初中数学中考压轴题专项训练尖子生辅导

1、初中数学中考压轴题专项训练尖子生辅导一解答题（共30小题）1（2014南安市一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；（2）求t为何值时，DPA的面积最大，最大为多少？（3）在点P从O向A运动的过程中，DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值若不能，请说明理由；（4）请直接写出随着点P的

2、运动，点D运动路线的长考点：二次函数的最值；待定系数法求一次函数解析式；直角三角形的性质；矩形的性质菁优网版权所有专题：压轴题；动点型分析：（1）设出P点坐标，再求出CP的中点坐标，根据相似的性质即可求出D点坐标；（2）根据D点的坐标及三角形的面积公式直接求解即可；（3）先判断出可能为直角的角，再根据勾股定理求解；（4）根据点D的运动路线与OB平行且相等解答即可解答：解：（1）点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，OP=t，而OC=2，P（t，0），设CP的中点为F，则F点的坐标为（，1），将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，

3、）；（2）D点坐标为（t+1，），OA=4，SDPA=AP×=（4t）×=（4tt2）=（t2）2+1，当t=2时，S最大=1；（3）能构成直角三角形当PDA=90°时，PCAD，由勾股定理得，PD2+AD2=AP2，即（）2+1+（4t1）2+（）2=（4t）2，解得，t=2或t=6（舍去）t=2秒当PAD=90°时，此时点D在AB上，可知，COPPAD，=，=，PA=1，即t+1=4，t=3秒综上，可知当t为2秒或3秒时，DPA能成为直角三角形（4）根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2，点D运动路线的长为2点评：此题比较复杂，是动点问题在实际

4、生活中的运用，结合了二次函数、直角三角形的相关性质，具有一定的综合性2（2013佛山）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根

5、据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），解得，所以抛物线的函数表达式为y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21，抛物线的顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2；（3）如图，抛物线的顶点坐标为（2，1），PP=1，阴影部分的面积等于平行四边形AAPP的面积，平行四边形AAPP的面积=1×2=2，阴影部分的面积=2点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面

6、积转化为平行四边形的面积是解题的关键3（2012邵阳）如图所示，已知抛物线C0的解析式为y=x22x（1）求抛物线C0的顶点坐标；（2）将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1、C2、C3、Cn（n为正整数）求抛物线C1与x轴的交点A1、A2的坐标；试确定抛物线Cn的解析式（直接写出答案，不需要解题过程）考点：二次函数图象与几何变换菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后即可得到顶点坐标；（2）先求出原抛物线与x轴的交点坐标，再根据向右平移横坐标加，纵坐标不变求出交点A1、A2的坐标即可；根据原抛物线的顶点坐标求出抛物线Cn的顶点坐标，然

7、后利用顶点式解析式的形式写出即可解答：解：（1）y=x22x=（x1）21，抛物线C0的顶点坐标为（1，1）；（2）当y=0时，则有x22x=0，解得：x1=0，x2=2，则O（0，0），A1（2，0），将抛物线C0向右平移2个单位，得到抛物线C1，此时抛物线C0与x轴的交点O（0，0）、A1（2，0）也随之向右平移2个单位，抛物线C1与x轴的交点A1、A2的坐标分别为：A1（2，0）、A2（4，0）；抛物线Cn的顶点坐标为（1+2n，1），则抛物线Cn的解析式为：y=x（1+2n）21，即y=x2（4n+2）x+4n2+4n点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的坐标的移动解答图象的

8、移动是解题的关键，平移规律为“左加右减，上加下减”4（2011自贡）已知抛物线y=ax2+2x+3（a0）有如下两个特点：无论实数a怎样变化，其顶点都在某一条直线l上；若把顶点的横坐标减少，纵坐标增大分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax2+2x+3（a0）上（1）求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3（a0）的顶点所在直线l的解析式；（2）请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；（3）你能根据特点的启示，对一般二次函数y=ax2+bx+c（a0）提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并

9、给予证明考点：二次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式菁优网版权所有专题：压轴题；开放型；函数思想分析：（1）取a=1和1，求出两点的坐标，用待定系数法求出直线l的解析式即可；（2）求出抛物线y=ax2+2x+3的顶点P坐标为，根据其取值，即可得出不是该抛物线的顶点的坐标；（3）猜想：对于抛物线y=ax2+bx+c（a0），将其顶点的横坐标减少，纵坐标增加分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax2+bx+c（a0）上；求出其横、纵坐标，把横坐标代入函数式，验证即可；解答：解：（1）取a=1，得

