流体力学第四章B4- 积分形式基本方程

1、Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程1B4 B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程输运公式输运公式伯努利方程伯努利方程连续性方程连续性方程动量方程动量方程能量方程能量方程动量矩方程动量矩方程固定控制体固定控制体运动控制体运动控制体固定控制体固定控制体匀速运动控制体匀速运动控制体固定控制体固定控制体旋转控制体旋转控制体系统导数系统导数固定控制体固定控制体Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程2系统系统-包含确定流体介质的集合包含确定流体介质的集合, ,无质量交换有能量

2、交换无质量交换有能量交换VVNVVM系统的质量系统的质量VVvKvVoVvrMvr系统的动量系统的动量系统的动量距系统的动量距是单位体积的物理量是单位体积的物理量VVV1系统的体积系统的体积控制体控制体-流体流过的流体流过的固定固定边界边界包含的体积包含的体积控制面控制面-固定固定边界边界构成的面构成的面,有质量交换有能量交换有质量交换有能量交换引言Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程3系统广延量系统广延量控制体广延量控制体广延量 dtNsys dtNCVCVB4.1 B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数 输运公式输运公

3、式CSCVsysdAdtDtDNnv 系统广延量的导数，称为系统导数。系统广延量的导数，称为系统导数。控制体广延量随时间变化率控制体广延量随时间变化率, , 称为当地变化率称为当地变化率 ；当流场定常时为零。；当流场定常时为零。通过控制面净流出的广延量流量通过控制面净流出的广延量流量, , 称为迁移变化率称为迁移变化率 ；当流场均匀时为零。；当流场均匀时为零。 输运公式计算取决于控制体输运公式计算取决于控制体(面面)的选择的选择Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程4t t时刻界面时刻界面S S，体积，体积体积体积(t+t(t+t)

4、 )tvnS S S S (t+t)1212)(ttVdtrtN),()(t+tt+t时刻界面时刻界面S S),(),(1lim)()(0ttttVdtrdttrtddtd),(),(),(1lim)(0dttrdtrttrtddtdttV21IIddtdV12Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程5dtrttrtIt),(),(1lim01tdSvdndtI1SntttdSvttrtdttrtI),(1lim),(1lim00212t t时刻界面时刻界面S S，体积，体积体积体积(t+t(t+t) )tvnS S S S (t+t

5、)12t+tt+t时刻界面时刻界面S SS1S2SSS1222),(),(SntdSvttrdttr11),(),(SntdSvttrdttr211212),(SSntdSvttrddd物理量流量物理量流量AVVdAnvdVtdVdtdFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程6)V(uVtVdtdDtDIVVVVVVVV)u(VtV)uu(VtDtDIAVVdA)u(ndVtdVdtdAVdA)u(ndV)u(高斯公式高斯公式n替替换换为为输运公式输运公式)V(udtrd)V(dtVdV)u(VVVVuV)u()V(u)V(uBut)

6、t , z , y, x(BB)ut(dtdB质量守恒rd)V(Vdrd)f(dfFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程7t t时刻界面时刻界面S S，体积，体积体积体积(t+t(t+t) )tvnS S S S (t+t)12t+tt+t时刻界面时刻界面S S)(01),(),(1limtttdtrttrtItdSvdndtI1SntttdSvttrtdttrtI),(1lim),(1lim00221IIddtdV物理量流量物理量流量 SdSnvdtddtdSndSvtrI),(212S1S2动坐标系的输运公式动坐标系的输运公式F

7、luid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程8输运公式输运公式VVM系统质量系统质量 的随体的随体导数导数VVvK系统动量系统动量 的随体导数的随体导数物理量流量物理量流量AVVdAnvdVtdVdtd质量流量质量流量AVVdAnvdVtdVdtdAVVdA)nv(vdVtvdVvdtd动量流量动量流量系统体积系统体积 的随体的随体导数导数VVV体积流量体积流量AVdAnvdVdtdFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程9B4.2 B4.2 积分形式的连续性方程积分形式的连续性方

