第26讲 凹凸极值最值

1、第二章第二章 微分学微分学第一节第一节 导数及其运算导数及其运算第二节第二节 微分微分第三节第三节 中值定理中值定理 导数的应用导数的应用2.3.4 导数的应用导数的应用1. 1. 函数单调性的判别法函数单调性的判别法2. 2. 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点inging3. 3. 函数的极值及其求法函数的极值及其求法把凹与凸的分界点把凹与凸的分界点称为曲线的拐点称为曲线的拐点. .xyo)(xfy 1x2xxyo1x2x)(xfy 定义定义若曲线弧位于其每一点的切线上方若曲线弧位于其每一点的切线上方, ,则称该曲线是上凹的则称该曲线是上凹的若曲线弧位于其每一点的切线下方若曲线弧位于其每一点

2、的切线下方, ,则称该曲线是上凸的则称该曲线是上凸的. .ABCxyo二、曲线二、曲线凹凸凹凸与拐点的判定与拐点的判定内内若若在在导导数数内内具具有有二二阶阶在在上上连连续续在在如如果果),(,),(,)( bababaxf定理定理; ,)(, 0)()1( 上上的的图图形形是是上上凹凹的的在在则则baxfxf . ,)(, 0)()2( 上上的的图图形形是是上上凸凸的的在在则则baxfxf 证明证明, 0之之间间与与介介于于xx 阶阶导导数数内内具具有有在在因因为为11),()( baxf0( , )1:xa b 在在任任一一点点的的 阶阶泰泰勒勒展展开开式式为为，若若0)( xf)()()

3、(:000 xxxfxfxf 有有，则则若若0)(0)( fxf)()()(:000 xxxfxfxf 则有则有 . ,)(上上的的图图形形是是上上凹凹的的在在所所以以，baxf . ,)(上上的的图图形形是是上上凸凸的的在在所所以以，baxf20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf ，则则0)( fxyo)(xfy ab0 xx二、曲线二、曲线凹凸凹凸与拐点的判定与拐点的判定内内若若在在导导数数内内具具有有二二阶阶在在上上连连续续在在如如果果),(,),(,)( bababaxf定理定理; ,)(, 0)()1( 上上的的图图形形是是上上凹凹的的在在则则baxfxf . ,

4、)(, 0)()2( 上上的的图图形形是是上上凸凸的的在在则则baxfxf xyo)(xfy 1x2xxyo1x2x)(xfy . 3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy ，时时当当 0 x, 0 y，时时当当 0 x, 0 y(0,) 曲曲线线在在为为上上凹凹的的； . )0 , 0(是是曲曲线线的的拐拐点点故故P168 LT3(,0). 曲曲线线在在 是是上上凸凸的的.)0 , 0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点拐点拐点的判定的判定二、曲线凹凸与二、曲线凹凸与拐点拐点的判定的判定定理定理, 0)( , )( 00 xfxxf且且的的邻邻域域内内二

5、二阶阶可可导导在在设设函函数数. )(,( , )( )2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx ；即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁 )(,( , )( )1(000 xfxxfx 解解),( :D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00上凹上凹上凸上凸上凹上凹拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32(),32,0 ,( 凹凹区区间间为为32, 0凸凸区区间间为为列表讨论：列表讨论：43341.yxx 求求曲曲线线的的拐拐点点及及凹凹凸凸区区间

6、间P169 LT5. 3的的拐拐点点求求曲曲线线xy 解解: :, 0 x,3132 xy,9235 xy. , 0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,), 0( y内内在在0,) . 曲曲线线在在上上是是上上凸凸的的. 0 )(处连续处连续在在 xxf例例, 0,)0 ,( y内内在在(,0 . 曲曲线线在在上上是是上上凹凹的的. )0 , 0(3的的拐拐点点是是曲曲线线点点xy 曲线拐点的充分条件曲线拐点的充分条件, 0)( , )( 00 xfxxf且且的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数. )(,( , )( )2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近

