第六章信号的矢量空间

1、6.1 引言信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处理进行更深入的研究。理进行更深入的研究。本章主要内容本章主要内容利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念；利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念；信号的正交函数分解；信号的正交函数分解；相关函数；相关函数；能量谱和功率谱；能量谱和功率谱；线性空间线性空间 范数范数 内积内积 柯西施瓦茨不等式柯西施瓦茨不等式一线性空间定义：定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成是这样一种集合，其中任意两元素相

2、加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。例例:NNR 维实数空间维实数空间NNC 维复数空间维复数空间L 连连续续时时间间信信号号空空间间l 离离散散时时间间信信号号空空间间二范数 表表示示，满满足足以以下下公公理理的的范范数数以以符符号号线线性性空空间间中中元元素素x x 。三三角角形形不不等等式式；有有量量正正齐齐性性对对所所有有数数；时时当当且且仅仅当当正正定定性性yxyx3xx,20 x0 x, 0 x1 空空间间的的范范数数；与与NNC

3、.R1 阶阶范范数数定定义义为为的的空空间间元元素素与与在在为为实实数数，令令pxxxxppNNN,CR,121 max 1 def111 pxpxxiNipNipip对于对于对于对于常用范数 11 , 1max 21121121 xxx )Euclidean(2范范数数或或欧欧氏氏距距。也也称称为为欧欧氏氏矢矢量量的的长长度度。理理意意义义是是空空间间中中，二二阶阶范范数数的的物物在在二二维维或或三三维维实实数数矢矢量量x中中的的范范数数和和离离散散时时间间信信号号空空间间连连续续时时间间信信号号空空间间lL. 2 定定义义如如下下阶阶范范数数的的中中，元元素素连连续续时时间间信信号号空空间

4、间ppxLx1 sup1 dx1 ptxpttxppp“上确界上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。的概念是数学分析中最基本的概念。 考虑考虑一个实数集合一个实数集合M. 如果有一个实数如果有一个实数S，使得，使得M中任何数中任何数都不超过都不超过S,那么就称那么就称S是是M的一个上界。的一个上界。 在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为为M的上确界。的上确界。 一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。却只有一个。 sup 1 xp1 pnxpnxnpp这里这里sup表示信号的最小上界，对

5、于定义在闭区间内的表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的信号，信号，sup表示其幅度值。表示其幅度值。 的的定定义义阶阶范范数数的的元元素素中中离离散散时时间间信信号号空空间间ppnxlx,2(3)(3)常用的范数常用的范数 L dx1空空间间ttx 空空间间lnxn x1 可见，一阶范数表示信号作用的强度。可见，一阶范数表示信号作用的强度。一阶范数一阶范数 dx dx L2222122ttxttx 即即空空间间 x x 2222122 nnnxnxl即即空空间间物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。二阶范数二阶范数 sup x Ltx 空空间间 s

6、upx nxl 空空间间 ,号号的的幅幅度度。可可测测得得的的峰峰值值，也也即即信信表表示示信信号号闭闭区区间间上上的的物物理理意意义义：对对于于定定义义在在 xtx三内积 21222211cosyx yxyx内内积积（点点积积）运运算算对对应应于于二二维维矢矢量量空空间间的的2211yxyx 1 2 1x2x1y2yxy 212221212221221121cosyyxxyxyx 直角坐标平面内两矢量相对位置关系直角坐标平面内两矢量相对位置关系利用范数符号，将矢量长度分别写作利用范数符号，将矢量长度分别写作 21222122122212yxyyxx 于是于是上式表明：给定的矢量长度，标量乘积

7、式反映了两矢量上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量之间相对位置的之间相对位置的“校准校准”情况。即情况。即 标量乘积为零标量乘积为零两矢量之夹角为两矢量之夹角为,90, 0cos21 标量乘积取最大值标量乘积取最大值两矢量夹角为两矢量夹角为,0, 1cos21 21222211cosyx yxyx332211yxyxyx 多维多维维维实实线线性性空空间间NyxiNii y, x1 维维复复线线性性空空间间NyxiNii y, x1 三维三维推广推广信号空间信号空间 dyx,连连续续时时间间信信号号ttytx yx,Z离离散散时时间间信信号号 nnynx对于对于L空间或空间或l空间，

