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文档简介

1、会计学1定积分的几何应用面积和弧长定积分的几何应用面积和弧长定积分的元素法元素法 一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 第1页/共29页表示为表示为niiixfU10)(lim1) 所求量所求量 U 是与区间是与区间a , b上的某分布上的某分布 f (x) 有关有关的的2) U 对区间对区间 a , b 具有具有可加性可加性 , 即可通过即可通过“分割分割, 近似代替近似代替, 求和求和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义定积分定义一个整体量一个整体量 ;第2页/共29页第一

2、步第一步 利用利用“分割分割 , 近似代替近似代替” 求出局部量的求出局部量的微分表达式微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用利用“ 求和求和 , 取极限取极限 ” 求出整体量的求出整体量的积分表达式积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法称为这种分析方法称为元素法元素法 (或或微元分析法微元分析法 )元素元素的几何形状常取为的几何形状常取为: 条条, 带带, 段段, 环环, 扇扇, 片片, 壳壳 等等近似值近似值精确值精确值第二节第二节 ( ) d(0(0)Uf xxdxdx第3页/共29页一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的

3、应用第4页/共29页ybxa)(2xfy )(1xfy O1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线设曲线)0()(xfy与直线与直线)(,babxax及及 x 轴所围曲轴所围曲则则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为右下图所示图形面积为 xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfy xxdxxxxdOO第5页/共29页22,xyxy在第一象限所围在第一象限所围图形的面积图形的面积 . 解解: 由由xy22xy 得交点得交点) 1, 1 ( , )0,0(2332x01331x31120()dAxxxxyOxy 22xy xxxd) 1 , 1

4、 (1O第6页/共29页Oxy224 xyxyxy22与直线与直线的面积的面积 . 解解: 由由xy224 xy得交点得交点)4,8( , )2,2()4,8(184 xy所围图形所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算为简便计算, 选取选取 y 作积分变量作积分变量,则有则有42122(4)dAyyyyyydO第7页/共29页ab12222byax解解: 利用对称性利用对称性 , xyAdd所围图形的面积所围图形的面积 . 有有axyA0d4利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin

5、(202dsin4ttbaba4212ba当当 a = b 时得圆面积公式时得圆面积公式xxxdxyO第8页/共29页yxabOabOyx)()(tytx给出时给出时, 按按顺时针方向顺时针方向规定起点和终点的参数值规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积则曲边梯形面积21d)()(tttttA)(1axt对应)(1bxt对应O第9页/共29页xya2O)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 .解解:ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a

6、20(1 cos )(1 cos )dAatattttad)cos1 (2022200(sin )2(sin )fx dxfx dxO第10页/共29页,0)(, ,)(C设求由曲线求由曲线)(r及及,射线围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 .)(r d在区间在区间,上任取小区间上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为d)(212A xOO第11页/共29页对应对应 从从 0 变变解解:)0(aardd)(212a20A22a331022334a到到 2 所围图形面积所围图形面积

7、. a2xOO第12页/共29页心形线心形线 xa2Ottadcos82042所围图形的所围图形的面积面积 . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性利用对称性)2t令28a43212223a心形线心形线O第13页/共29页xyaO2222yxaxayx即即)cos1 ( ar点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停 尖点尖点:)0,0( 面积面积:223 a 弧长弧长:a8参数的几何意义参数的几何意义第14页/共29页2coscos21)2cos1 (21aa2 xyO与圆与圆所围图形的面积所围图形的面积 . 解解:

8、 利用对称性利用对称性 ,)0()cos1 (aar所求面积所求面积ar d)cos1 (2122a2221aA 22221aad)2cos21cos223(2432122aa22245aa 2第15页/共29页a2sin2a所围图形面积所围图形面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积则所求面积为为42a思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2cos21462a4答案答案:4yxOO第16页/共29页定义定义: 若在

9、弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线 ,0M1iMiMnM当折线段的最当折线段的最大大边长边长 0 时时, 折线的长度之和趋向于一个确定的极限折线的长度之和趋向于一个确定的极限 ,则称此极限为曲线弧则称此极限为曲线弧 AB 的弧的弧长长 ,即即并称此曲线弧为可求长的并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的.( (证明略证明略) )ni 10limsOAByx第17页/共29页sdabyxO)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长因此所求弧长xysbad12xxfbad

10、)(1222)(d)(ddyxs第18页/共29页)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs第19页/共29页)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)第20页/共29页)ch(cxccxccsh1)(chbxbcxcy成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22eechxxx )(ch x2eeshxxx )(sh

11、 xxshxchcxbbOy下垂悬链线方程为第21页/共29页)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20( t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2第22页/共29页d222aa相应于 02一段的弧长 . 解解:)0(aard)()(d22rrsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aara2Oar 第23页/共29页1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程

12、参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A第24页/共29页1.用定积分表示图中阴影部分的面积用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长及边界长 s .提示提示: 交点为交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxO13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分弧线段部分直线段部直线段部分分)52ln()376ln(4155373s以以 x 为积分变量为积分变量 , 则要分则

13、要分两段积分两段积分, 故以故以 y 为积分变量为积分变量. 第25页/共29页解:解:2. 求曲线求曲线所围图形的面积所围图形的面积.1lnlnyx显然显然1ln,1lnyxOyxe1e1e11eee,ee11yxxln,ln x,ln xe1 x1e1xyln,ln y,ln ye1 y1e1y1e1x1e1y,e1xy中曲线为面积为面积为同理其他同理其他.e1yxxyeexy exyS1e1dx)e1(exx e1dx)ee(xx21e21e又又故在区域故在区域第26页/共29页分析曲线特点分析曲线特点) 1( xxyOyx解解:41)(221 x1A) 1( xxy与与 x 轴所围面积轴所围面积1101d) 1(xxxA61,0时2A12d) 1(xxxA,21AA 由612131

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