8、程CVCSddA0tv nB4.2.1 B4.2.1 固体的控制体固体的控制体上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控制体内流体质上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控制体内流体质量量 随时间的减少率。随时间的减少率。 输运公式可用于任何分布函数输运公式可用于任何分布函数 ，如密度分布、动量分布、，如密度分布、动量分布、能量分布等。能量分布等。 令令 ，由系统的质量不变可得连续性方程，由系统的质量不变可得连续性方程 对固定的对固定的CVCV，积分形式的连续性方程可化为，积分形式的连续性方程可化为CSCV()dAdtv nFluid Mechanics and MachineryB4 积分

9、形式的基本方程积分形式的基本方程10VVM系统质量系统质量 的随体的随体导数导数质量流量质量流量AVVdAvndVtdVdtd连续性方程连续性方程VAdV)v(dAvn0VVVVdV)vt(dVvdVtdVdtd高斯公式高斯公式n替换替换0vt质量流量质量流量Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程11111AAdAudAnu1u流进面流进面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法线线方方向向n1nAB流进面流进面11111ununuu流出面流出面22222ununuuinAAoutQdAudAnuQ2221.1.沿流管的定常流动

10、沿流管的定常流动 0AdAnv0AVVdAnvdVtdVdtd021AAAdAnvdAnvdAnv11AindAuQFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程12111AAdAudAnu1u流进面流进面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法线线方方向向n1nAB流进面流进面11111ununuu流出面流出面22222ununuuinAAoutmdAudAnum2221.1.沿流管的定常流动沿流管的定常流动 0AdAnv021AAAdAnvdAnvdAnv11AindAuminoutmvAvAm111222Fluid Mechani

11、cs and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程13设出入口截面上的质流量大小为设出入口截面上的质流量大小为 inVAoutVAQQ inout)()(1.1.沿流管的定常流动沿流管的定常流动 AVm 一般式一般式 nioutmm 有多个出入口有多个出入口 inoutVAVA)()(2.2.沿流管的不可压缩流动沿流管的不可压缩流动 设出入口截面上的体积流量大小为设出入口截面上的体积流量大小为 VAQ 一般式一般式 有多个出入口有多个出入口 Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程14 例例B4.2.1 B4.

12、2.1 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程 已知已知: : 所有管截面均为圆形所有管截面均为圆形, ,d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm,平均流量分别为平均流量分别为Q1=6 l/min, Q 3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q 5= 0.78Q1 求：求： Q2 及各管的平均速度及各管的平均速度 解：解： 取图中虚线所示控制体，有多个出入口。取图中虚线所示控制体，有多个出入口。血液按不可压缩流体处理血液按不可压缩流体处理 可得可得Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 +

13、 Q 5 Q2 = Q 1(Q 3 + Q 4 + Q 5）= Q 1(0.07+0.04+0.78)Q = 0.11Q1= 0.66 l / min inoutQQFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程15各管的平均速度为各管的平均速度为 例例B4.2.1 B4.2.1 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程 20.4cm/s602.5100064422111dQVcm/s8.0600.8100060.044422444dQV24.8cm/s602.0100060.784422555dQV18

14、.2cm/s600.7100060.074422333dQV11.6cm/s601.110000.664422222dQVQ1=6 l/min1升=0.001立方米=1立方分米=1000立方厘米Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程16B4.2.2 B4.2.2 运动的控制体运动的控制体 将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度改成相对速度速度改成相对速度vr对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时 CVCS0dAdt

15、)nvr(inoutAV(AV(rr)上式中上式中 ，vr 分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。 Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程17 例例B4.2.1b B4.2.1b 变水位孔口出流：随时间变化的控制体变水位孔口出流：随时间变化的控制体已知圆柱型水箱已知圆柱型水箱, ,D=1m, d=0.1m, 放水前水深放水前水深H=1m, 假假设孔口出流速度为设孔口出流速度为v2=2gh?, h(t)为任意时刻的水深。DdhvH求孔口打开至水放空所需时间求孔口打开至水放空所需

16、时间T T0AVdAnvdtdtdhAhAtdtDDVdAvAdAnv020ghAdtdhAvAdtdhAdDdDhHdDtdDghdhAAdttghdhAAdt220)(22hHAgAtdDsdgHDAgHATdD2 .45222222放空放空h=04/2dAd4/2DADFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程18 例例B4.2.2 B4.2.2 圆管入口段流动：速度廓线变化圆管入口段流动：速度廓线变化 已知已知: : 不可压缩粘性流体以速度不可压缩粘性流体以速度U流入半径流入半径R的圆管的圆管, ,圆截面上的速度廓圆截面上的速度