8、信号空间，信号x与其自身的内积运算为与其自身的内积运算为 xdxx,222连连续续 ttx xxx,222离离散散 Znnx内的两连续信号的内积内的两连续信号的内积Ly, yx, xy, x2 四柯西施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式不等式证明柯西施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式不等式y, yx, xy, x2 证明证明: 21222211cosyx yxyx即即2122cos,yxyx1,2yy,xx,yx所以所以y, yxx,y, x2 1,122yxyx则有则有对于二维矢量空间，已知有如下关系对于二维矢量空间，已知有如下关系6.3 信号的正交函数分解矢量的正交分

9、解矢量的正交分解 正交函数正交函数正交函数集正交函数集复变函数的正交特性复变函数的正交特性将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。的特性。简化系统分析与运算，简化系统分析与运算， 总响应总响应=单元响应之和。单元响应之和。信号分解的目的 niitete0 teiH tri niiniitrteHteHtr002VVe eVVcV 2121误差矢量误差矢量 )cos(211212VVVVc 2221222121221112)cos()cos(VVVVVVVVVVVVVVc 系数系数021 VV两矢量正交两矢量正交怎样分解，能得到最小的误差分量？

10、怎样分解，能得到最小的误差分量？0 12 c即即1V2V21Vc1eV2eVeV22Vc212Vc方式不是惟一的：方式不是惟一的：表示，表示，用用21VV1211eVVcV 一矢量的正交分解eVVc 212222eVVc 正交分解空间中任一矢量可分解为空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。三方向矢量。 平面中任一矢量可分解为平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。二方向矢量。一个三维空间矢量一个三维空间矢量 ，必须用三个正交，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：hzj yi xV 0 , hzVj yi xVe二正交函

11、数 表示，即表示，即用用内，信号内，信号在区间在区间tftfttt2121 )()(2121tfctf 误差误差 21d)(1)(22121222ttettfctftttf求得求得必需使必需使最小的最小的为求使为求使, 0dd , 122122 cc tftftftfttfttftfctttt(),(),(d)(d)()(22212221122121 称称为为正正交交函函数数，满满足足则则，若若)(),(02112tftfc 0d)()(2121 ttftftt系数系数相关系数分解的原则：分解的原则：fe(t)的方均值最小，即误差信号功率的方均值最小，即误差信号功率( (能量能量) )最小。最

12、小。,d)(1)(1222e122221cttftttftte最小时的最小时的，求，求令令 即即时的时的即求出即求出,0dd12122cc 求系数求系数c12 0d)()(dd221211221 ttfctfctt交换微积分次序交换微积分次序 0d)()()(2)(dd212122212122112 tttctftftfctfc(1) (2) (3)先微分先微分 0d )(2d)()(22121221221 ttfcttftftttt可得系数为可得系数为 ttfttftfcttttd)(d)()(2121222112 )( 0)(dd )1(1212112ctftfc不不含含因因为为 )()(

13、2)()(2dd )2(21211212tftftftfcc )(2)(dd )3(22122221212tfctfcc 再积分再积分)(),()(),(222112tftftftfc 有如下定义有如下定义设矩形脉冲设矩形脉冲tf 2 10 1tttf 最最小小。示示此此函函数数，使使方方均均误误差差之之间间内内近近似似表表在在区区间间，试试用用正正弦弦波波波波形形如如图图 2 , 0sin(a)t tf11 2to(a)例6-3-1 内近似为内近似为在区间在区间函数函数 2 , 0tf4dsindsin)(2022012 tttttfc所以所以 ttfsin4 如图虚线所示。如图虚线所示。的

14、正弦波的正弦波近似波形是振幅为近似波形是振幅为,4应应满满足足为为使使方方均均误误差差最最小小，12c tf11 2to(a) tctfsin12 4 4例6-3-2 。函数函数之间内来近似表示余弦之间内来近似表示余弦在区间在区间试用正弦函数试用正弦函数ttcos2 , 0sin显然，由于显然，由于0dsincos20 ttt所以所以012 c两函数正交。两函数正交。与与或者说或者说分量，分量，不包含正弦信号不包含正弦信号余弦函数余弦函数即即ttttsincossincos,)(2tfO3 t1 30230d3sind3sin3ttttt例6-3-32 用正弦波逼近三角函数用正弦波逼近三角函数

