二重积分计算

1、 二重积分的计算二重积分的计算，是多元函数积分学的第一个难关，这一关过好了，对于其他类型（三重积分，曲线和曲面积分等）的积分，将开个好头，希望大家真正理解并掌握。首先需要化点功夫弄明白二重积分的定义以及性质。这里我就不写过多的内容，因为深入理解需要在具体的计算中才能加深理解，就事论事地背定义是很难有效果的。二重积分的计算，最基本也是最根本的是要理解转化二重积分为累次积分的原理，即一个二重积分化为两个有先后次序的定积分，这2个定积分一般彼此存在着关系，先积分的那个定积分一般是后一个定积分的被积函数。转化的前提是需要将被积区域表示为不等式形式。二重积分的被积区域是个平面域，常用两种表示法：1），这

2、时，累次积分的次序是“先后”，具体公式为。2），这时，累次积分的次序是“先后”，具体公式为 。上述公式表示的是在直角坐标系下的计算公式。在直角坐标系下，对平面区域可以沿平行于坐标轴的直线来分划该区域，所以积分微元。如果被积区域是一个矩形区域，则，而且被积函数可表为 ，此时，二重积分实际变为两个独立定积分的乘积： ，这是二重积分计算中最简单的情况。在一般情况下，都需要统一分析被积区域和被积函数的特点，确定累次积分的次序，然后分步计算。因此，能结合特点，合理地表达被积区域，常常是正确计算的前提。要特别强调的是，用一组不等式分别表示区域，必须将区域中（含边界）的每一点都要包括到，不能遗漏。做错题或做

3、不下去，其首要原因就在于此。当取被积函数时，二重积分，即等于的面积值，利用这个性质，我们可以用二重积分求平面区域的面积。例1 求函数在矩形区域上的二重积分。解一：积分次序采用“先后”：（本题和无关，故定积分的上下限均是常数） 。解二：积分次序采用“先后”： 。本题大概是最简单的二重积分了，但还是要认真体会，当先积分时，将视为常数；当先积分时，将视为常数。例2 计算，其中由所围成的区域。解一：积分次序采用“先后”，则，于是 （你最好画出草图） 。解二：积分次序采用“先后”，则。例3 计算 ，其中由所围成的区域。解一：积分次序采用“先后”，则。解二：采用“先后”，则要分成2个子区域：， 。 （最好

4、请你画出草图，那么这些关系很容易写出） 。在本解中由于区域要分成2个子区域，积分的过程比解一繁重些。上面的几个题的累次积分次序都可以顺利进行。但是，并不是所有的二重积分都可以这样。有些问题需要特殊处理，比如，积分次序在某种次序下无法进行下去；有时，积分区域也要做适当的划分。例4 计算 ，其中由所围成的区域。解：若采用“先后”，则。 但是，定积分 无法用初等函数表示出来，俗称“积不出”，所以，按照“先后”的次序无法计算这个二重积分。那么是否此二重积分肯定无法积吗？我们改用“先后”的次序，此时区域，于是 。 看，改变次序后，这个积分成功地积出来了！例5 计算 。解：如果按照题目给定的积分次序（题给

5、的次序是先后），则由于被积函数不存在初等函数表达的原函数，所以积不下去。为此，试着改变积分次序为“先后”，这样，需要对积分区域的表示方式作出改变。 大家刚开始学习重积分时，大家一定要先画草图，使区域很直观地显示出来，然后可正确地写出相应的区域的表达式。 在原“先后“的次序下，现在改为在“先后”的次序下，则 ，此时原式（至此已成为的定积分）。看，我们又一次成功了。要强调的是，在不同次序下，区域的表达形式也不同。例6 计算 。解： 由题给条件知，积分次序为“先后”，积分区域为 。这个区域的形状不算复杂，但是，先积的积分里被积函数 关于显然“积不出”，所以，我们试着改变积分次序为“先后”，此时，故有

6、 （把被积函数中的视为常数） 。 OK！改变次序后，能积出正确的结果。练习题1 计算 .还有一类问题，需要被积函数与积分区域配合起来做特殊处理。例7 ，其中。解： 是个正方形区域，那是不复杂的，但被积函数中含有，不好处理。要把被积函数显化即写成明确的数学式，故与域作合理处理！用将分成和（如图所示），在中，；在中，且， 故 ， 。练习题2 计算，其中。练习题3 计算。练习题4 计算 ，其中 例8 （上海工业大学考研题）计算 ，其中。解：本题首先要考虑的是去除绝对值号，不过，这与的符号有关，而的符号又与其变量的取值有关。用直线将分成和，这样，我们有。其中 ， （积分先后）； 故 原式 ； 。所以

