数学建模第七章

1、 现实生活中普遍存在着现实生活中普遍存在着优化问题优化问题. 例：一根长为例：一根长为L的铁丝围成长方形，的铁丝围成长方形，问：怎样围才能使长方形的面积最大？问：怎样围才能使长方形的面积最大？第七章第七章 最优化问题数学模型最优化问题数学模型变量个数变量个数 一元最优化一元最优化 多元最优化多元最优化约束条件约束条件无约束最优化无约束最优化 有约束最优化有约束最优化 目标函数目标函数函数特点函数特点单目标最优化单目标最优化 多目标最优化多目标最优化线性规划线性规划 非线性规划非线性规划最优化分类最优化分类 建立优化模型的关键之一是根据建立优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的建模目的确定恰

2、当的目标函数目标函数. 求解简单的无约束优化模型（一元求解简单的无约束优化模型（一元 或二元）一般用或二元）一般用微分法微分法.无约束最优化无约束最优化7.1 存贮模型存贮模型 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出. 已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，贮存费每日元，贮存费每日每件每件1元元. 试安排该产品的

3、生产计划，即多少天生产一次（生试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小产周期），每次产量多少，使总费用最小.问题分析问题分析 每天生产一次每天生产一次, 每次每次100件件,无贮存费无贮存费,准备费准备费5000元元.日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元元. 10天生产一次天生产一次, 每次每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元元. 50天生产一次天生产一次,每次每次5000件件, 贮存费贮存费4900+4800+100 =

4、122500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计127500元元.平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010天生产一次天生产一次, ,平均每天费用最小吗平均每天费用最小吗? ?每天费用每天费用5000元元 这是一个优化问题，关键在建立目标函数这是一个优化问题，关键在建立目标函数.显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值. 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析问题分析贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存

5、费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小.模模 型型 假假 设设 1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；3. T天生产一次（周期）天生产一次（周期）, 每次生产每次生产Q件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；建建 模模 目目 的的设设 r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小使每天总费用的平均值最小. .4. 为方便起见，时间

6、和产量都作为连续量处理为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用221QTccC每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）2)(21rTcTcTCTC离散问题连续化离散问题连续化20( )dTcq tt一周期贮存费为一周期贮存费为A2221rTcc rTQ =QT/222QTc模型求解模型求解12( )2Mincc rTC TT求求 T 使使0ddCT212crcrTQ212r

7、ccT 模型解释模型解释QTc,1QTc,2QTr,定性分析定性分析敏感性分析敏感性分析参数参数c1,c2, r的微小变化对的微小变化对T,Q的影响的影响T对对c1的的(相相对对)敏感度敏感度 111/),(ccTTcTSTccT11dd21c1增加增加1%, T增加增加0.5%S(T,c2)=-1/2, S(T,r)=-1/2c2或或r增加增加1%, T减少减少0.5%准备费准备费c1 贮存费为贮存费为 c2 日需求量日需求量 r经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）212rccT 212crcrTQ 用于订货供应情况用于订货供应情况:不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型模型

8、应用模型应用T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答原问题回答原问题c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1, 每天每件贮存费每天每件贮存费 c2 , T天订货一次天订货一次(周期周期), 每次订货每次订货Q件，当贮存量降到零时，件，当贮存量降到零时，Q件立即到货件立即到货.?允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失.原模型假设原模型假设3：贮存量降到零贮存量降到零时时Q件立即生产出来件立即生产出来(或立即到

9、或立即到货货).现假设现假设3：允许缺货允许缺货, 每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足缺货需补足.T1rTQ Ac2Bc32)(2213121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用一周期一周期贮存费贮存费120( )dTcq tt一周期一周期缺货费缺货费13( )dTTcq ttTCQTC),(0,0QCTC每天总费用每天总费用平均值平均值（目标函数）（目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用(,)MinC T Q求求 T ,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ为与为与不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模

10、型相比，相比，T记作记作T , Q记作记作Q.允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型rTQrTcrTQcTc2)(223221212rccT 212crcrTQ不允许不允许缺货缺货模型模型QQTT,332ccc 记记1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型0qQ rT1tT注意：缺货需补足注意：缺货需补足Q 每周期初的存贮量每周期初的存贮量R每周期的生产量每周期的生产量R （或订货量）（或订货量）332212ccccrcTrRQ不允许