15、, , ? tfe 30 31 tttf， 30 3sin2 tttf， 3022302112d)(d)()(ttfttftfc)30(3sin2)(1 tttf)(212tfCO3t1 tf1)(tfeO3t1)(1tfO3 t1)()()(2121tfctftfe 所以所以三正交函数集任意信号任意信号f(t)可表示为可表示为n维正交函数之和：维正交函数之和： nrrrnnrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()(原函数原函数近似函数近似函数 )(),()(),( d)()(d)(d)()(2121212 tgtgtgtfKttgtfttgttgtfcrrrrt

16、trttrttrr 相相互互正正交交：tgtgtgr21, jiKjittgtgittji, 0d)()(21r =0,1,2,.n基底函数基底函数 正交函数集正交函数集tgtgtgr21,分解原则是误差函数方均值最小 d)()(1)(21122122误差信号功率误差信号功率误差信号能量误差信号能量ettnrrrefttgctftttf 表达式表达式可得可得令令rnrcCCCC0, 0, 0, 0 222212 理解rttrttrttrrKttgtfttgttgtfc 212121d)()(d)(d)()(2正交函数集规定：正交函数集规定： 所有函数应两两正交。所有函数应两两正交。 不能因一个

17、函数集中某几个函数相互正交就说该不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函数集是正交函数。函数集是正交函数。 是相互独立的，互不影响，计算时先抽取是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 nccc,21此公式是个通式，适合于任何正交函数集。此公式是个通式，适合于任何正交函数集。两周期信号在两周期信号在同一周期内同一周期内(同区间内同区间内)正交的条件是正交的条件是c12=0，即：，即： 总结 0d)()(21 Tttftf两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。信号。对一

18、般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定满满足正交。足正交。四.复变函数的正交特性jitgtgttgtgjittji 0)(),(d)()(21*iiittiiKtgtgttgtg )(),(d)()(21* 求求系系数数表表示示用用),(),2 , 1 , 0( ,)(tfnrtgr 的共轭的共轭为为)()(,d)()(d)()(2121tgtgttgtgttgtfcrrttrrttrr 则此复变函数集为正交函数集。则此复变函数集为正交函数集。 0d)()(d)()(21211221 ttttttftfttftf 满足关系满足关系内，复变函数集内，

19、复变函数集若在区间若在区间nrtgttr, 2 , 1,21 内内相相互互正正交交的的条条件件是是两两复复变变函函数数在在区区间间21,tt6.4 6.4 完备正交函数集、完备正交函数集、帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理完备正交函数集完备正交函数集帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理定义定义1 1： 定义定义2 2： 一完备正交函数集 nrrrnnrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()( 为完备的正交函数集。为完备的正交函数集。，此时，此时，则，则下降，若下降，若增加时，增加时，当当tgtgtgtgnnnr2122,0 不完备。不完备。数集数集于此正交函数集，原函于此正交函数集，原

20、函必属必属，则，则有有如果存在函数如果存在函数tgtgtgtgtxttxtgtxnrttr21,0d)()(,21 二帕塞瓦尔定理设设 为完备的正交函数集，即为完备的正交函数集，即 )(tgr误差函数误差函数 210d)()(1)(21122ettrrrttgctftttf即即 212121122120d)(d)()(2d)(ttrttrrrrrttttgcttftgcttf因为因为 2121d)(d)()(2ttrttrrttgttgtfc 2121d)(d)()(2ttrrttrttgcttgtf代入代入 0d)(d)(2d)(122122212121 rttrrrttrrrttttgct

21、tgccttf 121222212121d)(ddrttrrrttrrttttgcttgcttf即即 物理意义物理意义： 一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。 121222212121d)(ddrttrrrttrrttttgCttgCttf信号的信号的能量能量基底信号的基底信号的能量能量各信号分量的各信号分量的能量能量数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。能量信号与功率信号能量信号与功率信号相关系数与相关函数相关系数与

22、相关函数相关与卷积的比较相关与卷积的比较相关定理相关定理 6.6Rtitp)()(2 在一个周期内，在一个周期内，R消耗的能量消耗的能量 222220000d)(d)(TTTTttiRttpE002221( )dTTEu ttR 或平均功率可表示为平均功率可表示为 222000d)(1TTttiRTP0022021 1( )dTTPu ttT R 或设设i(t)为流过电阻为流过电阻R的电流，的电流，v(t)为为R 上的电压上的电压 R)(ti )(tv瞬时功率为瞬时功率为一能量信号和功率信号定义讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：( (有限值有限值) )