7、旁两近旁xfxxfx . )()(,(,)(000的的拐拐点点曲曲线线也也可可能能是是连连续续点点不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意: :；即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁 )(,( , )( )1(000 xfxxfx 2.3.4 导数的应用导数的应用1. 1. 函数单调性的判别法函数单调性的判别法2. 2. 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3. 3. 函数的极值及其求法函数的极值及其求法 函数的极值及其求法函数的极值及其求法一、函数极值的定义一、函数极值的定义二、函数极值的求法二、函数极值的求法2.3.4 导数的应用导数的应用3 一、函数极值的定义一、函数极值的定义x)1

8、,( ), 2( )2 , 1(12)(xf )(xf 0032 166 6 ( )29 123PLTf xxxx 似似2( )618 12fxxx 2 1 263 2xx )1()(fxf )2()(fxf 621xx .)()(,)()( ;)()(,)()( ),(,),()( 000000的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称成成立立如如果果的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称成成立立如如果果内内有有定定义义在在设设函函数数定定义义xfxfxfxfxfxfxfxfxUxxUxf 函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值, ,使函数取得极值的点使函数取得

9、极值的点 x0 称为极值点称为极值点. .oxyab)(xfy 1x2x4x5x6xoxyoxy0 x0 x( (1) )极值点只能是区间内部的点，区间端点不会是极值点只能是区间内部的点，区间端点不会是. .( (2) )极值是局部概念，可有多个。极值是局部概念，可有多个。 极小值可能大于极大值。极小值可能大于极大值。2x4x5x6xoxy)(xfy 1x二、函数极值的求法二、函数极值的求法( ), .f x可可导导函函数数的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻点点 但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定是是极极值值点点例如例如, ,3xy , 00 xy0 x. 0)( )( )(3 0

10、00 xfxxxf处取得极值，则一定有处取得极值，则一定有处具有导数，且在处具有导数，且在在点在点设设必要条件必要条件定理定理. 但但不不是是极极值值点点定理定理4(第一充分条件第一充分条件) P163. )( , 0)( ),( ; 0)( ),( )1(00000处处取取得得极极大大值值在在点点则则有有而而，有有如如果果xxfxfxxxxfxxx . )( , 0)( ),( ; 0)( ),( )2(00000处处取取得得极极小小值值在在点点则则有有而而，有有如如果果xxfxfxxxxfxxx . )( , )(),( ),( )3(00000处处无无极极值值在在点点则则相相同同的的符符

11、号号及及如如果果xxfxfxxxxxx f( (x) )在在x0 0的去心的去心邻域可导邻域可导, x0点连续点连续, xyo0 x 3( )f xx P167 LT7x)1 ,(), 2( )2 , 1(12)(xf )(xf 00极大值极大值极小值极小值xyo0 x xyo0 x ( (极值点情形极值点情形) )2( )618 12fxxx 263 2xx 32 166 6 ( )29 123PLTf xxxx 似似xyoxyo0 x0 x ( (不是极值点情形不是极值点情形) )xyo0 x 0 xxyo ( (极值点情形极值点情形) )第一充分条件求极值的步骤第一充分条件求极值的步骤:

12、 :);()1(xf 求求导导数数(2) ;求求极极值值的的嫌嫌疑疑点点- - -单单调调区区间间可可能能的的分分界界点点，即即驻驻点点和和不不可可导导的的点点.)4(求求极极值值( (3) ) 根据嫌疑点两侧一阶导数的符号，判定出极值点。根据嫌疑点两侧一阶导数的符号，判定出极值点。23( )(4) (1).f xxx求求的的极极值值点点和和极极值值. )2(1)( 32的的极极值值求求出出函函数数 xxf课堂练习本：课堂练习本：132)1()4()( xxxf求函数求函数的极值点和极值的极值点和极值.解解:2332 (4)( )(1)3(1)xfxxx 1 x时，时，)(xf 不存在不存在,