17、廓 线线, 不断发展至指数形式分布不断发展至指数形式分布(湍流湍流)并不再变化称为充分发展流动。并不再变化称为充分发展流动。求：求： 充分发展流动的速度廓线表达式充分发展流动的速度廓线表达式解：解： 设设充分发展流动的速度廓线为充分发展流动的速度廓线为 指数形式指数形式式中式中um为管轴上的最大速度，在定常流动中为常数，通常取为管轴上的最大速度，在定常流动中为常数，通常取 n=1/7-1/10. .由连续性方程由连续性方程: : (b)式左端式左端=R 2U, (b)式右端式右端= = rRrrRunR0nnmd)(1)(2R0nmArr2)Rr(1uAUdd(b)(n21,n)Rr(1uum

18、(a)URFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程19 例例B4.2.2 B4.2.2 圆管入口段流动：速度廓线变化圆管入口段流动：速度廓线变化 由积分公式可得由积分公式可得取取 n=1/7时时R0R01nR01n1nR0nrRrRrr1n1Rrr1n1rRrrd)()()d(d)(2)1)(1)()(2)1)(1nnRRrnn2n2nR02n由由(b)式可得式可得 2)1)(1)(2nnRuUR222nm2UUUum1.22477215822)711)(71(或或 U = 0.8167 u m Unnum22)1)(Fluid Me

19、chanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程20B4.3 B4.3 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用伯努利方程的推导：伯努利方程的推导： 由一维欧拉运动方程沿流线积分由一维欧拉运动方程沿流线积分伯努利方程的限制条件：伯努利方程的限制条件：(3) 定常流动定常流动伯努利（伯努利（D.Bernouli 1700D.Bernouli 170017821782）方程的提出和意义）方程的提出和意义(2) 不可压缩流体不可压缩流体(1) 无粘性流体无粘性流体(4) 只有重力只有重力Cpgzu221Cpgzu221Fluid Mechanics and Machi

20、neryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程21加速度的变体 xuuxuuxuuxuuuuuzzyyxxzyx2222221;)()()( 22zuuyuuxuuxuuxuzuuyuxuuuuuuxzxyzzyyzxzxyyyzzyzyzyzyzyxzxyxxuuxuxuuxuuxuu22122 uFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程22zyzyxzxyxxuuxuxuuxuuxuu2212zyzyxxzxyxxxuuxutuxuuxuuxuutu2212uuuxuuxuuxuuzyx221uuuuu221uuutuuutu

21、221Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程23欧拉方程可化为葛罗米柯方程（欧拉方程的另一种形式）： pfuuutudtud221uuutuuutudtud221pfdtud葛罗米柯方程kzWjyWixWWfPpP压力函数dprdpPW势函数rdfWuu)PWu(tu221Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程24理想流体微分方程的积分 uu)PWu(tu221恒定流时 0ut葛罗米柯方程方程可化为葛罗米柯方程方程可化为： uu)PWu(221uus流线切线方向0212)

22、uu(uu)PWu(s沿流线0212)PWu(s)n(CPWu221伯努利方程Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程252 urd)u()PWu(rd2212uuu)PWu(2212Kuuudzdydxrd)u()PWu(dyyxzyx222212)k(CPWu221K=0,伯努力方程P压力函数pP,const,dprdpPW势函数gzW,kgf ,rdfW)k(Cpgzu221伯努力方程化为当质量力只有当质量力只有重重力力时，对时，对理想理想、不可压缩定常不可压缩定常流流体有伯努利方程体有伯努利方程Fluid Mechanics

23、and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程26行列式为零的情况 静止流体： ，得到静力学基本方程0 xyzuuupzCyyxzyxuuudzdydxK)k(Cpgzu2210 xyz 无旋流动：xyzdxdydzuuu 流 线：xyzdxdydz 涡线：yxzxyzuuu 螺旋运动?：Cpgzu221 无旋流动无旋流动伯努利方程伯努利方程 处处成立处处成立Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程27流线方向的速度压强关系ssmaF svvtvdt)t , s(dvas切向加速度ssaAcossAA)sspp(

