【中考数学压轴题专题突破12】二次函数中的直角三角形存在性问题

1、【中考压轴题专题突破】二次函数中的直角三角形存在性问题21.如图，抛物线 y=ax2+bx+c (aw0)与x轴父于 A, B两点，与y轴父于点 C (0, 3),且OB=OC.直线y = x+1与抛物线交于 A、D两点，与y轴交于点E,点Q是抛物线的顶点，设直线 AD上方的抛物线上的动点 P的横坐标为m.(1)求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标.(2)连接CQ,直接写出线段 CQ与线段AE的数量关系和位置关系.(3)连接 PA、PD,当 m 为何值时 S"PD=Sadab?叵(4)在直线AD上是否存在一点 H,使 PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明

2、理由.备用图第6页(共10页)2.如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c (aw0)的对称轴为直线 x=-1,抛物线经过 A (1, 0),C (0, 3)两点，与x轴交于A、B两点.(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线 BC和抛物线的解析式.(2)在该抛物线的对称轴 x= - 1上找一点M ,使点M到点A的距离与到点C的距离之 和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为该抛物线的对称轴 x= - 1上的一个动点，直接写出使 BPC为直角三角 形的点P的坐标.提示：若平面直角坐标系内有两点P (x1, y1)、Q (x2, y2),则线段PQ的长度PQ =3.如图，已知抛物线 y=ax2

3、+bx+3与x轴交于点 A ( - 1, 0)、B (3, 0),顶点为 M.(1)求抛物线的解析式和点 M的坐标；(2)点E是抛物线段BC上的一个动点，设 BEC的面积为S,求出S的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.4.综合与探究如图，抛物线 y=ax2+bx+c (aw0)与x轴交于A (-3, 0)、B两点，与y轴相交于点 当x=-4和x=2时，二次函数y= ax2+bx+c (aw0)的函数值y相等，连 接 AC, BC.(1)求抛物线的解析式；(2)判断 ABC

4、的形状，并说明理由；(3)若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿 BA、BC边运动, 其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为 t秒时，连接MN,将4 BMN沿MN翻折，B点恰好落在 AC边上的P处，则t的值为，点P的坐标(4)抛物线对称轴上是否存在一点F,使得 ACF是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标.参考答案与试题解析1.【分析】(1)直线y = x+1与抛物线交于 A 点，则点 A ( - 1, 0)、点 E (0, 1),可 得出点B、C的坐标分别为：(3, 0)、(0, 3),用待定系数法求出二次函数解

5、析即 可求解；(2)求出CQ和AE的长，可得出CQ =AE,由两直线的解析式 k相等可得出CQ 与AE平行；(3)联立直线 y= x+1与抛物线的表达 式，并解得x= - 1或2.故点D (2, 3), 过点P作y轴的平行线交AD于点K,设2点 P( m, - m +2m+3),则点 K(m,m+1), 根据面积关系可求出 m的值；(4)分/ QOH=90°、/ PQH = 90°、 /QHP = 90°三种情况，分别求解即可.【解答】(1)直线y=x+1与抛物线交于 A 点,则点 A (T, 0)、点 E (0, 1). . OB=OC, C (0, 3),.点

6、B的坐标为(3,0),故抛物线的表达式为 y=a (x+1) (x-3) =a (x - 2x- 3),将点C的坐标代入，得-3a=3,解得a= - 1,，抛物线的表达式为 y= - x2+2x+3, ，函数的对称轴为 x=1,故点Q的坐标 为(1, 4).(2) CQ=AE,且 CQ/AE,理由：. Q (1, 4), C (0, 3),cq=j712 + (4-3)2 =2,CQ的解析式为y=x+3,又 AE = J/十产正,直线AE的解析式为y = x+1, .CQ=AE, CQ/AE,y="1 y=-.点D的坐标为(2,3).如图1,过点P作y轴的平行线，交AD于点K,ffl