11、缺货时的产量不允许缺货时的产量(或订货量或订货量) QQR7.2 生猪的出售时机生猪的出售时机饲养场每天投入饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设元资金，用于饲料、人力、设备，备，估计估计可使可使80千克重的生猪体重增加千克重的生猪体重增加2公斤。公斤。问问题题市场价格目前为每千克市场价格目前为每千克8元，但是元，但是预测预测每天会降每天会降低低 0.1元，问生猪应何时出售？元，问生猪应何时出售？如果如果估计估计和和预测预测有误差，对结果有何影响？有误差，对结果有何影响？分分析析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使

12、利润最大时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出售，可多得利润天后出售，可多得利润20元元建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt出售价格出售价格 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q=R-C=pw -C估计估计r=2，若当前出售，利润为若当前出售，利润为808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1敏感性分析敏感性分析研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 估计估计r=2， g=0.1rg

13、grt2404 设设g=0.1不变不变 5 . 1,6040rrrtt 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%。 1.522.5305101520rt敏感性分析敏感性分析估计估计r=2， g=0.1rggrt2404研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 设设r=2不变不变 15. 00,203gggtt 对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生猪价格每天的降低量

14、生猪价格每天的降低量g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。 0.060.080.10.120.140.160102030gt强健性分析强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售研究研究 r, g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt w = w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p =p(t) 0)( tQ每天利润的增值每天利润的增值 每天投入的资金每天投入的资金 ttwtptQ4)()()(7.3 森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量森林失火后，要确定派出消防队员的数

15、量.队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小队员少，森林损失大，救援费用小.综合考虑损失费和救援费，确定队员数量综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x, 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t). 损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数, 由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定. 救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数, 由队员人数和救火时间决定由队员人数和救火时间决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使

16、f1(x), f2(x)之和最小之和最小. 关键是对关键是对B(t)作出合理的简化假设作出合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 画出时刻画出时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形.t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论单位时间转而讨论单位时间烧毁面积烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度森林烧毁的速度).模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费） 1）0 t t1, dB/dt 与与 t成正比，系

17、数成正比，系数 (火势蔓延速度火势蔓延速度). 2）t1 t t2, 降为降为 - x ( 为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度速度). 4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用一次性费用c3 .假设假设1）的解释）的解释 rB火势以失火点为中心，均匀向四火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径周呈圆形蔓延，半径 r与与 t 成正比成正比.面积面积 B与与 t2 成正比成正比dB/dt与与 t 成正比成正比xbtt12220( )dddtBB ttt模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假设假设1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)

18、()(),()(目标函数目标函数总费用总费用)()()(21xfxfxC假设假设3）4）xttt112假设假设2）)(222212212xttbt0ddCxxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx结果解释结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数dtdBb0t1t2tx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 为已知参数为已知参数 c1, t1, x c3 , x 结果结果解释解释231221122ctctcxc1烧毁单位面积损失

19、费烧毁单位面积损失费, c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费, c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用, t1开始救火时刻开始救火时刻, 火火势蔓延速度势蔓延速度, 每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.7.4 最优价格最优价格问题问题根据产品成本和市场需求，在产销平根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大衡条件下确定商品价格，使利润最大.假设假设1）产量等于销量，记作）产量等于销量，记作 x.2）收入与销量）收入与销量 x 成正比，系数成正比，系数 p 即价格即价格.3）支出与产量）支出与产量 x 成正比，系数成正比，系数 q 即成本即成本.4）销量

20、）销量 x 依于价格依于价格 p, x(p)是减函数是减函数. 建模与建模与求解求解pxpI)(收入收入qxpC)(支出支出)()()(pCpIpU利润利润进一步设进一步设0,)(babpapx求求p使使U(p)最大最大*0ddppUp使利润使利润 U(p)最大的最优价格最大的最优价格 p*满足满足*ddddppppICpp最大利润在边际收入等于边际支出时达到最大利润在边际收入等于边际支出时达到pxpI)(qxpC)(bpapx)()(bpaqp)()()(pCpIpUbaqp22* 建模建模与求解与求解边际收入边际收入边际支出边际支出结果结果解释解释 q / 2 成本的一半成本的一半 b 价

21、格上升价格上升1单位时销量的下降单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度）幅度（需求对价格的敏感度） a 绝对需求绝对需求( p=0的需求的需求)b p* a p* bpapx)(销量销量p 价格价格q 成本成本baqp22*最优价格最优价格q2U(q1,q2) = cq101l2l3l7.5 消费者的选择消费者的选择问题问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度购买这两种商品，以达到最大的满意度.设甲乙数量为设甲乙数量为q1,q2, 消消费者的