13、 ,)1,( ), 1( , 0)( xf, 0)( xf)1( f35(1)3 (1)xx 0)( xf1 x所以嫌疑点：所以嫌疑点：121,1xx )1 , 1( , 0)( xf)1(f, 0 .433 所以所以-1,1都是极值点，相应极值为：都是极值点，相应极值为：解：解：. )2(1)( 32的的极极值值求求出出函函数数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不不存存在在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. )( 在在该该点点连连续续但但函函数数xfM2. 0)( xf. 1)2(为为极极大大值值 f定理定理4( (极值第一充分条件极值第

14、一充分条件) ). )( , 0)( ),( ; 0)( ),( )1(00000处处取取得得极极大大值值在在点点则则有有而而，有有如如果果xxfxfxxxxfxxx . )( , 0)( ),( ; 0)( ),( )2(00000处处取取得得极极小小值值在在点点则则有有而而，有有如如果果xxfxfxxxxfxxx . )( , )(),( ),( )3(00000处处无无极极值值在在点点则则相相同同的的符符号号及及如如果果xxfxfxxxxxx f( (x) )在在x0 0的去心的去心邻域可导邻域可导, x0点连续点连续,0 x 0 x 0 x 0 x 定理定理5 极值第二充分条件极值第二

15、充分条件 ( (判断驻点是否极值点判断驻点是否极值点) )000( ) ()0,()0,f xxfxfx 设设在在点点具具有有二二阶阶导导数数，那那么么 )( , 0)( )1(00处处取取得得极极大大值值；在在点点函函数数时时当当xxfxf . )( , 0)( )2(00处处取取得得极极小小值值在在点点函函数数时时当当xxfxf 定理定理5 ( (极值第二充分条件极值第二充分条件) )证明证明)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 时时，当当0 x00()fxx 有有时，时，当当0 x0()fxx 有有0, )( , 0)( )1(00处处取取得得极极大大值值；在在点点

16、函函数数时时当当xxfxf 00()limxfxxx 0 () fxxx 故故与与异异 号号 ，由第一充分条件由第一充分条件( (1)知，知，解解: :2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f18 )4( f故极大值故极大值,60 )2(f18)2(f故故极极小小值值.48 . 20243)( 23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxfLT, 0 , 0 Mm20243)(23 xxxxf2463)(2 xxxf)2)(4(3 xx定理定理3( (第二充分条件第二充分条件) )000( ) ()0,()0,

17、f xxfxfx 设设在在点点具具有有二二阶阶导导数数，那那么么 )( , 0)( )1(00处处取取得得极极大大值值；在在点点函函数数时时当当xxfxf . )( , 0)( )2(00处处取取得得极极小小值值在在点点函函数数时时当当xxfxf 注意注意: :00() fx ？定理定理5 极值第二充分条件极值第二充分条件 ( (判断直到判断直到n-1-1阶导数均阶导数均为为0 0的点是否极值点的点是否极值点) )(3)(1)0000( )0( )00( )00()0,()=()=.=()0,()0,(1)()0 ()0(2)nnnnfxfxfxfxfxnxfxfxnx 设设且且而而那那么么是

18、是偶偶数数时时，在在点点取取极极值值，取取极极小小值值取取极极大大值值是是奇奇数数时时，在在点点不不取取极极值值. .P167 LT83)(xxf 例如：例如：小结：小结： 判定极值的方法判定极值的方法一阶导数一阶导数二阶导数二阶导数0)( xf求驻点和不可导点求驻点和不可导点讨论驻点两侧的符号，由条件讨论驻点两侧的符号，由条件1确定确定求驻点求驻点代入驻点代入驻点, ,考察其二阶导数的符号，由条件考察其二阶导数的符号，由条件2确定确定局限性局限性0)( xf)(xf 求求0)( xf( )fx和和不存在的点，不存在的点，对于对于可采用充分条件可采用充分条件1来判断来判断.2.3.4 导数的应