23、 ( (有限值有限值) ) 满足满足式的称为能量信号，满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。式称功率信号。 E00 P P0 E定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。令令R = 1 ，则在整个时间域内，实信号，则在整个时间域内，实信号f(t)的的 2220000d)(1limTTTttfTP平均功率平均功率 222000d)(limTTTttfE能量能量一般规律一般周期信号为功率信号。一般周期信号为功率信号。非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。还有一些非周期信号，也是非能量信号。还有一些非

24、周期信号，也是非能量信号。如如u(t)是功率信号；是功率信号；而而tu(t)为非功率非能量信号为非功率非能量信号; ;(t)是无定义的非功率非能量信号。是无定义的非功率非能量信号。例6-5-1判断下面的信号是功率信号还是能量信号。判断下面的信号是功率信号还是能量信号。)(1tf4T 4TtAO T2 4422d)(1TTTttfP 442dcos2TTttAT 2d212cos22442AttATTT P0 TATPETT422limlim 为功率信号为功率信号所以所以tf1数学本质数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现。具体表现。 物

25、理本质物理本质: 相关与信号能量特征有着密切联系。相关与信号能量特征有着密切联系。 21)(),()(),()(),(22112112tftftftftftf 222121)()()(),(tftftftf 1相关系数12 由两个信号的内积所决定：由两个信号的内积所决定：二相关系数与相关函数 最小，则有最小，则有使误差使误差选择选择，逼近逼近用用是能量有限的实信号。是能量有限的实信号。和和假定假定2121221 ctftftftf ttfttftfcdd222112 ttfttftfttftttfttftftftfdddddd222212122221212 相关系数此时，能量误差为此时，能量误

26、差为令相对能量误差为令相对能量误差为 2122121d ttf其中其中 22212122212112,ddd21tftftftfttfttfttftf 的相关系数。的相关系数。与与称为称为tftf2112 由柯西施瓦尔茨不等式，得由柯西施瓦尔茨不等式，得 21ddd222121 ttfttfttftf所以所以112 等于零等于零此时此时完全一样完全一样与与若若21221, 1, tftf 最大最大此时此时为正交函数为正交函数与与若若21221, 0, tftf ,2112运运算算给给出出了了定定量量说说明明。利利用用矢矢量量空空间间的的的的内内积积的的相相关关特特性性与与描描述述了了信信号号从

27、从信信号号能能量量误误差差的的角角度度相相关关系系数数tftf 2相关函数f1(t)与与f2(t)是能量有限信号是能量有限信号f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数f1(t)与与f2(t)是功率有限信号是功率有限信号f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数分如下几种情况讨论：分如下几种情况讨论：(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数: 相关函数定义相关函数定义: ttftfRd)()()(2112 ttftfd)()(21 ttftfRd)()()(2121 ttft

28、fd)()(21 可以证明：可以证明： )()(2112 RR时时，自自相相关关函函数数为为当当)()()(21tftftf ttftfRd)()()( ttftfd)()( )()( RR的偶函数的偶函数相关函数：相关函数： ttftfRd)()()(*2112 ttftfd)()(*21 ttftfRd)()()(2*121 ttftfd)()(2*1 ttftfRd)()()(* ttftfd)()(* 同时具有性质：同时具有性质： )()(*2112 RR)()(* RR(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数: 相关函数：相关函数： 222

29、112d)()(1lim)(TTTttftfTR 221221d)()(1lim)(TTTttftfTR 自相关函数：自相关函数： 22d)()(1lim)(TTTttftfTR (2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号 f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数: 相关函数：相关函数： 22*2112d)()(1lim)(TTTttftfTR 221*221d)()(1lim)(TTTttftfTR 自相关函数：自相关函数： 22*d)()(1lim)(TTTttftfTR (2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号 f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数: 两者的关系两者的关系 )(*)

30、()(2112tftftR 即即 )(1tf)(2tf与与 为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。 )(2tf反褶与反褶与 )(1tf之卷积即得之卷积即得 )(1tf)(2tf与与 的相关函数的相关函数 )(12tR 三相关与卷积的比较 )(1tf)(2tf与与 卷积表达式：卷积表达式： d)()()(*)(2121 tfftftf)(1tf)(2tf与与 相关函数表达式：相关函数表达式： ttftftRd)()()(2112 说明 最大。最大。相关性最强相关性最强时时自相关在自相关在0,0Rt 。则则卷卷积积与与相相关关完完全全相相同同为为实实偶偶函函数数与

31、与若若,21tftf相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。 例6-5-2 的的自自相相关关函函数数。求求周周期期余余弦弦信信号号tEtf1cos 对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有 12221212221111122211222cos2dcoscoslimdsinsincoscoscoslimdcoscoslimd1limEttTEttttTEtttTEttftfTRTTTTTTTTTTTT 此例结论1.