22、无差别曲线族费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相单调减、下凸、不相交），记作交），记作 U(q1,q2)=cU(q1,q2) 效用函数效用函数已知甲乙价格已知甲乙价格 p1, p2, 有钱有钱s，试分配，试分配 s,购买甲乙数量购买甲乙数量 q1, q2,使使 U(q1, q2)最大最大.s/p2s/p1q2U(q1,q2) = cq101l2l3l模型模型及及求解求解已知价格已知价格 p1,p2,钱钱 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最大最大.121122max(,)s.t.ZU q qp qp qs),(2211sqpqpUL) 2 , 1(0

23、iqLi2121ppqUqU221ddlqKq几几何何解解释释sqpqp2211直线直线MN: 最优解最优解Q: MN与与 l2切点切点21/ ppKMN斜率斜率MQN21/qUqU2121ppqUqU结果结果解释解释21,qUqU边际效用边际效用消费者均衡状态在两种商品消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到价格之比时达到.效用函数效用函数U(q1,q2) 应满足的条件应满足的条件条件条件A U(q1,q2) =c 所确定的函数所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸单调减、下凸0, 0, 0, 0, 021222221221qqUqUqUq

24、UqU条件条件B条件条件B条件条件A0,)(. 1121qqU效用函数效用函数U(q1,q2) 几种常用几种常用的形式的形式2121ppqUqU212211ppqpqp 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比与二者价格之比的平方根成正比. U(q1,q2)中参数中参数 , 分别表示消费者对甲乙分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度两种商品的偏爱程度.1,0,. 221qqU0,)(. 3221baqbqaU2121ppqUqU2211qpqp 购买两种商品费用之比与二者价格无关购买两种商品费用之比与二者价格无关. U(q1,q2)中

25、参数中参数 , 分别表示对甲乙分别表示对甲乙的偏爱程度的偏爱程度.效用函数效用函数U(q1,q2) 几种常用几种常用的形式的形式7.6 冰山运输冰山运输背景背景 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米的成本为每立方米0.1英镑英镑. 专家建议从专家建议从9600千米远的南极用拖千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水船运送冰山，取代淡化海水. 从经济角度研究冰山运输的可行性从经济角度研究冰山运输的可行性.建模准备建模准备1. 日租金和最大运量日租金和最大运量船船 型型小小 中中 大大日租金（英镑）日租金（英镑） 最大运量（米最大运量（米3）4.06.28.

26、05 1051061072. 燃料消耗（英镑燃料消耗（英镑/千米）千米）3. 融化速率（米融化速率（米/天）天）与南极距离与南极距离 (千米千米)船速船速(千米千米/小时小时) 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山体积冰山体积(米米3)船速船速(千米千米/小时小时) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模准备建模准备建模建模目的目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低，并与淡化海水的费用比方米水的费

27、用最低，并与淡化海水的费用比较较.模型模型假设假设 航行过程中船速不变，总距离航行过程中船速不变，总距离9600千米千米. 冰山呈球形，球面各点融化速率相同冰山呈球形，球面各点融化速率相同.到达目的地后到达目的地后,每立方米冰可融化每立方米冰可融化0.85立方米立方米水水.建模建模分析分析目的地目的地水体积水体积运输过程运输过程融化规律融化规律总费用总费用目的地目的地冰体积冰体积初始冰初始冰山体积山体积燃料消耗燃料消耗租金租金船型船型, 船速船速船型船型船型船型, 船速船速船型船型utuuttuurt61000),4 . 01 (2 . 0610000,)4 . 01 (1056. 13第第t

28、天融天融化速率化速率4000),1 (40000),1 (21dbuadbudar4 . 0, 2 . 0,105 . 6251baa模模型型建建立立1. 冰山融化规律冰山融化规律 船速船速u (千米千米/小时小时)与南极距离与南极距离d(千米千米)融化速率融化速率r(米米/天）天）r是是 u 的线性函数的线性函数d4000时时r与与d无关无关航行航行 t 天天, d=24ut 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd1. 冰山融化规律冰山融化规律 tkktrRR10冰山初始半径冰山初始半径R0，航行，航行t天时半径天时半径冰山初始体积

29、冰山初始体积30043VR343ttVRt天时体积天时体积总航行天数总航行天数3030134( , )34tkkVV u Vtr选定选定u,V0, 航行航行t天时冰山体积天时冰山体积3030134( ,)34TttVV u Vr到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积uuT4002496001, 6, 3 . 0321ccc),()lg(24),(30210ctVuVcucutVuq),)(lg(3211cVcucq2. 燃料消耗燃料消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗燃料消耗 q1(英镑英镑

