求解Bagley-Torvik分数方程的数值解的Haar小波算子矩阵法(中文版)

1、外文翻译On Haar wavelet operational matrix of general order and its application for the numerical of fractional Bagley Torvik equation.求解Bagley-Torvik分数方程的数值解的Haar小波算子矩阵法本文译自：S.Saha Ray. On Haar wavelet operational matrix of general order and its application for the numerical of solution fractional Bagl

2、ey Torvik equation. Applied Mathematics and Computation 218 (2012) 52395248 【摘 要】在本文中，我们深入研究了分数阶Torvik-Bagley微分方程1。我们采用Haar 小波矩阵运算方法求解了Bagley Torvik方程。利用此方法得到的结果与Podlubny 2中给出的解析解进行比较，我们发现Haar 小波方法更加实用，因为此计算方法将所考虑的问题转变成为解简单地代数矩阵方程来求解。【关键词】：分数阶微分方程，Bagley Torvik方程，Haar 小波，矩阵运算一、引言分数阶微积分是应用数学的一个领域之一，能

3、处理任意阶的微分和积分（包括复杂的阶）。因广义积分和任意阶的微积分而出名的有kilbas等人3和Sabatier等人4。分数阶微积分被Gorenflo 和 Mainardi5定位到处理学术研究与任意阶积分与微分应用的数学分析领域中。分数阶微积分在300年前就使用了，并且很多伟大的数学家（包括纯数学家和应用数学家）Sabatier等人，例如Abel、Caputo、Euler、Fourier、GrUnwald、Hadanard、Hardy、Heaviside、Holmgren、Laplace、Leibniz,、Letnikov、Lioville、Riemann、Riesz以及Weyl为分数阶微积分

4、理论做出了伟大的贡献。分数阶微积分的历史开始于17世纪末，分数阶微积分的诞生是由于一封信的交流。在那个时代科学期刊还不存在，科学家们是通过信交换他们的信息的。第一个有关分数阶微积分及其应用的会议是在1974年由Ross组织的，地点在new Haven大学。最近几年，分数阶微积分成为很多在不同科学与工程应用学科的研究者们关注的焦点，因为一个物理现象的理想模型能通过分数阶微积分成功实现。分数阶微分发生在很多物理问题中，例如频率取决于阻尼材料的行为，大型薄板在牛顿流体中的运动，粘弹性材料的蠕变和松弛函数，控制器控制的动力系统等。在电磁学、 声学、 粘弹性和电化学以及材料学中的现象科学家们也通过分数阶

5、微分方程描述出来了。在求解微分方程的过程中牵涉到了很多分数阶的求导。在物理和工程过程中建立的最佳模型可以在分数微积分中通过分数阶微分方程描述出来。出于这一原因，我们需要一个可靠并且高效率的方法来求解分数阶微分方程。在目前的分析中，Haar 小波的运算方法已经应用于求解Bagley-Torvik方程的数值解中，然后与Podlubny2得到的解析解进行比较。二、Haar 小波s运算矩阵Haar函数自从1910年就被使用了，当时是匈牙利数学家Alfred Haar介绍的。Haar 小波函数是各种类型的小波函数中最简单的一个，它们是分段函数（分段常数函数），在实值线上只能取三个值0、1、-1.我们使用

6、Haar 小波方法是由于它的一下特征：简单、快捷、灵活、方便、花费的计算量小并且计算方法具有吸引力。Haar函数是矩形波形类中的一种，它所有函数的振幅都各不相同，Haar函数的正交集是定义在区间0,1)上，由 (2.1)这里i=1,2,，m-1；m=，并且M是一个正整数；j和k是符号i的整数分解，即，并且。 理论上，这组函数完成了。第一段曲线图2.1是表示在整个0,1)区间上的曲线，它是叫做标准函数。第二段曲线是基本的小波函数，这个原始波形也的跨度也是整个0,1)区间。所有其它接下来的曲线都是由经过两步运算得到的：平移和伸缩。是由扩张得到的，即从整个0,1) 区间压缩一半到0,1/2区间，就得

7、到了，相同的也是向右移动1/2。类似地，将压缩一半到1/4区间就产生了，函数向右平移1/4，2/4，3/4就分别得到了，。从总体上看，被称为标准函数，而是最基本的小波函数。通常Haar 小波s函数的区间是被定为，在一般情况下,我们将区间划分成m个相等的子区间，每个子区间的宽度。在这种情况下，Haar 小波s函数定义为： (2.2)这里 i=1,2,m-1,且M是一个正整数，也是最大的标准值。j和k是符号i的整数分解，即，并且。任何像这样的函数都能通过以下变换成为Haar 小波s函数 (2.3)这里。图2.1 Haar 小波函数（m-8）如果 y (t) 在每一个子区间内被近似为分段常数，则(2