10、抛物线y=x2+2x+3，其顶点为P1（1，2）取a=1，得抛物线y=x2+2x+3，其顶点为P2（1，4）由题意有P1、P2在直线l上，设直线l的解析式为y=kx+b，则解得：直线l的解析式为y=x+3（2）抛物线y=ax2+2x+3的顶点P坐标为显然P在直线y=x+3上又能取到除0以外的所有实数，在y=x+3上仅有一点（0，3）不是该抛物线的顶点（3）猜想：对于抛物线y=ax2+bx+c（a0），将其顶点的横坐标减少，纵坐标增加分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax2+bx+c（a0）上证明如下：抛物线y=ax2+b

11、x+c（a0）的顶点坐标为（），点A的坐标为，点B的坐标为时，点A在抛物线y=ax2+bx+c（a0），同理有B也在抛物线上，故结论成立点评：本题主要考查了二次函数的解析式及用待定系数法求函数的解析式，熟记二次函数的顶点坐标公式及其性质，是正确解答的关键5（2011泰州）已知二次函数y=x2+bx3的图象经过点P（2，5）（1）求b的值并写出当1x3时y的取值范围；（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）在这个二次函数的图象上，当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边

12、的长，请说明理由考点：二次函数图象上点的坐标特征；三角形三边关系菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（1）把（2，5）代入二次函数y=x2+bx3，求出b，根据图象的对称轴即可得出y的范围；（2）不能，因为代入求出y1=5，y2=12，y3=21，不符合三边关系定理；求出y1+y2y3的值即可解答：解：（1）把（2，5）代入二次函数y=x2+bx3得：5=42b3，b=2，y=x22x3=（x1）24，抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x=1，把x=1代入得：y=4，把x=3代入得：y=0，当1x3时y的取值范围是4y0，答：b的值是2，当1x3时y的取值范围是4y0（2）答：当m=4时，

13、y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长理由是当m=4时，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P3（6，y3），代入抛物线的解析式得：y1=5，y2=12，y3=21，5+1221，当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长理由是：把P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）代入y=x22x3=（x1）24得：y1=（m1）24，y2=（m+11）24，y3=（m+21）24，y1+y2y3=（m1）24+（m+11）24（m+21）24=（m2）28，m5，（m2）280，y1+y2y3，根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两

14、小边的和大于第三边），当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能正确根据定理进行计算是解此题的关键6（2010镇江）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为x，即：当n为非负整数时，如果则x=n如：0=0.48=0，0.64=1.493=1，2=2，3.5=4.12=4，试解决下列问题：（1）填空：=3（为圆周率）；如果2x1=3，则实数x的取值范围为；（2）当x0，m为非负整数时，求证：x+m=m+x；举例说明x+y=x+y不恒成立；（3）求满足x=的所有非负实数x的值；

15、（4）设n为常数，且为正整数，函数的自变量x在nxn+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足=n的所有整数k的个数记为b求证：a=b=2n考点：二次函数的性质；一元一次不等式的应用；一次函数的性质菁优网版权所有专题：证明题；压轴题分析：（1）的十分位为1，应该舍去，所以精确到个位是3；如果精确数是3，那么这个数应在2.5和3.5之间，包括2.5，不包括3.5，让2.52x13.5，解不等式即可；（2）分别表示出x+m和x，即可得到所求不等式；举出反例说明即可，譬如稍微超过0.5的两个数相加；（3）x为整数，设这个整数为k，易得这个整数应在应在k和k+之间，包括k，不包括k+，求得整数

16、k的值即可求得x的非负实数的值；（4）易得二次函数的对称轴，那么可求得二次函数的函数值在相应的自变量的范围内取值，进而求得相应的a的个数；利用所给关系式易得的整数个数为2n，由此得证解答：解：（1）3；由题意得：2.52x13.5，解得：；（2）证明：设x=n，则为非负整数；，且n+m为非负整数，x+m=n+m=m+x举反例：0.6+0.7=1+1=2，而0.6+0.7=1.3=1，0.6+0.70.6+0.7，x+y=x+y不一定成立；（3）x0，为整数，设x=k，k为整数，则，Ok2，k=0，1，2，x=0，（4）函数，n为整数，当nxn+1时，y随x的增大而增大，即，y为整数，y=n2n

