中考数学专题：一次函数中的图形面积问题(解析版)

1、专题01 一次函数中的图形面积问题【模型展示】一、如何求下列阴影部分三角形的面积二、如何求下面两个阴影三角形的面积【例题精讲】1、如图，直线与轴、轴分别相交于点，点的坐标为，点的坐标为点是第二象限内的直线上的一个动点。（1）求的值（2）当点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）求当运动到什么位置（求的坐标）时，四边形的面积为，并说明理由。解：（1）直线y = kx+6与x轴相交于点E（8，0） 解得 （2）对于直线，点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点， 可设 （8x0）， 则P点到x轴得距离为， 又A（6，0）， AO= （8x0） （3）对于直线，

2、由 x=0，得 F（0,6）， 则OF=6 （8x0）到y轴的距离为x 解得,符合题意， 此时 P2、如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点（1）求点的坐标（2）请判断的形状并说明理由（3）动点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路线向点匀速运动（不与点重合），过点分别作轴于，轴于，设运动秒时，矩形与重叠部分的面积为，求：S与t之间的函数关系式参考答案：（1）点P的坐标为（2）POA是等边三角形 （3）当0t4时，如图，在RtEOF中，EOF=60°，OE=t，EF=t，OF=t，当4t8时，如图，设EB与OP相交于点C，CE=PE=t-4，AE=8-t，AF=4-t，EF=OF=

3、OA-AF=【针对训练】1、如图，一次函数yk1x+b的图象与y轴交于点B（0，6），与x轴交于点C，且与正比例函数yk2x的图象交于点A（1，4）（1）分别求出这两个函数的表达式及AOC的面积；（2）将正比例函致yk2x的图象沿y轴向下平移3个单位长度后得到直线l，请写出直线l对应的函数表达式解：（1）一次函数经过点B（0，6），A（1，4），得到，y2x6，C（3，0），正比例函数经过A（1，4），k24，y4x；AOC的面积×3×46；（2）将y4x沿着y轴向下平移3个单位长度后得到y4x32、如图，在平面直角坐标系中，把点A（2，3）向右平移4个单位长度，再向下移2

4、个单位长度得到点B（1）求直线AB的解析式；（2）直线AB与x轴交于点C，将直线OB沿BA方向从点B开始平移到点A停止，直线OB在平移过程中交AB于点E，交x轴于点F，记EFC的面积为S，求S的取值范围解：（1）把点A（2，3）向右平移4个单位长度，再向下移2个单位长度得到点B，B（2，1），设直线AB的解析式为ykx+b，解得，直线AB的解析式为y+2；（2）由直线AB：yx+2可知C（4，0），B（2，1），直线OB的解析式为yx，设平移后的解析式为yx+n，把A（2，3）代入得3+n，解得n4，直线EF经过A时的解析式为y+4，令y0，则x8，此时S有最大值，SCFyA（8+4）

5、5;318，当直线EF与OB重合时，S有最小值，SOCyB×24，S的取值范围为4S183、如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），OAOB，点C（3，n）在直线l1上（1）求直线l1和直线OC的解析式；（2）点D是点A关于y轴的对称点，将直线OC沿y轴向下平移，记为l2，若直线l2过点D，与直线l1交于点E，求BDE的面积解：（1）点B（0，4），OAOB，OAOB2，A（2，0），设AB解析式ykx+b，解得：，直线I1的解析式：y2x+4，C（3，n）在直线I1上，n3×2+4n2C（3，2）设OC的解析式：yk1x23k1k1，直

6、线OC解析式yx；（2）D点与A点关于y轴对称D（2，0）设DE解析式yx+b，0×2+b，b，DE解析式yx，当x0，y，解得：，E（4，4），SBDE×（2+2）（4+4）164、如图，直线l1：yx与直线l2相交于点A，已知点A的纵坐标为，直线l2交x轴于点D，已知点D横坐标为4，将直线l1向上平移3个单位，得到直线l3，交x轴于点C，交直线l2于点B（1）求直线l2的函数表达式；（2）求BOC的面积解：（1）直线l1：yx与直线l2相交于点A，已知点A的纵坐标为，A（1，），设直线l2的函数表达式为ykx+b，将A（1，），D（4，0）代入得，解得，直线l2为yx+

7、2；（2）将直线l1向上平移3个单位，得到直线l3为yx+3，解得，B（，），在直线l3为yx+3中，令y0，则x2，C（2，0），SBOC5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykx+b的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数yx的图象交点为C（m，4）（1）求一次函数ykx+b的解析式；（2）求BOC的面积；（3）若点D在第二象限，DAB为等腰直角三角形，则点D的坐标为 解：（1）点C在正比例函数图象上，m4，解得：m3，点C（3，4）、A（3，0）在一次函数图象上，代入一次函数解析式可得，解这个方程组得，一次函数的解析式为yx+2；（2）在中，令x0，解得y2，B（

8、0，2）SBOC×2×33；（3）过点D1作D1Ey轴于点E，过点D2作D2Fx轴于点F，如图，点D在第二象限，DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，ABBD2，D1BE+ABO90°，ABO+BAO90°，BAOEBD1，在BED1和AOB中，BED1AOB（AAS），BEAO3，D1EBO2，即可得出点D的坐标为（2，5）；同理可得出：AFD2AOB，FABO2，D2FAO3，点D的坐标为（5，3），D1ABD2BA45°，AD3B90°，D3（，），综上可知点D的坐标为（2，5）或（5，3）或（，）故答案为：（2，5）或（5，

