOECD，利用垂径定理得利用垂径定理得 CF=DF=300m,CF=DF=300m,例例1

10、1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧如图，一条公路的转弯处是一段圆弧( (即图即图中弧中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为为弧弧CDCD上的一点上的一点, ,且且OECD,OECD,垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求求这段弯路的半径这段弯路的半径. .OCDEF30090分析分析:连接连接OC.设半径为设半径为R,利用勾股定理求出半径利用勾股定理求出半径 .R-90 OC=OE=R,EF=90， 则则OF=R-90.解解: :连接连接OC.OC.OD DE EF F.)90(,mROFRm 则则设设弯弯路路

11、的的半半径径为为).(3006002121mCDCF 得得根据勾股定理根据勾股定理,即即,222OFCFOC .90300222 RR.545, R得得解解这这个个方方程程OECD 本题是垂径定理的本题是垂径定理的应用，解题过程中使应用，解题过程中使用了列方程的方法，用了列方程的方法，用代数方法解决了几用代数方法解决了几何问题何问题. .C C这段弯路的半径为这段弯路的半径为545m.545m.判断判断1.1.垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, ,并且平分弦所对的并且平分弦所对的两条弧两条弧. . 2.2.平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对平分弦所对的一条弧的直径一定平

12、分这条弦所对的另一条弧的另一条弧. . 3. 经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦. 4. 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. 5. 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. 1.1.在在O O中，若中，若CDABCDAB于于M M，ABAB为直径，为直径，则下列结论不正确的是（则下列结论不正确的是（ ）2.2.已知已知O O的直径的直径AB=10AB=10，弦，弦CDABCDAB，垂，垂足为足为M M，OM=3OM=3，则，则CD=CD= . .3.3.在在O O中，中，CDABCDAB于于

13、M M，ABAB为直径，若为直径，若CD=10CD=10，AM=1AM=1，则，则O O的半径是的半径是 . . OCDABMC C A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM8 81313练一练练一练4.4.在半径为在半径为5050的圆的圆O O中，有长中，有长5050的弦的弦CDCD，则点则点O O与与CDCD的距离为的距离为 . .OCDABM解决有关弦的问题时，半径是解决有关弦的问题时，半径是常用的辅助线的添法常结合常用的辅助线的添法常结合勾股定理计算勾股定理计算.mm325rd r2 =d2+( )22a 2a5.13005.1300多年前多年前, ,我国隋朝建造

14、的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥( (如图如图) )的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (即弧所对的弦长即弧所对的弦长) )为为 37.4 m,37.4 m,拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离, ,也叫弓形高也叫弓形高) )为为7.2m,7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径( (精确到精确到0.1m).0.1m).求赵州桥桥拱半径的问题求赵州桥桥拱半径的问题AOAB=37.4mDCCD=7.2mBD在在RtRtOADOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得ABOCAB=37.4AB=37.4，CD=7.2CD=7.2， OD=OC OD=OCCD=rCD=

15、r7.27.2半径半径OCOC弦弦AB,AB,r r解得：解得：r r27279 9（m m）即即: r: r2 2=18.7=18.72 2+ +（r r7.27.2）2 2答：赵州桥的主桥拱半径约为答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.27.9m.OA2=AD2+OD2d r2 =d2+( )22ah+d=rh+d=r解解: 如图用弧如图用弧ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB所在圆的圆心所在圆的圆心为为O O，半径为，半径为r r 过圆心过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OCOC，D D为垂足，为垂足，OCOC与弧与弧ABAB相交于点相交于点C C， ABAD21,7.184.3721 7.27.2h h37.437.4D D 2a小结小结1.1.本节课主要学习了什么本节课主要学习了什么？（1 1）圆是轴对称图形）圆是轴对称图形, ,其对称轴是任意一条其对称轴是任意一条过圆心的直线过圆心的直线. .（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧.（3）垂径定理的推论：平分弦（）垂径定理的推论：平分弦（不是直径不是直径）的）的直径