7、l设点 P (m, - m2+2m+3),则点 K (m, m+1)1 , ? _ . 1万X3X t-m +2mt3-ni-l) =一Sdab=yX4X3.解得m = 0或1.(4)存在，点P的坐标为(2, 3)或(0,3)或-小 2 )设点 H (t, t+1),点 P ( m, n), n=-m2+2m+3,而点 Q （1, 4）,当/ QPH =90°时，如图2,过点P作y轴的平行线，过点H、点Q作x轴的平行线，交过点 P且平行. / GQP+/QPG = 90° , / QPG+ZHPM = 90° ,/ HPM = / GQP , / PGQ = /

8、HMP = 90° , PH = PQ,PGQA HMP (AAS), .PG=MH, GQ=PM,即 4 n|=|tm|, |1 一m|=|n (t+1) |,解得m= 2或n= 3.当 n = 3 时，3= - m2+2m+3,解得 mi = 0, m2=2,点 P (2, 3)或(0, 3).同理可得m1 = 0, m2=3 （舍去），故点P第6页决10页）当/PQH = 90°时，如图3所示，为（0, 3）.当/ PHQ = 90°时，同理可得n=2,解得眄/1r历（舍去），m厂17T 故点P为（1二历，2）.综上可得，点P的坐标为（2, 3）或（0, 3

9、）或（1-詹 I 2） .【点评】本题是二次函数综合题，主要 考查了待定系数法求函数解析式（包括 二次函数解析式，一次函数解析式），三 角形面积，全等三角形的判定与性质， 等腰直角三角形的判定与性质，坐标与 图形的性质，正确进行分类是解题的关 键.2 【分析】（1）用待定系数法即可求出直线 BC和抛物线的解析式；（2）设直线BC与对称轴x= - 1的交点 为M,则此时 MA + MC的值最小.把 x =-1代入直线y=x+3得y的值，即可 求出点M坐标；（3）设 P （- 1, t）,又因为 B （- 3, 0）, C（0, 3）,所以可得 BC2=18, PB2=（- 1+3） 2+t2=4

10、+t2, PC2= （T） 2+ （t - 3） 2= t2 - 6t+10 ,再分三种情况分别讨论求 出符合题意t值即可求出点P的坐标.解得：Ja = -1 b=-2l c=3PC2= (- 1) 2+ (t-3) 2=t2- 6t+10,若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2，抛物线解析式为 y=-x2-2x+3,即：18+4+t2=t26t+10 解之得:t=- 2;第9页（共10页）:对称轴为x= - 1,且抛物线经过 A （1,若点c为直角顶点，则bc2+pc2=pb20),即：18+t2-6t+10=4+t2 解之得：t=4,把 B ( 3, 0)、C (0, 3)分别代入若点

11、P为直角顶点，则pb2+pc2=bc2直线 y=mx+n,即：4+t2+t2 6t+10= 18 解之得：t1 =n=3，t2 =解得:Ml综上所述P的坐标为（-1, - 2）或（-直线y=mx+n的解析式为y=x+3;1, 4)或(-1,Elf2（2）设直线BC与对称轴x= - 1的交点【点评】本题是二次函数的综合题，考为M,则此时MA+MC的值最小.查了二次函数的图象与性质，待定系数把x= - 1代入直线y=x+3得，y= - 1+3法求函数的解析式，利用轴对称性质确=2,定线段的最小长度，两点间的距离公式M (T, 2),的运用，直角三角形的性质等知识点,即当点M到点A的距离与到点C的距

12、离熟练掌握二次函数的性质是解题的关之和最小时 M的坐标为（-1, 2）;键.(3)如图，设 P ( 1, t),3 .【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得a、b的值即可；利用配方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点M的坐标;（2）利用待定系数法确定直线BC解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，然后根据两点间的距离公式求得EF长度，结合三角形的面积公式BC2=18, PB2= ( 1+3) 2+t2 = 4+t2,求得点E的横坐标，易得其纵坐标，则又 B ( 3, 0) , C (0, 3),列出函数式，根据二次函数最值的求法点E的坐标迎刃而

13、解了；(3)需要分类讨论：点 A、P、C分别为 直角顶点，利用勾股定理求得答案.【解答】(1)二抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点 A (T, 0)、B (3, 0),解得J役一一1.lb=2 . y= - x2+2x+3 = - (x-1) 2+4,贝U M (1, 4);(2)如图，作EF/y轴交BC于点F B (3, 0) , C (0, 3), 直线BC解析式为：y = - x+3.设 E(m, - m2+2m+3),贝U F (m, - m+3). .一 ，2 .EF= ( - m +2m+3) - (-m+3)=- m2+3m.S="j-EF?OB =(- m2+3m