17、+1，n2n+2，n2n+3，n2n+2n，共2n个y，a=2n，k0，=n，则，比较，得：a=b=2n点评：解决本题的关键是理解：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为x，即：当n为非负整数时，如果，则x=n7（2010红河州）二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；（2）求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点菁优网版权所有专题：压轴题；开放型分析：（1）由平移规律求出新抛物线的解析式；（2）令

18、y=0，求出x的值，即可得交点坐标抛物线开口向上，当x的值在两交点之外y的值大于0解答：解：（1）画图如图所示：依题意得：y=（x1）22=x22x+12=x22x1平移后图象的解析式为：x22x1（2）当y=0时，x22x1=0，即（x1）2=2，即平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为（，0）和（，0）由图可知，当x或x时，二次函数y=（x1）22的函数值大于0点评：主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式会利用方程求抛物线与坐标轴的交点8（2010青岛）已知：把RtABC和RtDEF按如图（1）摆放（点C与点

19、E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上ACB=EDF=90°，DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm如图（2），DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动，在DEF移动的同时，点P从ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动当DEF的顶点D移动到AC边上时，DEF停止移动，点P也随之停止移动、DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0t4.5）解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一

20、时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由考点：二次函数的最值；线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；（2）作PMBC，将四边形的面积表示为SABCSBPE即可求解；（3）假设存在符合条件的t值，由相似三角形的性质即可求得解答：解：（1）点A在线段PQ的垂直平分线上，AP=AQ；DEF=45°，ACB=90

21、°，DEF+ACB+EQC=180°，EQC=45°；DEF=EQC；CE=CQ；由题意知：CE=t，BP=2t，CQ=t；AQ=8t；在RtABC中，由勾股定理得：AB=10cm；则AP=102t；102t=8t；解得：t=2；答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；（2）过P作PMBE，交BE于MBMP=90°；在RtABC和RtBPM中，；PM=；BC=6cm，CE=t，BE=6t；y=SABCSBPE=；，抛物线开口向上；当t=3时，y最小=；答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q

22、、F三点在同一条直线上；过P作PNAC，交AC于NANP=ACB=PNQ=90°；PAN=BAC，PANBAC；，；NQ=AQAN，NQ=8t（）=ACB=90°，B、C、E、F在同一条直线上，QCF=90°，QCF=PNQ；FQC=PQN，QCFQNP；，；0t4.5，；解得：t=1；答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、特殊图形的面积的求法等知识，图形较复杂，考查学生数形结合的能力，综合性强，难度较大9（2010南通）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的

23、动点（不与B、C重合）连接DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y=，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？考点：二次函数的最值；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质菁优网版权所有专题：压轴题；动点型分析：（1）利用互余关系找角相等，证明BEFCDE，根据对应边的比相等求函数关系式；（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；（3）DEF=90°，只有当DE=EF时，DEF为等腰三角形，把条件代入即可解答：解：（1）EFDE，BEF=90°CED

24、=CDE，又B=C=90°，BEFCDE，=，即=，解得y=；（2）由（1）得y=，将m=8代入，得y=x2+x=（x28x）=（x4）2+2，所以当x=4时，y取得最大值为2；（3）DEF=90°，只有当DE=EF时，DEF为等腰三角形，BEFCDE，BE=CD=m，此时m=8x，解方程=，得x=6，或x=2，当x=2时，m=6，当x=6时，m=2点评：本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式10（2010台州）如图，RtABC中，C=90°，BC=6，AC=8点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从

25、B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQAB于Q，交AC于点H当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动设BP的长为x，HDE的面积为y（1）求证：DHQABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，HDE为等腰三角形？考点：二次函数的最值；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论分析：（1）根据对称性可得HD=HA，那么可得HDQ=A，加上已有的两个直角相等，那么所求的三角形相似；（2）分0x2.5；2.5x5两种情况讨论，得到y关于x的函数关系式

26、，再利用二次函数的最值即可求得最大值；（3）等腰三角形有两边相等，根据所在的不同位置再分不同的边相等解答解答：（1）证明：A、D关于点Q成中心对称，HQAB，HQD=C=90°，HD=HA，HDQ=A，DHQABC（2）解：如图1，当0x2.5时，ED=104x，QH=AQtanA=x，此时y=（104x）×x=+x，当x=时，最大值y=，如图2，当2.5x5时，ED=4x10，QH=AQtanA=x，此时y=（4x10）×x=x=（x）2当2.5x5时，y有最大值，当x=5时，最大值为y=，y与x之间的函数解析式为y=，则当2.5x5时，y有最大值，其最大值是y