9、3）或（，）6、如图1，在平面直角坐标系中，OB10，F是y轴正半轴上一点（1）若OF2，求直线BF的解析式；（2）设OFt，OBF的面积为s，求s与t的函数关系（直接写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点B作BAx轴，点C在x轴上，OFOC，连接AC，CD直线BF于点D，ACB2CBD，AC13，OFOC，ACBD交于点E，求此时t的值解：（1）OB10，OF2，B（10，0），F（0，2），设直线BF的解析式为ykx+b，直线ykx+b经过点B（10，0），F（0，2），解得：，直线BF的解析式为yx+2；（2）OBF的面积为S5t（t0）；（3）如图，延长AB至点

10、R，使BRAB，连接CR，延长CD交y轴于点T，过点T，作TMx轴交BA的延长线于点M，过点T作TKCR交RC的延长线于点K，连接RT，ABBC，ABBR，BC垂直平分AR，ACCR13，ACBRCB，设CBD，则ACB2，BDCD，BDC90°，BCD90°，ACBRCB2，ACK180°4，KCTBCKBCDBCA+ACKBCD90°，KCTBCD，TKKR，OTOC，OTTK，TCTC，RtOTCRtKTC（HL），OCCKTKt，OFOC，BOFTOC，FBOOTC，BOFTOC（AAS），OBOT10，TK10，ABO+BOT90°+

11、90°180°MBOT，MTOB，四边形OBMT为平行四边形，OBOT，BOT90°四边形OBMT为正方形，MBMTOT10，MTTK，RTRT，RtRMTRtRTK（HL），RKRMCR+CK13+t，BRRMMB3+t，BCOB+OC10+t，在RtBRC中，BR2+BC2RC2，（3+t）2+（10+t）2132，解得：t2（t15舍去）t的值为27、如图1在平面直角坐标系中，一次函数yx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A点C，过点1作ABx轴，垂足为点A，过点C作CBy轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B（1）线段OC，OA，AC的长分别为OC ，OA ，A

12、C ，ACO 度（2）将图1中的ABC折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2，求线段AD的长；（3）点M是直线AC上一个动点（不与点A、点C重合）过点M的另一条直线MN与y轴相交于点N是否存在点M，使AOC与MCN全等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）一次函数yx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，A（2，0），C（0，2），OA2，OC2，ABx轴，CBy轴，AOC90°，四边形OABC是矩形，ABOC8，BCOA4，在RtABC中，根据勾股定理得，AC4，ACO30°故答案为：2；

13、2；4；30（2）由（1）知，BC2，AB2，由折叠知，CDAD，在RtBCD中，BDABAD2AD，根据勾股定理得，CD2BC2+BD2，即：AD24+（2AD）2，AD；（3）如图1，MNy轴，若AOCMNC，则CNCO，M点的纵坐标为4，代入yx+2得，x2，如图2，MNAC，MPy轴，SMCNSAOC，CNAC4，PM，M点的橫坐标为或，代入yx+2得，y3+2或y3+2M点的坐标为（）或（）综合以上可得M点的坐标为（2，4）或（）或（）8、在平面直角坐标系xOy中，直线yx+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC交x轴负半轴于点C，BCA30°，如图（1）求直线BC的解

14、析式（2）在图中，过点A作x轴的垂线交直线CB于点D，若动点M从点A出发，沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点N从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，直线MN与直线AD交于点S，如图，设运动时间为t秒，当DSNBOC时，求t的值（3）若点M是直线AB在第二象限上的一点，点N、P分别在直线BC、直线AD上，是否存在以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）直线yx+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，x0时，y2，y0时，x2，A（2，0），B（0，2），OBAO2，在RtCOB中，BOC90°，BC

15、A30°，OC2，C（2，0），设直线BC的解析式为ykx+b，代入B，C两点的坐标得，k，b2，直线BC的解析式为yx+2；（2）分别过点M，N作MQx轴，NPx轴，垂足分别为点Q，P（）如图1，当点M在线段AB上运动时，CN2t，AMt，OBOA2，BOABOC90°，BAOABO45°，BCO30°，NPMQt，MQx轴，NPx轴，NPQMQA90°，NPMQ，四边形NPQM是矩形，NSx轴，ADx轴，ASMQy轴，四边形MQAS是矩形，ASMQNPt，NSx轴，ASMQy轴，DNSBCO，DSNDAOBOC90°，当DSBO2

16、时，DSNBOC（AAS），D（2，+2），DS+2t，+2t2，t（秒）；（）当点M在线段AB的延长线上运动时，如图2，同理可得，当DSBO2时，DSNBOC（AAS），DSt（+2），t（+2）2，t+4（秒），综合以上可得，t秒或t+4秒时，DSNBOC（3）存在以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形：M（22，2+4）或M（24，2+6）或M（2+2，2）M是直线AB在第二象限上的一点，点N，P分别在直线BC，直线AD上，设点M（a，a+2），N（b，b+2），P（2，c），点B（0，2），（）当以BM，BP为邻边构成菱形时，如图3，CBO60°，OBAOABPAF45°，DBAMBNPBN75°，MBE45°，PBF30°，MBME，PFAP，PB2PFAP，四边形BMNP是菱形，解得，a22，M（22，2+4）（此时点N与点C重合），（）当以BP为对角