32、 周期信号自相关函数仍为周期信号周期信号自相关函数仍为周期信号,且周期相同。且周期相同。2.自相关函数是一偶函数，自相关函数是一偶函数，R(0)为最大值。为最大值。3.余弦函数自相关函数仍为余弦余弦函数自相关函数仍为余弦;同理可证，任意相位的同理可证，任意相位的正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。四相关定理 若已知若已知 )()(11 Ftf F )()(22 Ftf F则则 )()()(*2112 FFR F若若),()()(21tftftf )()( Ftf F则自相关函数为则自相关函数为 2)()( FR F由相关函数定义可知由相关函数定义可知 ttftfRd

33、)()()(*2112 取傅里叶变换取傅里叶变换 de )()(j1212 RRF ded)()(j*21 ttftftFtfde )()(j*21 )()(*21 FF 同理可得：同理可得： )()()(2*121 FFRF 相关定理证明 ttftfdde)(j*21 说明1.相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之积。积。2.自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。 定定理理具具有有相相同同的

34、的结结果果。此此时时相相关关定定理理与与卷卷积积此此时时若若是是实实偶偶函函数数,. 32*2 FF 6.7能量谱与功率谱1.能量谱 由相关定理知由相关定理知 2)()( FR F de)(21)(j2 FR所以所以 d)(21)0(2 FR又能量有限信号的自相关函数是又能量有限信号的自相关函数是 ttftfRd)()()(* ttfRd)()0(2有下列关系有下列关系 ttfRd)()0(2 d)(212 FffFd)(2 若若 为实数为实数,上式可写成上式可写成 )(tf ttfRd)()0(2 d)(212 FffFd)(2 帕塞瓦尔方程帕塞瓦尔方程定义定义能量谱密度（能谱）能量谱密度（

35、能谱） 2)()( F 所以有所以有 )()( RF )()(1 FR所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。 ttfRd)()0(2 d)(212 FffFd)(2 2功率谱是功率有限信号是功率有限信号 )(tffT(t)f(t)ttT2T2- 2 0 2 )()( TTtTttftf令令 )()(TT Ftf FT是是 有限的有限的 ，能量有限，能量有限2212TE( )dlim( ) dTTTfttF 2222( )d( )dTTTfttftt 则则 )(tf的平均功率为：的平均功率为： d)(lim21d)(1lim2T222TFttfT

36、PTTTT 定义定义 TFST2T)(lim)( f(t)的功率密度函数的功率密度函数(功率谱）功率谱） 1. 一个一个 极限的概念，极限的概念，2. 单位频带内信号功率随频率的变化情况，单位频带内信号功率随频率的变化情况，3. 无相位信息无相位信息t212j( )( ) edTRF 并取并取 两端乘以两端乘以 T1 T可以得到：可以得到： de )(21)(j SR de )()(j RS即即 )()()()(1 pRRS FF功率有限信号的功率谱函数与自相关函数功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换。是一对傅里叶变换。 利用相关定理有：利用相关定理有： 221( )( ) *

37、()dTTTRf t ftTlim 例6-6-1 ttftfTRTTTd)()(1lim)(22 22112d)(cos)cos(lim TTTtttTE 221112)cos()cos()cos(limTTTttTE 求余弦信号求余弦信号)cos()(1tEtf 的自相关函数和功率谱。的自相关函数和功率谱。为功率信号为功率信号,)(tf所以自相关函数为所以自相关函数为: ttd)sin()sin(11 )cos(212 E 因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对傅里叶变换, ,所以功率谱为所以功率谱为: : )()(2112 E求功率谱 )()( RFS de )( j R例6-6-2白噪声，其功率谱密度为白噪声，其功率谱密度为 ,NSN利用维纳利用维纳-欣钦关系式，得自相关函数欣钦关系式，得自相关函数 NRN 由于白噪声的功率谱密度为常数，所以白噪声的自相由于白噪声的功率谱密度为常数，所以白噪声的自相关函数为冲激函数，表明白噪声在各时刻的取值杂乱关函数为冲激函数，表明白噪声在各时刻的取值杂乱无