概率论第五章习题解答(全)

1、第五章习题解答1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为lOOh的指数分布，现随机地取16只, 设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和1920h的概率16解 设这16只元件的寿命为尤，21,2,16,则x = 2x“ i=i因为 =E(X) = & = 100 a2 = D(Xf)=护=1000016 16尤-处尤-16001 _ 碍&7100006尸是随机变量 Z =冋 L _=号,=近似的服从27(0,1)400”、尸 “、*一16001920-1600、*一1600 门。、1920= P = P0.8400400400=V 0.8 = 1-(0 8) = = 1-0.7

2、881 = 0.2119.4002(1) 一保险公司右10000个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美 元，标准差为800美元，求索赔总金额不超过2700000美元的概率：(2) 公司有50张签约保险单，每张保险单的索赔金额为Xy,50 (以T美元 计)服从韦布尔分布，均值E(XJ = 5方差D(A；) = 6求50张保险单索赔的合计总金额 大于300的概率。10000解 (1)设每个投保人索赔金额为尤，1=1,2,10000,则索赔总金额为X=2Xj：=i又 E(XJ = 280, D(J) = 8OO2 所以.索赔总金额不超过2700000美元的概率PX 2700000

3、= 1-PX 27000010000V A；-280x10000 台“ 2700000 - 2800000=1 - P800x1008000010000工尤-2800000=1 S80000 810000工尤 -2800000=1-P 2700000 = 1 一 0(-1.25) = 0(1.25) = 0.8944(2) PX 300 = 1 - PX 30050Y1 尤一 50x5=50工尤-50x55015 = l-P| |15 = 1-1515= 2(1-(去)=2(1-(1.34) =2(1-0.9099) = 0.1802.(2).记X二工要使 P|X|V10n090,由独立同分布

4、的中心极限定理, 1=1近似地有P| X|V1O= P10 X 10= 20.90(半=)0.95,查表得 0(1.64) = 0.95= 1.64 解得 n = 443 o即瑕篡可有443个数相加，可使得误差总和的绝对值小J： 10的概率不小f-0 90o4、设各零件的觅量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期垫为0 5kg. 均方为0 1kg,问5000只零件的总重鼠超过2510kg的概率是多少？解 设每只零件的重量为/ =1,2, -,5000,由独立同分布的中心极限定理知5000工疋-0.5x5000近似地服从N(0,l)75000x0.1则PX 2510 = !- P

5、X 25105000V -0.5x5000.=1-P;=1 2?10lj?00V5000x0.1y/505000= 1-P工尤-05x 5000000x0.1=1- D(-) = 1-0(1.414) =1-0 9207 = 0 0793。7.075、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m,现从这批木柱中随机地取 100根，求其中至少有30要短于3m的概率。解 把从这批木柱中随机地取一根看作一次试鉴，并假定各次试验相互独立，在100次试验中长度不小于3m的根数记作X,则X是随机变量X.且6(10008),其分布律为PX = lc= C爲0.8上 xON】00 , k = 0,1,2

6、, -,1OO所求的概率为 PX70由德莫弗一一拉普拉斯立理町求它的近似值PX7100x0.8x0.2J641-D(|) = 1 - 0.9938 = 0.0062。6、一工人修理一台机器要两个阶段，每一阶段需要时间(小时)服从均值为0二的指数分 布，第二阶段所需要的时间服从均值为0 3的指数分布，且与第一阶段独立。现有20台机 器需要修理，求他在8小时内完成任务的概率。解 设修理第2(1=1,2,20)台机器，第一阶段耗时尤，第二阶段为X，则共耗时为乙=尤+ X已知因为指数分布的数学期垫为&,方差俨，即E(XJ = 0.2, E() = 0.3 ,D(Z,) = 0.22, D() = 0.

7、32,又第一阶段和第二阶段是相互独立的，故E(ZJ = E(Xx + E) = Eg + E(Y) = 0.2 + 03 = 0.5D(Zt) = D(X： + X) =+ D(X)= 0.22 + 0.32 =0.1320台机器需要修理的时间由独立同分布的中心极限定理，20台机器需要维修的时间可认为 近似地服从正态分布，即20 20咛)20工乙一 20x0.5口 ,77(10,2.6)205/20x0.138 10而所求概率卩=口工乙0.8(是)a/2.6=1 -(1.24) = 1 - 0.8925 = 0.1075即不大可能在8小时内完成任务。(因为完成任务的可能性不到20%)7. 一家

8、食晶店有三种蛋糕出售，由于出售哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格 是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3, 0 2, 0.5。若售出 300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率。（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。解 设第!格为为尤（1=1,2,300 ）,其分布律X,11.21.5Pi0.3 0 20 5由此得() = 1x03 + 1.2x0.2 + 1.5x0.5 =1.29 (R卩平均收入)E(X) = 1 x 0.3 +1.44 x 0.2 + 2.25 x 0.5 =1.713D(Xt) =(eqq)2 二”口- (1.29)2

9、 = 0.0489300以X表示总收入，即x = 2x“由独立同分布中心极限定理，得300300工 X、-300x1.29 工 Xx - 387300x0.0489E- *1( 27(387,14.67)V14.67则收入超过400元的概率为300300400 = 1-卩乙 V400i=ii=i300V -387 亠詁严譽7 14.67J14.67= 1-D(400-387J14.67=1 ( 1)= 1 0(3.39)3.83= 1-0.9997 = 0.0003 o(2)以Y记300只蛋糕中售价为1.2尤的蛋糕数，是y 6(300,0.2), F(r)= 300x0.2 = 60 (出售这

