北师大版八年级上册实数全章复习经典讲义知识点与例题

1、第二章实数【知识网络】【知识梳理 】一数的开方主要知识点：【平方根】 如果一个数x 的平方等于a，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当x2a(a0) 时，我们称x 是a 的平方根，记做：xa( a0) 。因此：1.当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是0 本身；2. 当 a 0 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：xa。3. 当 a 0 时，也即 a 为负数时，它不存在平方根。例 1.（ 1）的平方是 64 ，所以64 的平方根是；（ 2）的平方根是它本身。（ 3）若x 的平方根是 ±2，则 x=； 16 的平方根是（ 4）当 x时，32

2、x 有意义。（ 5 ）一个正数的平方根分别是m 和 m-4 ，则 m 的值是多少？这个正数是多少？【 算术平方根】：（1）如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x 2a ，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为：“ a ”，读作，“根号 a ”，其中， a 称为被开方数。特别规定：0 的算术平方根仍然为 0 。（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：a 0(a 0) 。（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值， 并且是非负数， 它只表示为： a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a 。例

3、2.（ 1）下列说法正确的是（）A1的立方根是1；B42；（ ）、81 的平方根是3；（D）、0没有平方根；C（ 2）下列各式正确的是（）A、819、3.143.14、279 3D、 532BC（3） (3) 2的算术平方根是。（ 4）若xx 有意义，则x 1_。（ 5）已知 ABC 的三边分别是a, b, c,且 a,b 满足 a3(b 4)20 ，求 c 的取值范围。（ 6）已知： A= x y xy 3 是 x y3 的算术平方根， B= x 2 y 3 x2y 是 x2 y 的立方根。求A B 的平方根。（ 7 ）（提高题）如果x 、y 分别是 4 3的整数部分和小数部分。求x y 的

4、值 .【立方根】（ 1 ）如果 x 的立方等于 a，那么，就称x 是 a 的立方根，或者三次方根。记做：3 a ，读作， 3 次根号 a。注意：这里的 3 表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。（ 2 ）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例 3.（ 1） 64 的立方根是（ 2）若 3 a2.89, 3ab 28 .9 ，则 b 等于（）A. 1000000B. 1000C. 10D. 10000（ 3）下列说法中：3都是 27的立方根，3 y 3y ， 64的立

5、方根是2， 38 24 。其中正确的有（）A、1个B、2 个C、3 个D、4 个【无理数】（ 1）无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限 ”以及 “不循环 ”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种： （ 1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如： 2-， 3等；（2 ）开方开不尽的数，如 : 2,5, 3 9 等；（ 3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01（两个 1 之间依次多 1 个 0 ）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9 等；无理数也不一定带根号，如：（ 2 ） 有理数与无理数的区别： （ 1）有理数指的是有限小数和

6、无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（ 2 ）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。例 4. （ 1）下列各数： 3.141、 0.33333 、 57 、 、2.25、2、 0.30300030000033（相邻两个3 之间 0 的个数逐次增加 2 ）、其中是有理数的有；是无理数的有。 （填序号）（ 2 ）有五个数 :0.125125 ,0.1010010001 ,- ,4 , 32 其中无理数有()个A2B3C4D5【实数】（ 1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0 ，最大

7、的负整数是 -1 ，最小的正整数是 1.（ 2）实数的性质：实数 a 的相反数是 -a ；实数 a 的倒数是1 （ a0）；实数 a 的绝对值 |a|=a(a0)，它的几何意aa(a0)义是：在数轴上的点到原点的距离。（ 3 ）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0 ，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。（ 4）实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理

8、数的一致。例 5.（ 1）下列说法正确的是（）；A 、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、 1 和 2 之间的无理数只有2 ；D 、不带根号的数都是有理数。（ 2） a， b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()a0bA 、 a bB、 abC、 abD 、 b a（ 2012 山东省聊城， 10，3 分）如右图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点 A 对称， A 、B 两点对应的实数是3 和-1，则点 C 所对应的实数是（）A. 1+3B. 2+3C. 23 -1D.2 3+1（ 2012·湖南省张家界市·6 题· 3

9、 分） 实数 a 、 b 在轴上的位置如图所示，且a b ，则化简 a 2ab 的结果为（）obaA 2a bB. 2a bC . bD. 2a b（ 3）比较大小 ( 填 “>或”“<”).310 ，3320，7 6_6_ 7，5 11 ，22（ 4）将下列各数：2, 38,3,15 ，用 “ ”连接起来； _。（ 5）若 a3, b2 ，且ab0，则： ab =。（ 6）计算：11 81120.523130.12533427168（ 7）已知：x7 2121, y 1 30.064 ，求代数式x 2x10 y3 245y 的值。例 6 .（提高题）观察下列等式：回答问题： 11