19、用导数的应用4. 最大值、最小值问题最大值、最小值问题5. 渐近线渐近线1. 函数单调性的判别法函数单调性的判别法2. 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3. 函数的极值及其求法函数的极值及其求法 最值问题最值问题一、最大值、最小值的求法一、最大值、最小值的求法二、应用二、应用2.3.4 导数的应用导数的应用4一、最值的求法一、最值的求法oxyoxybaoxyabab ( ) , ( ) , .f xa bf xa b若若函函数数在在上上连连续续，除除个个别别点点外外处处处处可可导导，并并且且至至多多有有有有限限个个导导数数为为零零的的点点，则则在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值存存在在o

20、xyab)(xfy 1x2x3x4x5x极大值未必比极小值大极大值未必比极小值大注意注意: :如果函数在区间内只有一个极值如果函数在区间内只有一个极值, , 则这个极值就是最大值或最小值则这个极值就是最大值或最小值. .极值极值最值最值局域性局域性某一邻域内某一邻域内某一区间内某一区间内整体性整体性步骤步骤: :1. 求驻点、一阶不可导点求驻点、一阶不可导点; ;2. 求驻点和不可导点及区间端点的函数值；求驻点和不可导点及区间端点的函数值；0)( xf.,321xxxnx3. 比较大小比较大小, ,其中最大的就是函数在所求区间的其中最大的就是函数在所求区间的最大值最大值, ,最小的就是函数在所

21、求区间的最小值最小的就是函数在所求区间的最小值; ;)(1xf)(2xf).(3xf)(nxf)(af)(bf)(),(),(),.(),(),(max321bfafxfxfxfxfn)(),(),().(),(),(min321bfafxfxfxfxfn( ) , f xa b在在上上的的最最值值。解解: :)1)(2(6)( xxxf.4 , 3 141232 23上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解解方方程程, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7.142 )4(f，最大值最大值142)4( f比较得

22、比较得. 7)1( f最最小小值值P170 似似LT10注意注意: :如果函数在区间内只有一个极值如果函数在区间内只有一个极值, , 则这个极值就是最值则这个极值就是最值. .(1) 建立目标函数建立目标函数;(2) 求最大值或最小值求最大值或最小值;若目标函数只有唯一驻点，则该点处若目标函数只有唯一驻点，则该点处函数取最值函数取最值. .二、应用二、应用P170 LT11-13的的三三角角形形面面积积最最大大所所围围成成及及直直线线曲曲线线在在该该点点处处的的切切线线与与上上求求一一点点，使使曲曲边边成成一一个个曲曲边边三三角角形形，在在围围及及抛抛物物线线，由由直直线线 80 80 22

23、xyxyxyxy解解: :作图作图如图如图, ,200 (,),P xx设设所所求求切切点点为为为为则切线则切线 PT20002(),yxxxxTxyoPABCLT(8, 0),),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB )16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x, 0)1616643(41 020 xxS令令解得解得,16,31600 xxTxyoPABC),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ).(舍舍去去函数函数S=S(x0)在在0,8只有一个根，从实际情况分析只有一个根，从实际情况分析此时此时S应有最大值，应有最大值，20016 256 (,)3

24、9P xx所所求求切切点点为为，16()83S 2.3.4 导数的应用导数的应用4. 最大值、最小值问题最大值、最小值问题5. 渐近线渐近线1. 函数单调性的判别法函数单调性的判别法2. 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3. 函数的极值及其求法函数的极值及其求法渐近线渐近线. )(, ,)(的的一一条条渐渐近近线线就就称称为为曲曲线线那那么么直直线线距距离离趋趋向向于于零零的的到到某某定定直直线线如如果果点点曲曲线线移移向向无无穷穷远远时时沿沿着着上上的的一一动动点点当当曲曲线线定定义义xfyLLPPxfy xy11 例例如如-4-224-10-5510 1 y渐渐近近线线为为：01lim 1xx . 0 x和和渐近线渐近线2.3.4 导数的应用导数的应用5 1. 垂直渐近线垂直渐近线2. 水平渐近线水平渐近线3. 斜渐近线斜渐近线1. 垂直渐近线垂直渐近线) (轴的渐近线轴的渐近线垂直于垂直于 xlim( ),( ).xaf xxayf x 如如果果那那么么就就是是的的一一条条垂垂直直渐渐近近线线例如例如xy