27、=综上可得，y的最大值为（3）解：如图1，当0x2.5时，若DE=DH，DH=AH=x，DE=104x，104x=，x=EDH90°，EHED，EHDH，即ED=EH，HD=HE不可能；如图2，当2.5x5时，若DE=DH，4x10=，x=；若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=5；若ED=EH，则ADH=DHE，又点A、D关于点Q对称，A=ADH，EDHHDA，=，x=，当x的值为，5，时，HDE是等腰三角形点评：本题综合考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等问题，注意分不同位置，边长相等的不同情况探讨三角形为等腰三角形的条件11（2010湘潭）如图，在直角梯形

28、ABCD中，ABDC，D=90°，ACBC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0t5）（1）求证：ACDBAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：代数几何综合题；压轴题分析：（1）由CDAB，得DCA=CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似（2）在RtABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即

29、可求出DC的长（3）分析图象可知：四边形AFEC的面积可由ABC、BEF的面积差求得，分别求出两者的面积，即可得到y、t的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值解答：解：（1）CDAB，BAC=DCA又ACBC，ACB=90°，D=ACB=90°，ACDBAC（2）RtABC中，AC=8cm，ACDBAC，=，即，解得：DC=6.4cm（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，ACB=EGB=90°，B公共，ACBEGB，即，故；y=SABCSBEF=；故当t=时，y的最小值为19点评：此题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求

30、法以及二次函数最值的应用等知识，能够将面积问题转换为二次函数的最值问题是解答（3）题的关键12（2010宁德）如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90°，BC=6，AD=3，DCB=30°点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边EFG设E点移动距离为x（x0）（1）EFG的边长是x（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在D；（2）若EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求：当0x2时，y与x之间的函数关系式；当2x6时，y与x之间的函数关系式；（3）探求（2）中得到的函数y在x取含何值时，

31、存在最大值，并求出最大值考点：二次函数的最值；梯形菁优网版权所有专题：压轴题；分类讨论分析：（1）根据等边三角形的三边相等，则EFG的边长是点E移动的距离；根据等边三角形的三线合一和F点移动速度是E点移动速度的2倍，即可分析出BF=4，此时等边三角形的边长是2，则点G和点D重合；（2）当0x2时，重叠部分的面积即为等边三角形的面积；当2x6时，分两种情况：当2x3时和当3x6时，进行计算；（3）分别求得（2）中每一种情况的最大值，再进一步比较取其中的最大值即可解答：解：（1）点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，且F点移动速度是E点移动速度的2倍，BF=2BE=2x，EF=BFBE=

32、2xx=x，EFG的边长是x；过D作DHBC于H，得矩形ABHD及直角CDH，连接DE、DF在直角CDH中，C=30°，CH=BCAD=3，DH=CHtan30°=3×=当x=2时，BE=EF=2，EFG是等边三角形，且DHBC交点H，EH=HF=1DE=DF=2，DEF是等边三角形，点G的位置在D点故答案为x，D点；（2）当0x2时，EFG在梯形ABCD内部，所以y=x2；分两种情况：当2x3时，如图1，点E、点F在线段BC上，EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，FNC=FCN=30°，FN=FC=62xGN=3x6在RtNMG中，G=60&

33、#176;，GN=3x6，GM=（3x6），由勾股定理得：MN=（3x6），SGMN=×GM×MN=×（3x6）×（3x6）=（3x6）2，所以，此时y=x2（3x6）2=；当3x6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，EFG与梯形ABCD重叠部分为ECP，EC=6x，y=（6x）2=；（3）当0x2时，y=x2，在x0时，y随x增大而增大，x=2时，y最大=；当2x3时，y=，在x=时，y最大=；当3x6时，y=，在x6时，y随x增大而减小，x=3时，y最大=综上所述：当x=时，y最大=点评：此题是一道动态题，难度较大，注意不同的情况，能够熟

34、练求得二次函数的最值13（2010株洲）如图，直角ABC中，C=90°，点P为边BC上一动点，PDAB，PD交AC于点D，连接AP（1）求AC、BC的长；（2）设PC的长为x，ADP的面积为y当x为何值时，y最大，并求出最大值考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）在RtABC中，根据B的正弦值及斜边AB的长，可求出AC的长，进而可由勾股定理求得BC的长；（2）由于PDAB，易证得CPDCBA，根据相似三角形得出的成比例线段，可求出CD的表达式，也就求出AD的表达式，进而可以AD为底、PC为高得出ADP的面积，即可求出关于y