10、种蛋糕的平均只数),D（y）= 300x0.2x0.8 = 4.8 （二项分布的方差）侈出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率为Py 60 = l-P7 35 = 1-PXS5_ _ 叫 X-100x0.9 ( ) = () = 0(1.67) = 0.9525(2)设观察每个部件是否损坏为一次试验，记损坏的部件数为X,则X是一个随机 变量，且Xb(n,0.1)，由于当有20%的部件不工作时系统就不能工作，因此若设N =0.2n(取整数)，则当正常工作的部件数时,系统就不能正常工作。根据德莫呢一一拉普拉 斯定理PXN=PX-nxOAJ/?x09x0lN nx0lJnxO9xOl侈出价格为1.2

11、元的蛋糕多于60只的概率为侈出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率为= L = 1_O.95 = O.O503jn03“？03jn查表得（1.65） = 0.95 （由标准止态分布的对称性。）,由TN= 0.2n （取整数），故可以认为N-0M = 0ln,N-0.D?0.3亦0.D?0.3丿7= 1.65 ,yn = 4.95 , n = 24.5即 当n至少为25时，才能使系统的可靠性不低于0 959、已知在某十字路II, 一周事故发生数的数学期里为22标准差为14（1）以壬表示一年（以52周计）此十字路II事故发生数的算术平均，试用中心极限定理求X的近似分布，并求PX2.（2）求一年事故

12、数小球100的概率。解 （1）设该十字路1第！周发生事故次数为则（1 = 0,1,2,52 ）是相互独立 的随机变量，已知 /I = E（X） = 2.2 ,标准差 a = ylD（X） =1.4 ,则方差 cr2 =1.42 =1.96 ,是X*服从正态分布N（22,l4?）,由中心极限定理,= L的概率不超过0 01。解 设每辆汽车的氧化氮排放量为尤(1=1,2,100),则尤是相互独立的随机变量，n“=E(H) = 0.9, b = jD(X)=.9, a2=1.92,由中心极限定理知，MO,】 %。)于是P(X = !- P(X 厶査表有 0(2.33) = 0.99017_0 0令

13、=2.33,得 L = 1.3427 g/km0.1911、随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室测量某种化介物的PH值，齐人 测最的结果是随机变最，且相互独立，服从同一分布，数学期里为5,方差为0 3。以壬,Y分别表示第一组和第二组所得的结采的算术平均值。(1) 求 P4.9 V壬5.1；(2) 求 P-0.1-y 0.10 3解 因为 EX) = E(Y) = 5 , D(X) = D(Y)=(1)rtl中心极限定理知X近似服从N(5,03/80)，丁是= 20(1.63)-1 =2x0.9484-1 = 1.8968-1 = 0.8968。(2) 因为 E(X-y)= E(X)

14、- E(Y) = 0 , D(X-Y)= D(X) + D(X) = 03/40由中心极限定理知X-Y近似服从N(0.0.3/40),故P-0.1 X-Y 0.1 = P 01 产Y ( =) _ 空 /=) = 2() -1J0.3/40 Jo.3/400.087=2D(-)-l = 20(1.15)-10.087= 2x0.8749-1 = 1.7498-1 = 0.7498。12、一公寓有200住户，一户拥有汽车数X的分布分赴为X010Pk0 10 60 3问需要多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车邻六事鬼概率至少为0 95。解 设需要的车位数为斤，设第1 （1=1,2,200 ）户有车

15、辆数为尤，则（,） = OxO.l + lxO.6+ 2x0.3 = 1.25（；） = 0x0.1 + 1x0.6 + 4x03 = 1.8D（A3= （；）-（）2 = 1.8-1.22 = 036因为共有200户，务户占有车位相互独立，从而近似地有200工尤N（l2、036） 1=1所求概率为200卩工疋 0.95,200范尤s=e(1-1/?-200x1.27200x0.36n-240)0.95查表知0.95 ,令n 一 2401.65 ,解得 n 2548.498.49由此知至少需要254个。13、某电子器件的寿命（小时）具有数学期垫“（未知），方差a2 = 400 -为了估计， 随

16、机地取n只这种器件，任时刻f = 0投入测试（测试是相互独立的）百到失效，测1 n得其寿命,以X = -Yxi作为的估计.为使PX-/l0.95 ,问n至少为幺少?由独工同分布中心极限定理.兰 二兰工近似的服从N(O,1)0.97520/Vn20/n要使 P|X Kln0.95,即 2(务)一0.95，亦即查表知 1.96 Tn = 39.2 , n = 1536.6420故n至少为1537o14、某药厂断言，该厂生产的某种药品对丁医治一种疑难血液病的治愈率为08医院任意 抽査100个服用此药品的病人，若其中多于75人治愈，就接受此种断言。(1) 若实际上药站对这种疾病的治愈率为0 &问接受这一的概率是多少？(2) 若实际上此药品的治愈率为0 7,问接受这一断言的槪率是多少？解 (1)设X表示服用此种药品而治愈的病人数，则Xb(100,0.8),此时= 100x0.8 = 80D(X) = 100x0.8x0.2 = 16