第1章信息光学数学基础

1、第一章第一章 信息光学数学基础信息光学数学基础第一章第一章 信息光学数学基础信息光学数学基础 1-1 1-1 常用常用函数函数 变型变型xf(x)xf (x- x0)x0 xf(x/a)xf(-x)x-f(x)xbf(x)平移平移( (原点移至原点移至x x0 0) )折叠折叠与与f(x)关于关于y轴轴镜像对称镜像对称取反取反与与f(x)关于关于x轴轴镜像对称镜像对称倍乘倍乘y方向幅度变方向幅度变化化比例缩放比例缩放a1, 在在x方向展宽方向展宽a倍倍a1, 在在x方向压缩方向压缩a倍倍1-1 1-1 常用函数常用函数变型（例）变型（例）xf(x)01x, 0 x01/2, x=00, x00

2、, x=0-1, x1; g(x) = 0-1 x 0; g(x) = 1 x+1/2-(-1/2)=1+x0 x 0 为实值为实值|rff (x)| 1)，导致频域中坐，导致频域中坐标标(fx,fy)的的扩展扩展及频谱及频谱幅度缩小幅度缩小，反之亦然。，反之亦然。g(x)x0 1 1/2-1-1/21g(ax) a=2x01 1/4-1-1/41fG(f)01-11f02-21/2)(1afGax空域压缩空域压缩F.T.F.T.频域扩展频域扩展bfafGabbyaxgyx,1),(1-51-5 二维傅里叶变换二维傅里叶变换八、八、 F.T.定理定理 3. 位移定理位移定理 g(x-a, y-

3、b)= G(fx, fy) exp-j2p p(fxa+fyb) 设设 g(x,y) G( fx,fy), F.T.频率位移：原函数在空间域的相移，导致频谱的位移。频率位移：原函数在空间域的相移，导致频谱的位移。 g(x,y) expj2p p(fax+fby)= G(fx- fa, fy- fb)空间位移：原函数在空域中的平移，相应的频谱函数振空间位移：原函数在空域中的平移，相应的频谱函数振幅分布不变，但位相随频率线性改变。幅分布不变，但位相随频率线性改变。推论推论: : 由由 1= d d (fx,fy) exp j2p p(fax+fby)= d d (fx- fa, fy- fb)复指

4、函数的复指函数的F.T.是移位的是移位的d d 函数函数1-51-5 二维傅里叶变换二维傅里叶变换八、八、 F.T.定理定理 4. 帕色渥帕色渥(Parseval)定理定理若若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压，代表加在单位电阻上的电流或电压，则左式代表信号的总能量（或总功率）。则左式代表信号的总能量（或总功率）。 |G( fx , fy)|2代表能量（功率）的谱密度（单位频率代表能量（功率）的谱密度（单位频率间隔的能量或功率）。间隔的能量或功率）。-yxyxdfdfffGdxdyyxg22),(),( 设设 g(x,y) G(fx,fy), F.T.Parseval定理说明，信号的能量也

5、可由定理说明，信号的能量也可由|G( fx , fy)|2曲线下面曲线下面积给出，或者说等于各频率分量的能量之和积给出，或者说等于各频率分量的能量之和能量守恒。能量守恒。1-51-5 二维傅里叶变换二维傅里叶变换八、八、 F.T.定理定理 - Parseval定理的证明（一维）定理的证明（一维）交换积分顺序，先对交换积分顺序，先对x求积分求积分:利用复指函数的利用复指函数的F.T.利用利用d d 函数的筛选性质函数的筛选性质2( )G fdf-dxxffjdfdffGfG) (2exp) ()(*p -) () ()(*dfdffffGfGddffGfG-)()(*dxdfxfjfGdffxj

6、fGdxxgxgdxxg-)2exp() ()2exp()()()()(*2pp1-51-5 二维傅里叶变换二维傅里叶变换八、八、 F.T.定理定理 5. 卷积定理卷积定理空域中两个函数的卷积，其空域中两个函数的卷积，其F.T.是各自是各自F.T.的乘积。的乘积。 g(x,y)* h(x,y)= G(fx,fy) . H(fx,fy) 设设 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T.F.T. g(x,y) . h(x,y)= G(fx,fy) * H(fx,fy)空域中两个函数的乘积，其空域中两个函数的乘积，其F.T.是各自是各自F.T.的卷积。的卷积。将时、