24、Apszszcos几何关系)svtv()svvtv(szsp221)n(fdstvvzp221定常流动定常流动npvssppszxyGzs0212tvsvszp)n(fvzp221Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程28元流伯努利方程的应用毕托管测速仪 滞止点滞止点（驻点驻点）1 1：速度为零，压力最大速度为零，压力最大222221112121ugpzugpz0121uzzghu22 为经实验校正的流速系数，为经实验校正的流速系数，它与管的构造和加工情况有关，它与管的构造和加工情况有关，其值近似等于其值近似等于1 1。ghu2实际

25、流速实际流速h11p2ph1p2p2u01u/01111phpphpaa/02222phpphpaaghppgu2)(22122Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程29zxMNpMPNp0phxpp0MhzxppmNhzppm0等压面等压面， pM= pN0BAzzzhppm0hhpp11mm0 例例B4.3.1 B4.3.1 毕托测速管毕托测速管 Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程30已知已知: : 设毕托管正前方的流速保持为设毕托管正前方的流速保持为v, ,静压

26、强为静压强为p, ,流体密度为流体密度为, ,U 形管中形管中液体密度液体密度m . . 求：求： 用液位差用液位差h表示流速表示流速v 例例B4.3.1 B4.3.1 毕托测速管毕托测速管 220002212121BBBAvgpzugpzvgpzBAzzz0AOB线是一条流线线是一条流线(常称为零流线常称为零流线),2022121BBvgppvgpppvvBB2021vpphgppm)(0k 称为毕托管系数。称为毕托管系数。hgkvm2) 1(hgkvppm)?(?2120总压总压= =静压静压+ +动压动压Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积

27、分形式的基本方程31B4.3.2 B4.3.2 沿总流的伯努利方程沿总流的伯努利方程单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒pgzdnRv2常数常数( (沿流线法线方向沿流线法线方向) ) 惯性离心力做功惯性离心力做功重力势能重力势能压强势能压强势能2. 2. 理想流体沿总流的伯努利方程理想流体沿总流的伯努利方程pgzV22常数常数 ( (沿流束沿流束) ) 上式中上式中V V为总流截面上的平均速度，为总流截面上的平均速度， 为动能修正因子（通常取为动能修正因子（通常取 ） 1实际流体的总流伯努力方程实际流体的总流伯努力方程：21222222111122lh

28、gvpzgvpzFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程32npCvRnnppszxyznG流线主法线方向的速度压强关系流线主法线方向的速度压强关系Rvan2向心加速度向心加速度RvnAcosnAA)nnpp(Ap2nznzcos几何关系Rvnznp2)s(fdngRpz2v渐变流动渐变流动)s(fzpp+z垂直于流线的断面上不变垂直于流线的断面上不变nnmaF Rnp2v忽略重力0v2nRpppOutinpoutpinOutinpp Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程

29、33恒定总流伯努利方程 渐变流渐变流及其性质及其性质 均匀流均匀流的流线是相互的流线是相互平行的直线平行的直线，过流断面是，过流断面是平面平面。许。许多流动情况虽然不是严格的均匀流，但多流动情况虽然不是严格的均匀流，但接近接近于均匀流，这种于均匀流，这种流动称为流动称为渐变流动渐变流动。渐变流的流线。渐变流的流线近乎近乎平行直线，流速沿流平行直线，流速沿流向变化小，可忽略不计，过流断面可向变化小，可忽略不计，过流断面可认为认为是平面。是平面。Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程3421222221112121lhvgpzvgpz考

30、虑粘性效应的伯努力方程考虑粘性效应的伯努力方程Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程35总流伯努力方程总流伯努力方程总流伯努力方程可由元流伯努力方程积分得到总流伯努力方程可由元流伯努力方程积分得到12221122121 222lAApupuzdQzdQhdQgg式中包含三类积分式中包含三类积分：（a）势能积分势能积分 ApzdQAppzdQzQ取渐变流断面取渐变流断面，则则：dQdQ)hugpz()ugpz(l21222221112121B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义)s(fdngRpz2v