10、11 11111 11111211 112221122232216 111113111，32423112（ 1）根据上面三个等式的信息，请猜想111的结果；4252（ 2）请按照上式反应的规律，试写出用n 表示的等式，并加以验证。【常见题型训练 】：一、易考题：11 的相反数的倒数是2 已知 a+3|+b+1 0 ，则实数（ a+b）的相反数3 数 3 14 与的大小关系是4 和数轴上的点成一一对应关系的是5 和数轴上表示数 3 的点 A 距离等于 2 5 的 B 所表示的数是6 在实数中2,5 ,0,3 ,314,4 无理数有（）（A）1个（B）2 个（C）3 个（D）4 个7一个数的绝对值

11、等于这个数的相反数，这样的数是（）（A ）非负数（B）非正数（C）负数（D）正数8若 x 3，则 x 3等于（）（A ）x 3（B） x 3（ C） x 3（ D）x 39下列说法正确是（）（ A ） 有理数都是实数（B）实数都是有理数（ B） 带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数10实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：（1） c-b 和 d-a（2 ） bc 和 ad二、考点训练：*1 判断题：（1）如果 a 为实数，那么 a 一定是负数；（）（2 ）对于任何实数 a 与 b,|a b|=|b a| 恒成立；（）（3 ）两个无理数之和一定是无理数； （）（4

12、）两个无理数之积不一定是无理数； （）（5 ）任何有理数都有倒数； （）（ 6）最小的负数是1；（）（7 ）a 的相反数的绝对值是它本身； （）（8 ）若 |a|=2,|b|=3 且 ab>0，则 ab=1；（）2把下列各数分别填入相应的集合里 | 3| ，213 ， 1 234 ，22,0 ，9 ,3 1, , 8,( 2 3)0，32，8721.2121121112中无理数集合负分数集合整数集合非负数集合*3 已知 1<x<2，则 |x 3|+(1-x) 2等于（）（A ） 2x （B）2（ C） 2x（D） 24下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？

13、3,2 1， 3， 03，3 11， 1+2， 33互为相反数：；互为倒数：互为负倒数：*5 已知、是实数，且（X 2 ）2 和 2 互为相反数，求， y 的值|a+b|6.若 ,b 互为相反数， c,d 互为倒数， m 的绝对值是 2，则 2m 2+1 +4m-3cd=。*7 已知（ 3 ） 2 2 4 0 ，则 =。a+2三、解题指导：1下列语句正确的是（）（ A ）无尽小数都是无理数（ B）无理数都是无尽小数（C）带拫号的数都是无理数（D）不带拫号的数一定不是无理数。2和数轴上的点一一对应的数是（）（A ）整数（B）有理数（ C）无理数（ D）实数3零是（）（A ） 最小的有理数（B）绝

14、对值最小的实数（C）最小的自然数（ D）最小的整数4.如果 a 是实数，下列四种说法：（1） 2 和都是正数；（ 2），那么一定是负数，1（3 ）的倒数是 a ；（4 ）和的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（）（A）0（B）1（C）2（D） 334311*5 比较下列各组数的大小： （1）45(2) 2312 (3)a<b<0 时,ab|4-a 2|+ a+b2a+3b6若 a,b 满足a+2=0,则a的值是*7 实数 a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O 是原点，且 |a|=|c|（1） 判定 a+b,a+c,c-b 的符号（2 ） 化简 |a|-|a+b|+|a+c|+|c

15、-b|*8 数轴上点 A 表示数 1，若 AB 3 ，则点 B 所表示的数为9已知 x<0,y>0，且 y<|x| ，用 "<"连结 x ， x ， |y| ，y 。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11 201193分）对于实数 a 、b，给出以下三个判断：（广东茂名， ，若 ab ，则ab 若 ab ，则ab 若 ab ，则 (a)2b2 其中正确的判断的个数是（）A 3B 2C 1D 012（ 2012 江苏省淮安市，16，3 分）若5 的值在两个整数a 与 a+1 之间，则 a=*13. 数轴上作出表示2，

16、 3，5的点。四独立训练：10 的相反数是，3 的相反数是，3 8的相反数是； 的绝对值是，0的绝对值是，23的倒数是2数轴上表示 3 2 的点它离开原点的距离是。11A 表示的数是 2，且 AB 3 ，则点 B 表示的数是。322133, ,(1 2)o , 7 ,0 1313 ,2cos60 o , 3,1101001000(两 1 之间依次多一个0), 中无理数有，整数有，负数有。4.若 a 的相反数是 27 ，则 a| ；5 若 |a| 2，则 a=5若实数 x ，y 满足等式（ x 3） 2 4 y 0 ，则 x y 的值是6实数可分为（）（A ）正数和零（ B）有理数和无理数（ C）负数和零 （D）正数和负数*7 若 2a 与 1a 互为相反数，则 a 等于（）（A）1（B） 111（C）（D）238当 a 为实数时，a