30、/千米千米)q1对对u线性线性, 对对lgV 线性线性选定选定u,V0, 航行第航行第t天燃料消耗天燃料消耗 q (英镑英镑/天天)燃料消耗总费用燃料消耗总费用TttVuqVuQ100),(),(14334lg)6(2.73130tkkrVuu V0 5 105 106 107 f(V0) 4.0 6.2 8.0 3. 运送每立方米水费运送每立方米水费用用 冰山初始体积冰山初始体积V0的日的日租金租金 f(V0)（英镑）（英镑）uT400航行天数航行天数总燃料消耗费用总燃料消耗费用拖船租金费用拖船租金费用uVfVuR400)(),(00冰山运输总费用冰山运输总费用),(),(),(000VuQ

31、VuRVuS30301134( ,)7.2 (6) lg134TtktkVQ u Vu ur冰山到达目的地冰山到达目的地后得到的水体积后得到的水体积),(85. 0),(00VuVVuW3. 运送每立方米水费用运送每立方米水费用 冰山运输总费用冰山运输总费用运送每立方运送每立方米水费用米水费用 ),(),(),(000VuWVuSVuY313004334),(TttrVVuV到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积),(),(),(000VuQVuRVuS模型求解模型求解选择船型和船速选择船型和船速,使冰山到达目使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低的地后每立方米水的费用最低求求 u,V0使使

32、Y(u,V0)最小最小u=45(千米千米/小时小时), V0= 107 (米米3)， Y(u,V0)最小最小V0只能取离散值只能取离散值经验公式很粗糙经验公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5 106取几组（取几组（V0，u）用枚举法计算）用枚举法计算结果分析结果分析由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于到达目的地后实际体积会显著小于V(

33、u,V0).有关部门认为，只有当计算出的有关部门认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性.大型拖船大型拖船V0= 107 (米米3),船速船速 u=45(千米千米/小时小时),冰山到冰山到达目的地后每立方米水的费用达目的地后每立方米水的费用 Y(u,V0)约约0.065(英镑英镑).虽然虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙但是模型假设和构造非常简化与粗糙.冰冰 山山 运运 输输 模型来自实际问题的可行性研究模型来自实际问题的可行性研究. 收集数据

34、是建模的重要准备工作收集数据是建模的重要准备工作. 根据数据得到的经验公式是建模的基础根据数据得到的经验公式是建模的基础. 冰山形状的球形假设简化了计算冰山形状的球形假设简化了计算, 这个这个假设的合理性如何假设的合理性如何?如果改变它呢如果改变它呢?数学规划模型数学规划模型 实际问题中实际问题中的优化模型的优化模型1Min(Max)( ),(,)s.t.( )0,1,2,Tnizf xxxxg xim或x决策变量决策变量f(x)目标函数目标函数gi(x) 0约束条件约束条件多元函数多元函数条件极值条件极值 决策变量个数决策变量个数n和和约束条件个数约束条件个数m较大较大 数数学学规规划划线性

35、规划线性规划非线性规划非线性规划整数规划整数规划重点在模型的建立、软件求解和结果的分析重点在模型的建立、软件求解和结果的分析1桶桶牛奶牛奶 3kgA1 12小时小时 8小时小时 4kgA2 或或获利获利24元元/kg 获利获利16元元/kg 50桶牛奶桶牛奶 时间时间480小时小时 至多加工至多加工100kgA1 制订生产计划，使每天获利最大制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到的获利增加到 30元元/kg

36、，应否改变生产计划？，应否改变生产计划？ 每天：每天：问问题题7.1 奶制品的生产与销售奶制品的生产与销售 1桶桶牛奶牛奶 3kgA1 12小时小时 8小时小时 4kgA2 或或获利获利24元元/kg 获利获利16元元/kg x1桶牛奶生产桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产桶牛奶生产A2 获利获利 243x1 获利获利 164 x2 原料供应原料供应 5021 xx劳动时间劳动时间 48081221 xx加工能力加工能力 10031x决策变量决策变量 目标函数目标函数 12Max7264zxx每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 0,21xx线性线性规划规划模型模型(LP)时间时间48

37、0小时小时 至多加工至多加工100kgA1 50桶牛奶桶牛奶 每天每天基本基本模型模型模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINDOmax 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000

38、4) 40.000000 0.000000DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No20桶牛奶生产桶牛奶生产A1, 30桶生产桶生产A2，利润，利润3360元。元。 结果解释结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000

39、000 0.000000max 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end三三种种资资源源“资源资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）剩余为零的约束为紧约束（有效约束） 原料无剩余原料无剩余时间无剩余时间无剩余加工能力剩余加工能力剩余40结果解释结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.