7、原式。以后我们还将看到，对本题我们还有更好的解决方案（见后）。思考题 如果在例8中，积分区域改为 ，结果将为怎么样？ 如果，结果又会如何？ 进一步，若被积函数改为 ，你自己改变不同的积分区域，结果又为如何？ 总之，题目是人出的，你自己要学会用各种情况来考验自己。你自己也可以学着出题。练习题5 改变下列各题的积分次序：（1）；（2）。练习题6 计算下列积分： （1）； （2），其中由所围成的区域。（注意利用函数和区域的奇偶性的特点） （3） ，其中。 上面的题目都在直角坐标系里计算，很多情况下，改在极坐标系里计算更为方便简单。例9 求 ，其中 。解一： 被积区域的边界曲线为圆（圆心在，半径为，且

8、被积函数中有的项，故考虑用极坐标计算。由，此时 。 。解二：注意到区域关于轴对称，被积函数关于轴是偶函数，故记上半圆域为，。这样的计算可以简单些，请大家接着完成它，并于解一对比。解三：采用直角坐标系，也利用对称性。这样下去也是可以积分的，但对定积分的计算要求比较高。请大家接着做下去。例10 将二重积分化为极坐标系下的累次积分，积分区域为： ；解：如图所示。边界方程： 对应于 ； 对应于； 对应于 ； 对应于 。 本题需要将区域用（或）分成2个区域，（如图），其中 ， 。在这2个区域，极径的上、下界的函数是不同的，故必须分成2个子区域。故 极坐标计算时，多数情况下的积分次序是先后，但这不是绝对的

9、，有时也需要改变次序。这时，要正确地表示区域。例11（考研题）对极坐标二次积分， （1）交换积分次序；（2）再把它化为直角坐标系，写出“先后”以及“先后”的两个累次积分。解：（1）首先写出积分区域，域如图所示。 以原点为圆心，为半径，作一圆弧将分成和。则 ，故 。 注：关于极坐标的二重积分题，积分次序大部分是“先后”，我们的教科书上的公式也是这个次序，所以，很多同学不习惯“先后”的表示法。 其实，不论是何种次序，2个不等式表示了区域内的所有点，或者说，每一个点都要满足这2个不等式，缺一点都不行。以“先后”为例，它表示在每一条射线上，极径被和所界定，即满足 。再以本小题的“先后”的情况，你先选定

10、一个值（满足），作一条圆弧，交区域的边界得2点，得到一段圆弧，这段圆弧上的点的幅角必须满足。 你可以试一试本小题的结果，是完全满足的。 对第（2）小题，我想留给大家。例12 计算。 解：一种自然的解法是按题给次序进行积分，此时区域 但在直角坐标系下计算较繁杂，改用极坐标计算。则积分区域为 。这里我想对直线的极坐标表示多说几句。因为 。所以 ，所以，在本题情况下，极径对于极角的函数关系为： 。这个结果下午大家能懂也能记住，不要每次都来推导。这样，本题可写成 。 利用二重积分，可以计算定积分无法解决的难题。下面就是一个著名的例子。例13 （1）计算，其中；（2）利用第（1）小题的结果求广义积分 的

11、值。（此积分叫Poission积分）解：（1）采用极坐标，积分区域是在第一象限里的圆域，即， 。 如果不是有极坐标，作为无法求解。（2）因为 ， 其中。 这是广义的二重积分，我们采用夹逼准则来求其值。 记 ， ， 在图中，这3块区域是第一象限部分，也表示区域的大小。 显然 ，所以，根据积分的保序性，有 。 （&）由第（1）小题的结果， ， ，又因为 所以有 ， （+）现在在（+）的两边取的极限，显然（+）的两端式子的极限均为，故有夹逼准则，我们有 ，或 ，两边开方，则得广义积分（称为Poission积分） 。这正是我们希望得到的。在概率论中，这是一个极为重要的结果。练习题7 证明：。练习题8

12、计算 。例14 计算 ，其中。解一：用极坐标系。改写为 ，因为对 ，有 ，即 ；故 。 。解二：直接对做坐标代换： ，则，。解二给出的变换不叫极坐标变换，而称为参数变换或广义极坐标变换。在本题中这种变换更简单些。例15 计算 ，其中 。解：求解本题的第一件事是去除绝对值号。积分区域很规整，是个圆域，问题在于在该圆内的不同区域，的符号是变换的。因为 ， 故在圆域 内，其值为负；在此圆域外，其值为正；在该圆上，则为零。所以，作辅助圆 ，将圆域分成 4个子域， （如图所示），且， ， 。故我们根据积分的区域可加性质，并由被积函数的符号，有 下面的计算都是常规的，留给大家，本题的最后答案是 。现在我们