8、.3)式将会在有限项终止，即或以矩阵形式, (2.4)其中，Y 是不相关的连续函数。是Y向量的系数，可以由得到。Y和都是行向量，H是m=阶的Haar 小波矩阵，M是一个正整数并且由决定，即 ， (2.5)其中是不相关的一组向量，是Haar 小波向量H的基础向量；这些不相关的向量值分别取自连续曲线。一个被给定的函数 f (t) 扩展到 Haar 小波系列是， , (2.6)其中是小波系数。在本文中，我们运用小波得到的方法来确定系数，这些得到的论点是由下式得到的， 。 (2.7)式(2.6)的离散描述是 (2.8) 则式(2.8)写成矩阵的形式就是 , (2.9)这里与都是m维的行向量，并且H是m

9、阶的小波矩阵。三、一般阶的积分算子矩阵/广义矩阵的积分运算式的积分可以用Chen与Hsiao6的方法来逼近： ， (3.1)其中Q被称为Haar 小波s运算积分矩阵，也是一个维的方阵。现在，我们应该就能得出Haar 小波s运算矩阵一般阶情况下的积分。按照这个目的，我们首先介绍Podlubny2定义的阶分数积分。， ， (3.2)这里表示正实数集。 Haar 小波运算矩阵的阶一般情况下的积分如下式所示: 其中 (3.3)这里，i=1,2,m-1,且M是一个正整数。j和k是符号i的整数分解，即，并且。例如，如果m=4，我们有但是， Chen与Hsiao6，Kilicman与Zhour7，Li与Zh

10、ao8以及Bouafoura与Braiek9都提到过的广义运算积分的矩阵是一个近似矩阵，它不是精确的广义运算矩阵。此外，要从广义运算矩阵中获得这个正确的整数阶运算矩阵的有一定难度的。 在目前的分析中，得到的一般阶Haar小波运算积分矩阵是正确的运算矩阵，以上的例子证明了它的正确性。四、Bagley-Torvik方程的分数阶动态模型 Torvik和Bagley 1导出的是一个维度的分数阶微分方程，描述的是一个薄金属平板在牛顿流体中的运动10。这是描述一块被弹性系数为k的轻质弹簧连接着的质量为m、面积为A且不会弯曲的薄金属平板浸入在牛顿流体中的运动，这个运动模型是来自于Bagley和Torvik。

11、一块质量为m且不会弯曲的薄金属平板在无边界的牛顿流体中就想图4.1展示的那样。图4.1这个金属板被一根弹性系数为k的弹簧控制在一个固定的点，假设弹簧的运动不会影响流体的运动并且这个金属板的面积A非常大，这样在金属板两边的压力和速度的关系就是有效的。用表示粘度系数，表示流体的密度，金属板的位移y可以用下式描述 ， (4.1)其中，且。 按照目前的分析，我们应该运用Haar小波方法去解Bagley Torvik分数阶方程的数值解。接着，我们应该将数值解与精确解进行比较。五、运用Haar 小波方法求Bagley-Torvik方程的数值解按照目前的分析，我们用Haar 小波运算矩阵去求Bagley-T

12、orvik方程的数值解，这个方程描述的就是刚性板在牛顿流体中的运动模型。让我们来认识Bagley-Torvik方程2， ， (5.1)这里前提是.Haar 小波解就是下面这种形式 ， (5.2)用矩阵形式表示就是 ， (5.3)这里就是由方程(2.7)得到的，是m维的行向量并且是m阶的Haar 小波方阵。 整合方程(5.1)我们得到 .又前提是，我们可以得到 . (5.4)现在，我们将方程(5.3)写成分开的矩阵形式，于是我们得到 (5.5)其中，这里并且E是离散形式的函数，这里阶跃函数，对于方程(5.1).从方程(5.1)我们有 (5.6)表6.1 比较数值解与精确解析解的误差：解方程(5.