31、Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程36引入断面平均流速及引入断面平均流速及动能修正系数动能修正系数1 取决于断面取决于断面上流速的分布，上流速的分布， 通常取通常取（c）损失积分损失积分 1 2lh 引入引入 来表示单位时间单位重量流体由来表示单位时间单位重量流体由1-11-1断面断面到到2-22-2断面的断面的平均平均机械能损失，称为机械能损失，称为总流水头损失总流水头损失1 21 2llhdQhQAudAAQvAAdAuAv33（b）动能流量动能流量 AAAdAudQudQug322212121AvdAuQvdAuQvdQu

32、QvdQuAAAgAg3333221221221221QvgdQugA22221B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程37)s(fpzhugpzugpzl2122222111212112221122121 222lAApupuzdQzdQhdQgg将上述三类积分带入原积分式，则得到总流伯努力方程将上述三类积分带入原积分式，则得到总流伯努力方程：QhQgvQ)pz(QgvQ)pz(l2122222211112221222222111122lhgvpzgvpzB4.

33、3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程38总流伯努力方程的适用条件 恒定流； 不可压缩流体； 质量力只有重力； 渐变流过流断面； 无分流和合流； 无能量的输入输出。2211 1212121 222lppzzhggB4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义lhggpzHggpz2222222m21111vv有能量输入或输出的有能量输入或输出的 伯努利方程伯努利方程Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本

34、方程积分形式的基本方程39总流伯努力方程的意义总流伯努力方程的意义 总流伯努力方程的几何意义和物理意义在总流伯努力方程的几何意义和物理意义在“平均平均”的意义下的意义下同元流伯努力方程相同，即：同元流伯努力方程相同，即：22pzg、 、 各项分别代表总流过流断面上某点各项分别代表总流过流断面上某点单位重量单位重量流体的流体的势能势能、压能压能及及动能动能；1 2lh 代表代表单位重量单位重量流体由流体由 1-1 1-1 断面到断面到 2-2 2-2 断面的断面的平均平均机械损失机械损失，称为，称为总流水头损失总流水头损失。pzHp 代表流过流断面上某点代表流过流断面上某点单位重量单位重量流体的

35、流体的总平均势能总平均势能gvpzH22 代表流过流断面上某点代表流过流断面上某点单位重量单位重量流体的流体的总平均机械能总平均机械能；B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程40总流伯努力方程的几何表示总流伯努力方程的几何表示水力坡度定义水力坡度定义 0J 理想流体： ，总水头线沿程不变；0J 实际流体： ，总水头线沿程下降。lhlHHJl21平均平均dshddsdHJl测压管水头线测压管水头线H Hp p坡度dsdHJppFluid Mechanics and

36、 MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程41pzHpgvpzH221pg221v11zpzg22v2p2zg222v21vv2v测压管水头线测压管水头线Hp总水头线总水头线H水流轴水流轴线线HHp水头损失水头损失hl总流伯努力方程的几何表示总流伯努力方程的几何表示水力坡度定义水力坡度定义 dshddsdHJl测压管水头线测压管水头线H Hp p坡度dsdHJppB4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程42 例例B4.3.1 B4.3.1 小孔

37、出流：托里拆里公式及缩颈效应小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应 已知已知: : 图示一敞口贮水箱图示一敞口贮水箱, ,孔与液面的垂直距离为孔与液面的垂直距离为h( (淹深淹深).).设水位保持不变设水位保持不变. . 求：求： (1)(1)出流速度出流速度v(1)(1)设流动符合不可压缩无粘性设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件流体定常流动条件. .解：解：(2)(2)出流流量出流流量Q从自由液面上任选一点从自由液面上任选一点1 1画一条画一条流线到小孔流线到小孔2 2，并列伯努利方程，并列伯努利方程 2222112122pgzvpgzvFluid Mechanics and Machine