13、要介绍二重积分一般的坐标变换。这部分内容并不列入华理的教学大纲，但是，全国考研是包含的，经常有考题。所以我想还是化点时间，来推导一般变换的理论与方法。希望有志于考研的同学仔细体会，其中的思想，在三重积分和其他积分里也有类似的体现。先看一个例题。例16 ，其中由，所围成的区域。解：（先后）， 或（先后），用直角坐标系是无法积分的，若改用极坐标，计算也很繁杂（不过我仍然建议同学们自己独立做一遍）。我们这里采用一般的坐标变换。 令 ，那么有 ， (%)由此被积函数改写为 ，一点也不复杂。问题是积分变量由改成后，怎么处理平面上的二元微元？也就是在平面上与原来的是个什么关系？先来直观的看积分区域几何图形

14、。 如图所示，经过变量的代换（%），直线变成平面上的，变成了，而变成。所以平面上的三角形仍然保持三角形，但新的三角形变大了，面积是原来的2倍，所以，直观告诉我们，在新变量的“空间”，新微元与老微元之间有 ， 或者有 。我们现在就按这个关系来算题：记平面上的积分域为 。 你看，做了变量代换后，计算比较简单。 下面我们来从理论角度来推导一般变量代换的结果。考虑在变量“空间”里计算二重积分 。 假设做代换 ，则被积函数 。设其中的函数和关于变量都存在偏导数。平面上的积分区域，通过变换，变为平面上的新区域，这样，原积分中的微元，在变换的作用下，变成。下面要问：和之间到底存在什么定量关系？由变换的函数组

15、，在中去直线，其中为常数，则得到平面上的一条曲线，称它为（对应于的）曲线。同理，取（为常数）则在平面中得到一条（对应于的）曲线。当取一系列常数（，）时，在平面上画出一组直线网格，而对应的曲线和曲线在平面上画出对应的曲线网格！ 又设变换对于中的任一点，其Jacobi行列式非零，即，因此由隐函数存在定理，变换使中的点与中的点之间存在一一对应的关系。现设 平面上分别用平行于两轴的直线族对区域作任意分划，分成若干个小矩形。取其中一个小矩形，其4个顶点的坐标分别为：，；且面积为 。在看通过变换，将区域映射到在平面上的，小矩形映射为小曲边四边形 （是曲边四边形，而非直边四边形！），其相应的顶点坐标为： ，

16、 ，且 记小曲边四边形的面积为。 因为 ， 所以， ， ；同理， 。由于是连续变换，当和足够小时，曲边四边形的面积，与直边四边形的面积之相差一个高阶无穷小量，我们就可以用直边四边形的面积来近似平行四边形的面积。这样，小曲边四边形的面积，可近似看作以向量和向量为一组邻边的平行四边形的面积， 即当和足够小时， （你可以想一下，如果不重要处理，在上，这个小曲边四边形的面积还真不太好计算啊！）现在我们来计算。（目的是求出它与的关系！） ；同理， 。故 ，由此即得 ， （）其中 记号表示变量关于变量的Jacobi行列式，常记为 ，此行列式的值可正可负，但取绝对值号后，必正。现在取的极限，则()成为 。这

17、就是一开始我们要寻找的问题：“和之间到底存在什么定量关系？”的答案！例如，对于平面上的极坐标变换 ，则 ，所以在极坐标系里，面积微元 。我们在课堂上讲时，是用几何图形近似表示的，虽然直观但不严密。我个人希望见到严密的结论，而不是仅仅知道结论。下面来做题。先重做例16.例16 ，其中由，所围成的区域。解二：前面我们已经用极坐标系解过了。现在用一般的变量代换。 设 ，则 ，故 ，时，对应于 ；时，对应于 ； 时，对应于 。 故在平面上的积分域 ，这样有 。不知你的感觉如何？例17 计算 ，其中。（例8）解三： 设，故， 故 ， 。当时，； 当时，； 当时，。 ， ， 。例18 做适当的坐标变换，计

18、算 ，由 所围成的在第一象限的区域。解：本题的积分区域由2条双曲线和2条直线所围成，这样的区域若用直角坐标来计算，十分麻烦。故用特殊变换。令 ，则有 ； ； 。这样通过此非线性变换，将平面上的复杂区域变成了平面上的矩形区域，即在平面上，积分区域是由所围成的区域，此时的Jacobi行列式为 ，在这里，我们要提醒大家，上面的行列式不便于计算，所以我们常通过计算来得到，（它们成倒数关系）：（当然也可解出来直接计算）， 故 。于是， ，这样， 。例19 求曲线 所围成的图形的面积（）解：记曲线所围区域为，根据二重积分的几何意义，所求的图形面积为 。若能将区域用直角坐标表示出来，就可进行累次积分。本题的