13、6)的系数行列式,我们得到 (5.7)利用方程(5.3)，就可以得到Haar 小波数值解 (5.8)现在，方程(5.1)的解析解是2, (5.9)这里，叫做Mittag-Leffler函数，2,并且，.于是，方程(5.9)简化为 ，如果 (5.10)这里.这个解(5.10)就是方程(5.1)的解析解。图6.1 Bagley-Torvik方程的数值解与解析解，（实线是，虚线是）。六、得到的数值结果及其讨论在本数值计算中我们假设A=1，B=0.5，C=0.5，有意思的是通过Haar 小波方法得到的数值解与按照文献2的方法得到的解析解几乎相同，如图6.1。用方程(5.8)与(5.10)绘制的图形如图

14、6.1。其中的和分别对应的是Haar 小波数值解和Bagley-Torvik方程的精确解析解，这些图是由Mathematica 7软件绘制的。表6.2 比较数值解与精确解析解的误差，（对于t=0,1,2,10）：比较目前正在分析的Haar 小波运算方法与其他的也可以用的方法，表6.1已经按方程(2.7)的顺序一一给出了相应的两种解的绝对误差值。数值解与精确解之间的均方根误差是0.204029.在这一节中得到的数值解是用Mathematica 7软件计算出来的。七、Haar 小波方法的收敛性分析7.1误差分析在这一节，要进行的是Haar 小波方法的误差分析。引理7.1.让是定义在区间(0,1)上

15、的连续函数。于是第J个等级的误差范数满足以下不等式：,这里,且K>0，M是一个正整数且与第J个等级有关，由小波给的决定。证明.第J个等级的误差是由以下决定的： ，这里， .现在， 这里，,且因此， 运用均值原理，有并且.所以，运用均值原理，有. 这就意味着,由于因此， (7.1.1)从上面的(7.1.1)方程中显然可以看出误差范数与J的值是成反比关系的。因此，要提高小波方法的精确性我们就要增大决定因子J.7.2误差估计 表6.2举例比较了用小波方法得到的数值解与解析解。八、结论按目前的分析，一个基于Haar 小波运算原理的数值解法被运到了解Bagl-ey-Torvik方程。提到Bagle

16、y-Torvik方程被Adomian Decomposition12方法解决了没有什么不恰当。在本文中，做了一个尝试，就是将Haar 小波运算方法运用到了求解Bagley-Torvik方程中。我们展示了用整数阶的Haar 小波运算矩阵的方法去求解分数阶Bagley-Torvik方程的数值解。在这方面，求解任意整数阶的Haar 小波矩阵的一般步骤在第三节中已经给出了。这个运算矩阵，作者在验证之后确定是正确的一般阶运算矩阵。 这个数值解已经与精确解做了比较，并且均方根误差是0.204029.这个误差还可以减少，如果我们取m=128或者更多。这种方法的优点是将问题改变成了求解代数矩阵方程，因此计算就

17、变得简单了，并且可以借助计算机。这种方法展现给我们的是简单、高效率，它是基于Haar小波函数的运算矩阵，另外，在求解分数阶微分方程时用小波运算方法比用传统的数值方法更简单，并且得到的结果很令人满意。这个用目前的方法得到的比较结果在误差允许的范围内是可以采用的，这证明了被建议的这种方法的适用性、精确性以及高效性。致谢作者在这个篇幅中想通过这个机会表达他的真诚谢意，感谢学会审稿人在本论文改进和完善的过程中提出的宝贵意见和建议。参考文献1 P.J. Torvik, R.L. Bagley, On the appearance of the fractional derivative in the b

18、ehavior of real materials, ASME J. Appl. Mech. 51 (1984) 294298.2 I. Podlubny, Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, California, USA, 1999.3 A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland Mathematical S

19、tudies, vol. 204,Elsevier (North-Holland ) Sci. Publishers, Amste rdam, London and NY, 2006.4 J. Sabatier, O.P. Agrawal, J.A. Tenreiro Machado, Advances in Fractional Calculus: Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering, Springer, Dordrecht, The Netherland s, 2007.5 R. Gore

20、nflo, F. Mainardi, Fractional calculus integral and differ ential equations of fractional order, in: A. Carpinteri, F. Mainardi (Eds.), Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, S pringer Verlag, Wein, 1997, pp. 223276.6 C.F. Chen, C.H. Hsiao, Haar wavelet method for solving lumped and distributed-parameter systems, IEE Proc.-Control Theory Appl. 144 (1) (1997) 8794.7 A. Kilicman, Z.A.A.A. Zhour, Kronecker operational metrics for fractional calculus and some applications, Appl. Math. Comput. 187 (2007) 250265.8 Y. Li, W. Zhao, Haar wavelet operational matrix of fraction