40、000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000最优解下最优解下“资源资源”增增加加1单位时单位时“效益效益”的的增量增量 35元可买到元可买到1桶牛奶，要买吗桶牛奶，要买吗?35 48, 应该买！应该买！ 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元聘用临时工人付出的工资最多每小时几元? 2元！元！原料增加原料增加1单位单位,利润增长利润增长48时间增加时间增加1单位单位, 利润增长利润增长2 加工能力增长加工能力增长不不影响利润影响利润影子价格影子价格RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

41、 OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000

42、 INFINITY 40.000000最优解不变时目标函最优解不变时目标函数系数允许变化范围数系数允许变化范围 DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes A1获利增加到获利增加到 30元元/kg，应否改变生产计划，应否改变生产计划? x1系数由系数由24 3=72增至增至30 3=9096,在在允许范围内允许范围内 不变！不变！约束条件不变约束条件不变!x1系数范围系数范围:(72-8, 72+24)= (64, 96) x2系数范围系数范围:(48,72)结果解释结果解释 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ C

43、OEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFIN

44、ITY 40.000000影子价格有意义时约束右端的允许变化范围影子价格有意义时约束右端的允许变化范围 35元可买到元可买到1桶牛奶桶牛奶, 每天最多买多少每天最多买多少?最多买最多买10桶桶!目标函数不变目标函数不变!原料最多增加原料最多增加10时间最多增加时间最多增加53原料原料时时间间例例2 奶制品的生产销售计划奶制品的生产销售计划 在例在例1基础上深加工基础上深加工1桶桶牛奶牛奶 3kgA1 12小时小时 8小时小时 4kgA2 或或获利获利24元元/kg 获利获利16元元/kg 0.8kgB12小时小时,3元元1kg获利获利44元元/kg 0.75kgB22小时小时,3元元1kg获利

45、获利32元元/kg 制订生产计划，使每天净利润最大制订生产计划，使每天净利润最大 30元可增加元可增加1桶牛奶桶牛奶, 3元可增加元可增加1小时时间小时时间, 应否投资应否投资? 现投资现投资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？50桶牛奶桶牛奶, 480小时小时 至多至多100kgA1 B1，B2的获利经常有的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？的波动，对计划有无影响？1桶桶牛奶牛奶 3kg A1 12小时小时 8小时小时 4kg A2 或或获利获利24元元/kg 获利获利16元元/kg 0.8kg B12小时小时,3元元1kg获利获利44元元/kg 0.75kg B22小时小时,3元元

46、1kg获利获利32元元/kg 出售出售x1 kg A1, x2 kg A2， x3 kg B1, x4 kg B2原料原料供应供应 劳动劳动时间时间 加工能力加工能力 决策决策变量变量 目标目标函数函数 利润利润约束约束条件条件非负约束非负约束 061xx,x5 kg A1加工加工B1， x6 kg A2加工加工B21234562416443233Max zxxxxxx50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx10051 xx附加约束附加约束 5380 x.x64750 x.x 基本模型基本模型模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINDO5043) 26251xx

47、xx48022)(2)(4)3656251xxxxxx OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4)

48、76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000600343426521xxxx)4804624) 36521xxxxDO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.

49、000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000结果解释结果解释8桶牛奶加工成桶牛奶加工成A1, 42桶牛奶加工成桶牛奶加工成A2每天利润每天利润3460.8(元元)销售销售168 kgA2销售销售19.2 kgB124kgA1加工成加工成B1 除加工能力外其余除加工能力外其余约束均为紧约束约束均为紧约束结果解释

50、结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0

51、.000000 44.000000 6) 0.000000 32.0000005043)26251xxxx600334) 26521xxxx430元可增加元可增加1桶牛奶桶牛奶, 3元可增加元可增加1小时时间小时时间, 应否投资？现投资应否投资？现投资150元元, 可赚回多少？可赚回多少？投资投资150元增加元增加5桶牛奶桶牛奶,可赚回可赚回189.6元。元。(大于大于增加时间的利润增长增加时间的利润增长)增加增加1桶牛奶使利润桶牛奶使利润增长增长3.1612=37.92增加增加1小时时间使利小时时间使利润增长润增长3.26结果解释结果解释B1,B2的获利有的获利有10%的波动的波动,对计划有