35、、x的函数关系式，根据所得函数的性质，可求出y的最大值及对应的x的值解答：解：（1）在RtABC中，得，AC=2，根据勾股定理得：BC=4；（3分）（2）PDAB，ABCDPC，；设PC=x，则，当x=2时，y的最大值是1 （8分）点评：此题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识14（2010福州）如图，在ABC中，C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H（1）求证：；（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFP

36、Q以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式考点：二次函数的最值；矩形的性质；梯形；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论分析：（1）易证得AEFABC，而AH、AD是两个三角形的对应高，EF、BC是对应边，它们的比都等于相似比，由此得证；（2）此题要转化为函数的最值问题来求解；由（1）的结论可求出AH的表达式，进而可得到HD（即FP）的表达式；已求得了矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系式，根据函数的性质即可得

37、到矩形的最大面积及对应的x的值；（3）此题要理清几个关键点，当矩形的面积最大时，由（2）可知此时EF=5，EQ=4；易证得CPF是等腰Rt，则PC=PF=4，QC=QP+PC=9；一、P、C重合时，矩形移动的距离为PC（即4），运动的时间为4s；二、E在线段AC上时，矩形移动的距离为94=5，运动的时间为5s；三、Q、C重合时，矩形运动的距离为QC（即9），运动的时间为9s；所以本题要分三种情况讨论：当0t4时，重合部分的面积是矩形EFPQ与等腰RtFMN（设AC与FE、FP的交点为M、N）的面积差，FM的长即为梯形移动的距离，由此可得到S、t的函数关系式；当4t5时，重合部分是个梯形，可用t

38、表示出梯形的上下底，进而由梯形的面积公式求得S、t的函数关系式；当5t9时，重合部分是个等腰直角三角形，其直角边的长易求得，即可得出此时S、t的函数关系式解答：（1）证明：四边形EFPQ是矩形，EFQPAEFABC又ADBC，AHEF；=；（2）解：由（1）得=，AH=xEQ=HD=ADAH=8xS矩形EFPQ=EFEQ=x（8x）=x2+8x=（x5）2+200，当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20；（3）解：如图1，由（2）得EF=5，EQ=4C=45°，FPC是等腰直角三角形PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9分三种情况讨论：如图2，当0t4时，设EF、PF分

39、别交AC于点M、N，则MFN是等腰直角三角形；FN=MF=tS=S矩形EFPQSRtMFN=20t2=t2+20如图3当4t5时，则ME=5t，QC=9t，S=S梯形EMCQ=（5t）+（9t）×4=4t+28如图4当5t9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC=9tS=SKQC=（9t）2=（t9）2综上所述：S与t的函数关系式为：S=点评：此题主要考查了矩形、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质及二次函数的应用等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想15（2010东营）如图，在锐角三角形ABC中，BC=12，ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，

40、B重合），且保持DEBC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；（2）设DE=x，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值考点：二次函数的最值；平行线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论分析：（1）根据题意，作出图示；分析可得：AM=8，且ADEABC，进而可得，解可得答案（2）分两种情况：当正方形DEFG在ABC的内部时，当正方形DEFG的一部分在ABC的外部时，依据平行线以及正方形的性质，可得二次函数

41、，再根据二次函数的性质，解可得重合部分的面积，比较可得面积的最大值解答：解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为MSABC=48，BC=12，AM=8，DEBC，ADEABC，而AN=AMMN=AMDE，解之得DE=4.8当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8，（2）分两种情况：当正方形DEFG在ABC的内部时，如图（2），ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，DE=x，y=x2，此时x的范围是0x4.8，当正方形DEFG的一部分在ABC的外部时，如图（3），设DG与BC交于点Q，EF

42、与BC交于点P，ABC的高AM交DE于N，DE=x，DEBC，ADEABC，即，而AN=AMMN=AMEP，解得EP=8x所以y=x（8x），即y=x2+8x，由题意，x4.8，且x12，所以4.8x12；因此ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论，当0x4.8时，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04，当4.8x12时，因为，所以当时，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值：y最大=×62+8×6=24；因为2423.04，所以ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24点评：本题主要考查了二次函数，