38、ryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程43 例例B4.3.1 B4.3.1 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应 讨论讨论1 1：(b)式称为托里拆里式称为托里拆里( (ETomcelli,1644)公式公式, ,形式上与初始速度为形式上与初始速度为零的自由落体运动一样零的自由落体运动一样. .(b)式也适用于水箱侧壁平行于液面的狭式也适用于水箱侧壁平行于液面的狭缝出流。缝出流。 (2)(2)在小孔出口在小孔出口, ,发生缩颈效应发生缩颈效应. .设缩颈处的截面积为设缩颈处的截面积为A e, ,缩颈系数缩颈系数 小孔出流量小孔出流量液面的速度可近似取为零液面

39、的速度可近似取为零v1= 0，液面和孔口外均为大气压强，液面和孔口外均为大气压强p1= p2=pa = 0( (表压表压) )，由，由(a)式可得式可得ghzzgvv2)(2212AAeghAAvvAQe22222112122pgzvpgzvFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程44 例例B4.3.1 B4.3.1 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应 讨论讨论2 2：上述各式均只适用于小孔情况上述各式均只适用于小孔情况( (孔直径孔直径d0.1h),),对大孔口对大孔口( (d 0.1h) )应考虑速度

40、不均匀分布的影响。应考虑速度不均匀分布的影响。 收缩系数收缩系数与孔口边缘状况有关：与孔口边缘状况有关：实际孔口出流应乘上一修正系数实际孔口出流应乘上一修正系数 k 1 上式中上式中= k, ,称为流量修正系数，由实验测定。称为流量修正系数，由实验测定。 ghAghAkAkvkvAQe22内伸管内伸管= 0.5 0.5, ,流线型圆弧边流线型圆弧边=1.0.锐角边锐角边= 0.61, ,AAeghAAvvAQe2Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程45 例例B4.3.1-b B4.3.1-b 三角堰流量计三角堰流量计 hzbdz2

41、)(2tgzhb微元bdz面上的速度gzvgzv2212微元条的宽度bdzzhgztgbdzgzvdAdQ)(2222通过微元条的流量dQhdzzhgztgQ0)(222流量Q)5232()(25232321zhzdzzhzhdzzhztggQ0)(2222525)(22158hfQhtggQzFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程46z2zz1z2Ol 例例B4.3.4 UB4.3.4 U形管振荡形管振荡 初始时刻，液位差初始时刻，液位差2h,2h,然后在重力作用下振然后在重力作用下振荡，求振荡方程荡，求振荡方程 21222211

42、2122dstvpgzvpgzvv1=v2 =v(t)ldtdvdstv21p1=p2 =paz z1 1=-z;z=-z;z2 2 =z =z0202zlgdtdvgzldtdvdtdzv 0222zlgdtzd0;, 0vhzt)2cos(tlgAz)2sin(2tlglgAdtdzv0;hA)2sin(2tlglghdtdzvlgthtlghz2)cos()2cos(Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程47npCvRnnppszxyznG流线主法线方向的速度压强关系流线主法线方向的速度压强关系Rvan2向心加速度向心加速度R

43、vnAcosnAA)nnpp(Ap2nznzcos几何关系Rvnznp2)s(fdngRpz2v渐变流动渐变流动)s(fzpp+z垂直于流线的断面上不变垂直于流线的断面上不变nnmaF Rnp2v忽略重力0v2nRpppOutinpoutpinOutinpp Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程48B4.3.2 B4.3.2 沿总流的伯努利方程沿总流的伯努利方程单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒pgzdnRv2常数常数( (沿流线法线方向沿流线法线方向) ) 惯性离心力做功惯性离心力做功重

44、力势能重力势能压强势能压强势能2. 2. 理想流体沿总流的伯努利方程理想流体沿总流的伯努利方程pgzV22常数常数 ( (沿流束沿流束) ) 上式中上式中V V为总流截面上的平均速度，为总流截面上的平均速度， 为动能修正因子（通常取为动能修正因子（通常取 ） 1实际流体的总流伯努力方程实际流体的总流伯努力方程：21222222111122lhgvpzgvpzFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程49沿流束的水头形式沿流束的水头形式pgzvdstv22常数常数沿流线的不可压缩流体不定常流沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程欧拉运动

