(文理通用)江苏省高考数学理科附加题第2讲空间向量与立体几何练习

1、第2讲空间向量与立体几何课后自测诊断一一及时查漏补缺备考不留死角1.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD A旦CR中，P为棱CR的 中点，Q为棱BB上的点,且BQ=* BBQ WO).(1)若=4，求AP与AQ所成角的余弦值；(2)若直线AA与平面APQ所成的角为45。，求实数才的值.用牛：么1尤，血，及力JLE乂至限，立UXU因切小刑工I目J旦用里巾小系 A xyz.则 A(0,0,0), A (0, 0, 2), P(l,2,2), Q(2,0,2Z ).当人=寸寸，AP= (1, 2, 2), AQ= (2, 0, 1) 9_ 一 AP 旗所以 cos AP, AQ)=I API|AQ|

2、1X2 + 2XO+2X1|_4J153X/5所以AP与AQ所成角的余弦值为噂.功 AA= iu, u,力，战=3, u, /人).设平面APQ的法向量为n=(x, y, z),n 萍=0, 则 _Ln 醺=0,x+2y+2z=0,即2x+2A z=0.令 Z = -2,贝Ijx=24 , y=2* .所以 n=(2* , 2f , -2).又因为直线AA：与平面APQ所成角为45 ,in 期 H I cob rrrt/ 1|n| |AA|4 2二L2叱2/ y+(2 f 尸+(-2)22 4可得54 24/ =o,又因为* W0,所以* =七52. (2019 宿迁期末)如图，在直三棱柱AB

3、C A|B中，ACBC, AC =BC=1, BB1=2,点 D 在棱BB上,且C】DJ_AB求线段BJ的长；求二面角D A：C q的余弦值.川牛： 仕旦二侬仕HDL a.D1% 十，AC_LDL, 刘以空.，6/荃)氐怕是处I囹切力、叫至1中直角坐标系,则 A(1,0,0), A(l,o, 2), B1(0,1,0), C(0, 0, 0), B(0, 1,2), C(0, 0,2),切么AB= I -1,1，-Z),汉 DU = 1, U E04,火IJUIU, 1, T；, 彳=1U, 1, u.伶0耻=5所以 12t=0 t=1,所以bj=4.U；勿大口十冏 ACC tfj 一 T/

4、| 口J 重力 cp5= (U,1，u;, 设平面AfD的一个法向量为n=(x, y, z),n AD=，因为 二In AC=0,x+y+2z=0,取 z=2,11x+2z=0,则 y=3, x=4,所以 n=(4, 3, 2),n i n C Bi i1所以二面角D AC q的余弦值为嘈.1 14y3 .如图，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中，已知NBAD =ZCDA=90 , AD=CD=2, AB = 1, SA=SD,且平面SAD，平面ABCD.(1)当SASD时，求直线SA与平面SBC所成角的正弦值；TT若平面SBC与平面SAD所成角的大小为,求SA的长.解：(1)取AD中点0

5、,连结S0.因为SA=SD,所以S0LAD,因为平面SAD_L平面ABCD,平面SADH平面ABCD=AD, SO平面SAD,所以SO_L平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，由条件可得,A(l,0, 0), S(0, 0, 1), B(l, 1,0),由一 1,2,0).所以SA=(1,O, 1), SB= (1, 1, 1), BC= (2, 1, 0).设平面SBC的法向量n=(x, y, z),n SB=0,x+y z=0,则Ln B=0,ii-2x+v=0,取 n= (1, 2, 3)2x+y=0,设直线SA与平面SBC所成角为6 ,则 sin 0 I cosSA, n) |

6、=一 卡X亚7.(2)设S0=a,则 S(0,0, a),所以死=(1, L -a), x+yaz=05平面SBC的法向量n=(x, y, z)满足取平面SAD的法向量n =(0, 1,0),所以cos=q-台就=没，解得arp， 1 1 XI o I o z所以SA2.4 .如图，在四棱锥P ABCD中，PA,平面ABCD, ABAD, ADBC, AP=AB=AD = 1.若直线PB与CD所成角的大小为小求BC的长；(2)求二面角B PD A的余弦值.解：以倔，lD,P为单位正交基底，建立如图所示的空间直 角坐标系A xyz.因为 AP=AB=AD = 1,所以 A(0,0,0), B(l,0, 0), D(0, 1,0), P(0, 0, 1).设 C(l, y, 0),则而=(1,0, -1), CD=(-1, 1-y, 0).TT因为直线PB