43、平行线以及正方形的性质等知识点，要根据题意，得到二次函数关系，再根据二次函数的性质，即可得答案16（2010郴州）如图，已知ABC中，A=90°，AB=6，AC=8，D是AB上一动点，DEBC，交AC于E，将四边形BDEC沿DE向上翻折，得四边形BDEC，BC与AB、AC分别交于点M、N（1）证明：ADEABC；（2）设AD为x，梯形MDEN的面积为y，试求y与x的函数关系式当x为何值时y有最大值？考点：二次函数的最值；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）根据DEBC得ADEABC；（2）S梯形MDEN=SADESAMN根据ADEA

44、BC，AMNABC分别用含x的代数式表示SADE，SAMN得y与x的函数关系式，应用函数性质求解解答：（1）证明：DEBC，ADE=B，AED=CADEABC （2分）（2）解：SABC=24，ADEABC，相似比为，所以 （4分）1=2，1=B'MD，2=B'，B'=B'MDB'D=MD又B'D=BD，MD=BDAM=ABMB=62（6x）=2x6 （6分）同理，AMNABC， （8分）配方得y=2（x4）2+8当x=4时，y有最大值 （10分）点评：此题为二次函数与相似三角形的综合题，有一定难度17（2010钦州）如图，将OA=6，AB=4的

45、矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NPBC，交OB于点P，连接MP（1）点B的坐标为（6，4）；用含t的式子表示点P的坐标为（t，t）；（2）记OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0t6）；并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数的最值；一次函数的应用；三角形的面积；矩形的性质菁优

46、网版权所有专题：压轴题分析：（1）由OA=6，AB=4，易得点B的坐标为（6，4）；由图可得，点P的横坐标=CN=t，纵坐标=4NP，NP的值可根据相似比求得；（2）由（1）的结论易得OMP的高为t，而OM=6AM=6t，再根据三角形的面积公式即可求得S与t的函数关系式，再由二次函数的最值求法，求得t为何值时，S有最大值；（3）由（2）求得点M、N的坐标，从而求得直线ON的函数关系式；设点T的坐标为（0，b），可得直线MT的函数关系式，解由两个关系式组成的方程组，可得点直线ON与MT的交点R的坐标；由已知易得SOCN=×4×3=6，SORT=SOCN=2；然后分两种情况考虑

47、：当点T在点O、C之间时，当点T在点OC的延长线上，从而求得符合条件的点T的坐标解答：解：（1）延长NP交OA于H，矩形OABC，BCOA，OCB=90°，PNBC，NHOC，四边形CNHO是平行四边形，OH=CN，OA=6，AB=4，点B的坐标为（6，4）；由图可得，点P的横坐标=0H=CN=t，纵坐标=4NP，NPBC，NPOC，NP：OC=BN：CB，即NP：4=（6t）：6，NP=4t，点P的纵坐标=4NP=t，则点P的坐标为（）；（其中写对B点得1分）（3分）（2）SOMP=×OM×，（4分）S=×（6t）×=+2t=（0t6）（6分

48、）当t=3时，S有最大值（7分）（3）存在由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），则直线ON的函数关系式为：设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，解方程组得，直线ON与MT的交点R的坐标为SOCN=×4×3=6，SORT=SOCN=2（8分）当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是OR1T1，如图，作R1D1y轴，D1为垂足，则SOR1T1=RD1OT=b=23b24b16=0，b=b1=，b2=（不合题意，舍去）此时点T1的坐标为（0，）（9分）当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是R2NE，如图，设MT交CN于点

49、E，由得点E的横坐标为，作R2D2CN交CN于点D2，则SR2NE=ENR2D2=2b2+4b48=0，b=b1=，b2=（不合题意，舍去）此时点T2的坐标为（0，）综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件（10分）点评：此题综合性较强，考查了点的坐标、平行线分线段成比例、二次函数的最值、一次函数的应用等知识点18（2010常州）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ设AP=x（1）当PQAD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当

50、线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围考点：二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP=CQ求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y，列出等式（8x）2+y2=（6y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值解答：解：（1）当PQAD时，则A=APQ=90°，D=DQP=90°，又ABCD，四边形APQD是矩形，A

51、P=QD，AP=CQ，AP=CD=，x=4（2）如图，连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y（8x）2+y2=（6y）2+x2，y=0y6，06，x（3）SBPE=BEBP=（8x）=，SECQ=（6）x=，AP=CQ，SBPQC=，S=SBPQCSBPESECQ=24，整理得：S=（x4）2+12（），当x=4时，S有最小值12，当x=或x=时，S有最大值12S点评：解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路19（2010宜昌）如图所示，P是ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D，E在边BC上，顶点F在边AB上；ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a，h，且是关