19、曲线比较复杂，考虑通过变量代换来化简之。采用所谓“广义极坐标”变换： ，那么变量就变为极坐标 。这个变换的Jacobi行列式为 。又曲线在广义极坐标下的形式为 ，即为 ，故曲线的广义极坐标下的方程为 。 （极径非负）要保证有意义，应有 。这样须有 和。当时，； 当时，。所以，曲线图形在时与在时为中心对称。故所求面积等于在时的2倍。记在时的积分区域为记在则所求面积 。 本题如果不用“广义极坐标变换”，也许很难做。练习题9 利用二重积分计算下列曲线所围成的图形的面积： （1）； （2）。例20 计算， 其中。解：本题的积分区域很简单，是个单位圆域，但被积函数不简单，还有绝对值号。所以先弄清楚被积函

20、数是什么图形，很重要。只有这样，才能与积分区域统一处理。如果被积函数为，则 ，我们容易知道： 时，在圆心在，半径为的圆内（含边界）， 时，点在圆心在，半径为的圆外。但现在我们面临的是 。故先作变量代换： ， （大家以后学习了线性代数，会知道这是作一个旋转变换，逆时针方向转动）则 ，这就是说，做了旋转变换后，被积圆域仍然变为一个圆域，且半径不变。于是，原积分 。 （&）函数 ，我们现在平面上画出2个圆，一个是被积区域的边界 ，另一个是被积函数表示的圆：。这样就容易求解新的二重积分（&）：当时，即时，在平面上，点位于图中的小圆内（含边界）；小圆的圆心，半径为。当时，点位于图中的小圆外，同时在大圆内

21、（含边界）。这样，。 由于这3个子区域的表达式不难写出，积分也不难，所以，下面的工作就留给大家。 本题的最后答案等于 。练习题10 设积分区域为，求。（可用多种方法）练习题11 （江苏省高等数学竞赛题）计算 ，其中由曲线 与所围成的区域，为正实数。练习题12 计算 ，其中由椭圆所围成。 最后，我们做些证明题。例21 设函数在上连续，且。证明：。证明：已知条件很简单，只提供一个连续函数的定积分的值，要证明的是二重积分的值。如何下手？也大概是很多同学很纠结的事：如何形成对证明题的思路？当然，这是一个无法用一句话来讲清楚的“难问题”，证明题五花八门，没有一个确定的规则。不过，充分用好已知条件，并弄清

22、要证明的结论，找到两者的关系，我想是做证明题的一个“宝典”。从这个意义上说，证明题有时比计算题“容易”做，毕竟有需要证明的“目标”。这里还要强调基本概念的重要性，你如果连基本概念都没有数，哪里还能形成思路呢？ 对本题，要证明二重积分等于定积分的平方，那么将二重积分化为2个定积分的积，这样就能利用已知条件，这是一个容易想到的思路。我们就按这个思路走下去。先看二重积分的积分区域，这是一个三角形区域的“先后”的次序，也可以改变为 。我们就可以利用同一区域的两种表示法来处理同一个积分。 （积分区域改写为，也即改变积分次序） （二重积分的值与积分变量记号无关） 。 这意味着和表示的是同一件事，我们把它们

23、相加： （至此，右边表示的已经是2个定积分的乘积了，既定的思路马上可以实现！） （这里我们又一次利用积分值与被积变量的记号无关的性质） 则 。例22 若函数，在上连续，证明：。证明：这个式子称为Cauchy-Schwarts不等式，是高等数学领域内的基本不等式，它有几个不同形式，当对象不是函数而是向量，则有： 。简单些，如果取为3，则 ，可以看到左边是两个向量的内积的平方，右边是2个行列的模的平方的乘积。有感觉吗？现在我们要证明的对象是函数，函数可看为无穷维的向量，故可看为两个函数在上的“内积”，而则可看为此向量的“模”的平方。下面考虑如何证明这个函数版的C-S不等式。首先此不等式是关于定积分

24、形式的。正如我们在前面证明 Poisssion积分 时，利用了二重积分的计算特点，现在我们也要这么做。基本出发点是：在任何情况下，也就是 。取积分区域为 ，则根据二重积分的性质，有 （至此，我们要利用积分值与被积变量的记号无关的性质） ，至此，移项即得 。这正是我们要证明的。例23 如果函数在上连续，证明：。证一：根据积分值与积分变量的记号无关的性质， ，其中 。同理有 ，故将两式的两边同时相加： 即有 。证二：如果条件充许函数在上恒正，则可以直接利用C-S不等式。 令，由C-S不等式 ，得 。所以，证二更简洁。例24 计算极限 。解：大家已经好久与极限没有见面了，也许有些生疏。回想一下，我曾在上学期多次提醒，处理极限问题的第一件事是：判别极限的类型。现在我们面对的是个什么类型呢？这个极限是在的过程中发生的。当时，分母趋近于零，而分子呢？首先积分域（圆域）因半径趋于零而缩小为零，所以，整个二重积分也趋于零。所以这个极限属于未定型。我们马上想到了Lhostipal法则，要求导数