52、无影响对计划有无影响? RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 24.000000 1.680000 INFINITY X2 16.000000 8.150000 2.100000 X3 44.000000 19.750002 3.166667 X4 32.000000 2.026667 INFINITY X5 -3.000000 15.800000 2.533334 X6 -3.00

53、0000 1.520000 INFINITY DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes波动对计划有影响波动对计划有影响生产计划应重新制订：如将生产计划应重新制订：如将x3的系数改为的系数改为39.6计算，计算，会发现结果有很大变化。会发现结果有很大变化。 B1获利下降获利下降10%, 超超出出X3 系数允许范围系数允许范围B2获利上升获利上升10%, 超超出出X4 系数允许范围系数允许范围奶制品的生产与销售奶制品的生产与销售 线性规划模型的三要素：线性规划模型的三要素：决策变量、目标决策变量、目标函数、约束条件函数、约束条件. 用用LINDO求解，输出丰富，利用

54、求解，输出丰富，利用影子价格影子价格和和灵敏性分析灵敏性分析可对结果做进一步研究可对结果做进一步研究. 建模时尽可能利用原始的数据信息，把尽量建模时尽可能利用原始的数据信息，把尽量多的计算留给计算机去做多的计算留给计算机去做.其他费用其他费用: :450元元/千吨千吨 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？ 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？ 元元/千吨千吨甲甲乙乙丙丙丁丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理费引水管理费7.2 7.2 自来水输送自来

55、水输送收入：收入：900元元/千吨千吨 支出支出A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40水库供水量水库供水量(千吨千吨)小区基本用水量小区基本用水量(千吨千吨)小区额外用水量小区额外用水量(千吨千吨)（以天计）（以天计）总供水量：总供水量：160确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大问题问题分析分析A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40 总需求量总需求量(300)每个水库供水量提高一倍每个水库供水量提高一倍, ,利润增加多少？利润增加多少？ 利润利润 = 收入收入(900)

56、其他费用其他费用( (450) 引水管理费引水管理费利润利润(元元/千吨千吨)甲甲乙乙丙丙丁丁A290320230280B310320260300C260250220/1112131421222324313233290320230280310320260300260250220MaxZxxxxxxxxxxx供应供应限制限制B, C 类似处理类似处理50:14131211xxxxA10014131211xxxx问题讨论问题讨论 确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大需求约束可以不变需求约束可以不变求解求解 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 88700.00 VARIA

57、BLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 20.000000 X12 100.000000 0.000000 X13 0.000000 40.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 30.000000 0.000000 X22 40.000000 0.000000 X23 0.000000 10.000000 X24 50.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.000000 0.000000 运输问题运输问题A(100)B(120)C(1

58、00)甲甲(30;50)乙乙(70;70)丙丙(10;20)丁丁(10;40)4010050305030供应点供应点需求点需求点物资物资供需平衡或不平衡供需平衡或不平衡总利润总利润 88700 (元元)如何如何装运，装运，使本次飞行使本次飞行获利最大？获利最大？ 7.3 货机装运货机装运 质量质量（吨）（吨）空间空间( 米米3/吨）吨）利润利润（元（元/吨）吨）货物货物1184803100货物货物2156503800货物货物3235803500货物货物4123902850三个货舱中实际载重必须与其最大三个货舱中实际载重必须与其最大载载重成比例重成比例. . 前仓：前仓：10；6800中仓：中仓

59、：16；8700后仓：后仓：8；5300飞机平衡飞机平衡货舱货舱最大最大载载重重( (吨吨) )货舱最大容积货舱最大容积(米米3)目标目标函数函数( (利润利润)约束约束条件条件1112132122233132334142433100()3800()3500() 2850()Max Zxxxxxxxxxxxx货舱货舱质量质量 1041312111xxxx1642322212xxxx843332313xxxx10；680016；87008；5300 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的质量个货舱的质量81610433323134232221241312111xxxxxxxxxxx

60、x平衡平衡要求要求 决策变量决策变量 约束条件约束条件xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的质量个货舱的质量 质量质量（吨）（吨）空间空间( 米米3/吨）吨）利润利润（元（元/吨）吨）货物货物1184803100货物货物2156503800货物货物3235803500货物货物4123902850货舱货舱容积容积 680039058065048041312111xxxx870039058065048042322212xxxx530039058065048043332313xxxx10；680016；87008；5300约束条件约束条件货物货物供应供应 18131211xxx1523