7、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别实用。将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别实用。也可用于求复杂函数的也可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积。和复杂函数的卷积。1-51-5 二维傅里叶变换二维傅里叶变换利用卷积定理的例子利用卷积定理的例子2.tri(x)= rect(x)*rect(x)= rect(x) rect(x) = sinc(f) sinc(f) = sinc2(f) rect(x)x01 1/2-1-1/21rect(x)x01 1/2-1-1/21*tri(x)x01 1-1-11fsinc(f)01-11sinc(f)01-11 xsinc2(x)01-1

8、1F.T.F.T.F.T. tri(x) = sinc2(f )1-51-5 二维傅里叶变换二维傅里叶变换八、八、 F.T.定理定理 6. 相关定理相关定理自相关与功率谱的关系自相关与功率谱的关系: :作为练习自己证明。提示作为练习自己证明。提示:利用卷积定理、相关定义利用卷积定理、相关定义和共轭函数的和共轭函数的F.T. 设设 g(x,y) G(fx,fy), F.T.反过来有：反过来有：g(x,y) g(x,y)= |G(fx,fy)|2|g(x,y)|2= G(fx,fy) G(fx,fy) 1-5 1-5 二维傅里叶变换二维傅里叶变换八、八、 F.T.定理定理 7. F.T.积分定理积

9、分定理在函数在函数 g 的各连续点上，的各连续点上，留作习题自证。留作习题自证。-1-1 g(x,y)= -1 g(x,y)= g(x,y) g(x,y)= -1 -1 g(x,y)= g(-x,-y)1-51-5 二维傅里叶变换二维傅里叶变换八、八、 F.T.定理定理 8. 可分离变量函数的变换可分离变量函数的变换 通常通常g(x,y) 是可分离变量的函数是可分离变量的函数，即两个独立一，即两个独立一元函数的乘积元函数的乘积:g(x,y)= g1(x) g2(y)-dyyfjygdxxfjxgyx) 2exp()() 2exp()(21pp= G1(fx) G2(fy) 按二维按二维F.T.

10、的定义的定义:dydxyfxfjyxgffGyxyx-)( 2exp),()(,p其傅里叶变换也是可分离变量的函数其傅里叶变换也是可分离变量的函数 将二维函数的将二维函数的F.T. 化为二个独立坐标上的一维函数的化为二个独立坐标上的一维函数的F.T.的乘积。物理上的大多数函数可以这样处理。的乘积。物理上的大多数函数可以这样处理。注意注意: 不可与两个函数乘积的不可与两个函数乘积的F.T.相混淆相混淆!傅里叶变换的计算方法傅里叶变换的计算方法1. 用定义直接计算用定义直接计算: rect(x), circ(r) , .2. 用广义傅里叶变换的定义计算并求极限用广义傅里叶变换的定义计算并求极限:

11、1.3. 用傅里叶变换的性质间接导出用傅里叶变换的性质间接导出: F.T.的积分定理的积分定理 F.T.的卷积定理的卷积定理 1. 1=d d (fx , fy );d d (fx , fy)=11 与与d d 函数互为函数互为F.T. 常用傅里叶变换对常用傅里叶变换对 3. rect(x)=sinc(f );sinc(x)= rect(f )rect与与sinc 函数互为函数互为F.T. 4. Gaus(x) = Gaus(f ) 高斯函数的高斯函数的F.T.仍为高斯函数仍为高斯函数2.)comb()(comb1)comb()(combfxfxttt2梳状函数的梳状函数的F.T.仍为梳状函数仍为梳状函数常用傅里叶变换对常用傅里叶变换对6.)()(21)2(cos000ffffxfxx-ddp)()(21)2(s000ffffjxfinxx-ddp利用欧拉利用欧拉公式和公式和5的的结果结果