14、) x 3 =-(m - -) 2+_L228当m=?时，S最大=答.28此时，点E的坐标是(二，型)； 24(3)设 P (1, n) , A (T, 0)、C (0,3),AC2= 10, AP2=4+n2, CP2= 1+ (n- 3) 2= n2- 6n+10.当 AC± AP 时，AC2+AP2=CP2,即10+4+ n2= n2- 6n+10.解得 n=一二.3当 ACXCP 时，AC2+CP2=AP2,即10+n26n+10= 4+n2.解得 n=". 3当 API CP 时，AP2+CP2=AC2,即 4+n2+n2 6n+10= 10.解得 n=1 或 2

15、.综上所述，存在，符合条件的点 P的坐 标是(1,一1)或(1,母)或(1, 1) 或(1, 2),【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数 和几何图形结合起来，利用点的坐标的 意义表示线段的长度，从而求出线段之 间的关系.4.【分析】(1)由对称性先求出点 B的坐标， 可设抛物线的解析式为 y=a (x+3) (x- 1),将 C 坐标代入 y = a (x+3) (x1) 即可；(2)先判断 ABC为直角三角形，分别 求出AB, AC, BC的长，由勾股定理的 逆定理可证明结论；(3)因为点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位

16、长度的速度分别沿 BA、BC边运动，所以BM = BN = t,证四边形 PMBN是菱形，设PM与y轴交于H,证 CPNA CAB ,由相似三角形的性质可 求出t的值，CH的长，可得出点 P纵坐 标，求出直线AC的解析式，将点P纵坐 标代入即可；(4)求出直线BC的解析式，如图 2, 当/ACF=90°时，点B, C, F在一条 直线上，求出直线BC与对称轴的交点即 可；当/ CAF = 90°时，求出直线 AF的 解析式，再求其与对称轴的交点即可.【解答】(1) .在抛物线y=ax2+bx+c中， 当x= - 4和x = 2时，二次函数 y =2ax + bx+ c的函数

17、值y相等,，抛物线的对称轴为 x= 7+2 = - 1, rn又,抛物线 y=ax2+bx+c与x轴交于 A (-3, 0)、B 两点，由对称性可知 B (1, 0),，可设抛物线的解析式为 y=a (x+3) (x T),将 C (0,6)代入 y= a (x+3) (x - 1), 得，-3a 解得，a=一当，此抛物线的解析式为y= - g! ( x+3)(x - 1) = - i-x2 -入 3 x+y;33(2) ABC为直角三角形，理由如下： . A (-3, 0), B (1, 0), C (0, V3), .OA=3, OB=1, OC=V3,AB= OA+OB= 4, AC=刊

18、。=2-后,BC=加2仅2=2, , AC2+BC2= 16 , AB2=16, ac2+bc2=ab2,. .ABC是直角三角形；(3)二点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿 BA、BC边运动，.BM= BN=t,由翻折知， BMNA PMN ,.BM= PM = BN = PN=t, 四边形PMBN是菱形， .PN /AB, .CPNscab,设 pm 与 y 轴交于 H,解得，t=三，ch='.3, 回 目 .OH= OC- CH=V3 -近,33.yp=¥L设直线AC的解析式为y = kx+/日， 将点 A ( - 3, 0)代入 y=kx+/3,得，k=昱,3 直线AC的解析式为y=-x+/3, ,LJ将 yp=22g代入 y=llx+/3,33x= - 1 ,.P (- 1,3故答案为：g, (- 1, (4)设直线BC的解析式为y=kx+/3,第11页(共10页)【点评】本题考查了待定系数法求解析 式，勾股定理，相似三角形的判定与性 质，直角三角形的性质等，解题关键是 注意分类讨论思想在解题过程中的运 用.将点 B (1, 0)代入 y = kx+J&, 得，k= -，直线BC的解析式为y= - JXx+d", 由(2)知 ABC为直角三角形，/ ACB= 90° ,如图2,当/