45、方程dltVggpz2gVgpz2gV2222211211211( (沿流束沿流束) )B4.3.4 B4.3.4 不定常伯努利方程不定常伯努利方程沿流线从位置沿流线从位置1积分到位置积分到位置2212222112122dstvpgzvpgzv( (沿流束沿流束) )不定常惯性力作功不定常惯性力作功Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程50pzHpgvpzH221pg221v11zpzg22v2p2zg222v21vv2v测压管水头线测压管水头线Hp总水头线总水头线H水流轴水流轴线线HHp水头损失水头损失hl总流伯努力方程的几何表示

46、总流伯努力方程的几何表示水力坡度定义水力坡度定义 dshddsdHJl测压管水头线测压管水头线H Hp p坡度dsdHJppB4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程51元流伯努利方程的应用毕托管测速仪 滞止点滞止点（驻点驻点）1 1：速度为零，压力最大速度为零，压力最大222221112121ugpzugpz0121uzzghu22 为经实验校正的流速系数，为经实验校正的流速系数，它与管的构造和加工情况有关，它与管的构造和加工情况有关，其值近似等于其值近似等于1

47、1。ghu2实际流速实际流速h11p2ph1p2p2u01u/01111phpphpaa/02222phpphpaaghppgu2)(22122Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程52已知已知: : 设毕托管正前方的流速保持为设毕托管正前方的流速保持为v, ,静压强为静压强为p, ,流体密度为流体密度为, ,U 形管中形管中液体密度液体密度m . . 求：求： 用液位差用液位差h表示流速表示流速v 例例B4.3.1 B4.3.1 毕托测速管毕托测速管 220002212121BBBAvgpzugpzvgpzBAzzz0AOB线是一

48、条流线线是一条流线(常称为零流线常称为零流线),2022121BBvgppvgpppvvBB2021vpphgppm)(0k 称为毕托管系数。称为毕托管系数。hgkvm2) 1(hgkvppm)?(?2120总压总压= =静压静压+ +动压动压Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程53【例【例4.3.24.3.2】 总流伯努力方程的应用总流伯努力方程的应用文丘里流量计文丘里流量计 由渐缩、喉管、由渐缩、喉管、渐扩三段组成渐扩三段组成。进口直径进口直径 d1 =100mm，喉管直径喉管直径 d2 = 50mm，测压管水头差测压管水头差

49、 h = 0.6m或或水银差压计液面差水银差压计液面差 hm= 4.76cm），），流量系数流量系数=0.98，试求输水流量试求输水流量。2211A?A?vvQFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程54001122hhmz1z2mabxz =za-zbxhpp0axzpp0bzhppbabazzzh)pz()pz(bbaa11aapzpz22bbpzpzh)pz()pz(2211液柱式测压计Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程55bazzz11aapzpz22bbpzp

50、zmmmh.h)()pz()pz(61212211maMhxppmmbNhzxppmmbahzpp等压面等压面， pM= pN水银水银m=13.6z =za-zbM001122hhmz1z2mabxNmmbbaa1 h)()pz()pz(U型管型管压差计用于测量两点的压强差或测压管水头差压差计用于测量两点的压强差或测压管水头差Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程561.1.取基准面取基准面0-00-0；2.2.取计算断面取计算断面1-11-1，2-22-2；gpzgpz2222222111vv 伯努利方程伯努利方程001122hh

51、mz1z21v1p2v2p2211AAvvQ)(g)pz()pz(h2122221121vv 连续性方程连续性方程)AA(A)AA(hg111222121212222QQFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程57mmmh.h)()pz()pz(61212211h)pz()pz(2211)dd(gd)AA(gAKhK)AA(hgA12412124212122112211Q)(g)pz()pz(h2122221121vv )AA(A)AA(hg111222121212222QQK文丘里管系数hKhKh)(KhKmmQQ1hKhKh)(K

52、hKmmQQ1考虑到水头损失的影响，引入流量修正系数考虑到水头损失的影响，引入流量修正系数K K 取决于流量计取决于流量计的的结构尺寸结构尺寸Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程58流体系统的动量方程流体系统的动量方程FdVvdtddtdKVdAnvdQAVVdA)nv(vdVtvdVvdtddtdKAnVAVdApdVfdA)nv(vdVtvFdApdVfdAnvvAnVA)(流过控制面流过控制面A A的动量的动量流量流量= =合外力合外力FdQvdA)nv(vAA流体系统的动量输送公式流体系统的动量输送公式定常流定常流B4.4

53、 B4.4 积分形式的动量方程及其应用积分形式的动量方程及其应用Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程5921AAAdA)nu(udA)nu(udA)nu(uK流进面流进面11111ununuu流出面流出面22222ununuu21222121AAdAnudAnuK121212AAAAAAAAdA)nu(udQudQudQuB00dAnvdQnvAonB1u流进面流进面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法线线方方向向n1nABFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程

54、6021222211AAdAundAunKAudAAQvA平均流速平均流速动量修正系数动量修正系数AAdAuA)udA(Av222AvdAuA22取决于断面流速分布的不均匀性，一般取决于断面流速分布的不均匀性，一般 =1. 051.02， 仅当等速流仅当等速流 =1；通常取通常取 =1=1。 定义为定义为实际动量和按照平均流速计算的动量的比值实际动量和按照平均流速计算的动量的比值。AvdAuQvdAuQvudQAAA222Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程6121222211AAdAundAunK2222211211nAvnAv

55、K动量流量动量流量AvdAuA22111nvv222nvvQvAAv1122考虑到)vv(QvvAvAvK1122111122221u流进面流进面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法线线方方向向n1n动量力vQFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程62若总流两断面间有分流或合流，总流动量方程可为若总流两断面间有分流或合流，总流动量方程可为流过控制面流过控制面A A的动量的动量流量流量= =合外力合外力AnVdApdVfFvvQK)(1122流入流出)vQ()vQ(F流入流出流入流出)Av()Av(QQ对对不可压缩不可压缩流体

56、流体： 流入流出vQrvQrFr)()(Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程63动量方程的求解动量方程的求解 动量方程为动量方程为矢量矢量方程，求解时可写成在直角坐标系中方程，求解时可写成在直角坐标系中的的分量式分量式：221121AvAvQQcosvv)vv(QFxxxx1122cosvv)vv(QFyyyy1122cosvv)vv(QFzzzz112221222222111122lhggpzggpzvvFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程64有分流时动量方程的求解

57、有分流时动量方程的求解cosvv)vQvQvQ(Fxxxxx113322cosvv)vQvQvQ(Fyyyyy113322ggpzggpz2222222111vv332211321AvAvAvQQQggpzggpz2223332111vv1123 有分流的动量方程有分流的动量方程1-2( 1-3 )1-2( 1-3 )断面间的伯努利方程断面间的伯努利方程 有分流的连续性方程有分流的连续性方程Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程65【例例】水平水平输水弯管输水弯管。直径由直径由 D1 经经=转角变为转角变为D2 ;转弯前断转弯前断面

58、的表压强面的表压强 p1，输水流量输水流量Q ，不计水头损失，求水流对弯不计水头损失，求水流对弯管的作用力。管的作用力。112221vvcosQRcosFFx0222sinQRsinFyv111ApF 222ApF D1D21122xoyp1p2RyRx111ApF 222ApF 2A1v2v)vv(QFxxx1122)vv(QFyyy1122AbbAAAndApdApdApdAp2211AbbdApR0AadApAbabRdA)pp(表压强？表压强？表压强表压强Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程66112221vvcosQRc

59、osFFx0222sinQRsinFyv111ApF 222ApF 21114DQAQv22224DQAQvsin)QAp(Ry222v121cos)QAp(QApRx222111vvggpggp22222211vv2222112vv pp水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力大小相等方向相反水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力大小相等方向相反2222112121vvppFluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程67【例例】水平方向的射流水平方向的射流。流量流量Q ，击板流速击板流速v;水流在大气水流在大气中冲击光滑平板，射流轴线与平

60、板夹角为中冲击光滑平板，射流轴线与平板夹角为；求；求射流对平射流对平板的作用力；板的作用力；分流的流量分流的流量yx1v2v3v123123app 1app 2app 3ggpzggpz2222222111vvggpzggpz2223332111vvappppzzz321321vvvv321AbbAaaAndApdApdApAbabAaRdA)pp(dAp0AbabRdA)pp(Fluid Mechanics and MachineryB4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程68 有分流的动量方程有分流的动量方程流入流出)vQ()vQ(F1vyx2v3v123123QQ 12Q3QRyRx)