矩阵的逆的研究及应用

1、矩阵的逆的研究及应用摘要本文主要是对高等代数中的矩阵的逆进行研究，更深一步地了解矩阵的逆在数学领域中的重要地位和各方面的应用。首先总结阐述矩阵的逆的相关定义、定理和性质，并且对其给出相应的证明，然后归纳了矩阵的逆的几种常见求法，最后讲述了矩阵的逆在以下两个方面的应用：解线性方程组和保密通信，而且例举了具体的应用实例。关键词：矩阵 矩阵的逆 线性方程组 保密通信Research and application of inverse matrixSummary: This paper mainly research on the inverse of the matrix in higher al

2、gebra, deeper understanding of the inverse of the matrix in all aspects of the important position in the field of mathematics and application. First summarized in this paper, the related definitions, theorems and properties of the inverse of the matrix, and the corresponding proofs are given, and th

3、en sums up several kinds of common method of inverse of the matrix, and finally tells the inverse of the matrix in the application of the following two aspects: solving system of linear equations and secure communications, and illustrates the concrete application examples. Key Words: matrix , invers

4、e of a matrix ,linear system of equaton, secure communication.一 矩阵的逆的一些背景在以往线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的也表现为变换这些矩阵的过程。除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质是完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵的问题以后却是相同的。这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。而矩阵的

5、逆正是矩阵理论中一个很重要的概念，也是极难理解的一部分，在矩阵理论中占有非常重要的地位，对矩阵的逆的研究自然也就成为高等代数研究的主要内容之一。然而在很多线性代数教科书中矩阵的逆的应用知识点几乎没有涉及到，以至于很多学生错误的认为所学东西没有多大的用处。为了矩阵的逆在解决矩阵问题中起着很重要的作用，不能只停留在抽象的概念结论中，而应对所学知识进一步认识，深刻理解，掌握矩阵的逆的本质，本文总结了矩阵的逆相关定义、定理、性质和它的几种常见的求法，进而更进一步提供了实际应用例子，体现出矩阵的逆的重要性和应用性。二 矩阵的逆的定义、定理及性质 21 矩阵的逆的定义利用矩阵的乘法和矩阵相等的含义，可以把

6、线性方程组写成矩阵形式。对于线性方程组 (1)令 则方程组可写成。方程是线性方程组的矩阵表达形式，称为矩阵方程。其中称为方程组的系数矩阵，称为未知矩阵，称为常数项矩阵。这样，解线性方程组的问题就变成求矩阵方程中未知矩阵的问题。类似于一元一次方程的解可以写成，矩阵方程的解是否也可以表示为的形式？如果可以，则可求出，但的含义和存在的条件是什么呢？下面来讨论这些问题。定义1 级方阵称为可逆的，如果有级方阵，使得 （2）这里是级单位矩阵。 首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足（2）；其次，对于任意的矩阵，适合等式（2）的矩阵是唯一的（如果有的话）。事实上，假设是两个适合（2）的矩阵，就有

7、定义2 如果矩阵适合（2），那么就称为的逆矩阵，记为。定义3 设是矩阵中元素的代数余子式，矩阵称为的伴随矩阵。由行列式按一行（列）展开的公式立即得出： （3）其中如果，那么由（3）得 （4）2.2 矩阵的逆的定理和性质定理1 矩阵是可逆的充分必要条件是非退化，而证明：当，由（4）可知可逆，且 （5）反过来，如果可逆，那么有使，两边取行列式，得 （6）因而,即非退化。由以上定理，我们可得出逆矩阵的一些性质，如下：1、2、设是级矩阵，则可逆的充要条件是存在级矩阵，使3、4、设和都是级矩阵且可逆，则也可逆，且5、若，可逆，则也可逆，且6、如果可逆，则也可逆，且7、如果可逆，则也可逆，且定理2 是一个

8、矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，那么证明：令，则但是由又有所以另一个等式可以同样地证明。三 矩阵的逆的求法3.1 定义法例1.设方阵满足方程，证明：都可逆，并求它们的逆矩阵。证明：由，得到。故可逆，而且。又由，得到，即。故可逆，而且。3.2 公式法定理3 阶方阵可逆的充分必要条件是非奇异矩阵，而且 .例2.已知，求解：由题可解得所以可逆，且故经检验3.3 初等变换法定义4 一个矩阵的行(列)初等变换是指矩阵施行的下列变换：(1)交换矩阵的某两行(列);(2)用一个非零的数乘矩阵的某一行(列)，即用非零的数乘矩阵的某一行(列)的每一个元素；(3)给矩阵的某一行(列)乘以一个数后加到另一行(列)

9、上，即用某一个数乘矩阵某一行(列)的每一个元素后加到另一行(列)上的对应元素上。定义5 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。(1)初等行变换如果阶方阵可逆，作一个的矩阵，然后对此矩阵进行初等行变换，使矩阵化为单位矩阵，则同时就化为了，即经过初等行变换变为。例 用初等行变换求矩阵的逆矩阵。解：所以。(2)初等列变换如果阶方阵可逆，作一个的矩阵，然后对此矩阵进行初等列变换，使矩阵化为单位矩阵，则同时就化为了，即经过初等行变换变为。例 用初等列变换求矩阵的逆矩阵。解：所以3.4 分块矩阵法分块对角矩阵求逆：对于分块对角（或次对角）矩阵求逆可套用公式其中均为可逆矩阵。例：已知，求解：将分

10、块如下：其中而从而四 矩阵的逆的应用无论是矩阵的逆的性质还是矩阵的逆的求法，都是数学领域中的一个研究方向。接下来我们将分析矩阵的逆的应用，探索矩阵的逆的巨大作用。4.1 在解线性方程组的应用 求解线性方程组是数学中的一大热点，也是难点。给定方程组 (7)把给定的线性方程组的系数按行列排成数表，称为矩阵，记作： 为了利用矩阵乘积的性质，我们把线性方程组式中的系数项、变量项、常数项以矩阵的形式表示出来： 矩阵方程在形式上与最简单的代数方程非常类似，分析代数方程的求解过程，对于求解矩阵方程会有很大的帮助。当时，存在着的倒数，以乘方程的两端。由于，所以得到方程的解：。如果对阶方阵也定义它的逆方阵，使之

11、满足，那么，用乘矩阵方程的两端就得到方程的解。那么，只要求出系数矩阵的逆方阵，线性方程组的解也就出来了。根据逆矩阵的性质，得到逆矩阵的条件及表达式。阶方阵可逆的充分必要条件是，并且可逆时，的逆矩阵可表示为。4.2 在保密通信中的应用4.2.1 加密保密通信模型保密通信是新时代一个非常重要的话题，越来越多的科学研究者为此做了大量的工作，先后提出了许多较为有效的保密通信模型。其中，基于加密技术的保密通信模型是其中最为基本而且最具活力的一种。基于加密技术的保密通信模型如下： 发送方采用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接收方，接收方则可以采用对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据。4.

12、2.2 在保密通信中的应用从模型中可以看出，一种加密技术是否有效，关键在于密文能否还原成明文。设有矩阵方程，其中为未知矩阵。我们知道，如果为可逆矩阵，则方程有唯一解，其中是的逆矩阵。因此，可逆矩阵可以有效地应用于加密技术。设为可逆矩阵，为明文矩阵，为密文矩阵。加密算法加密时，采用下面的矩阵乘法：例如，设加密密钥矩阵为，明文矩阵为，则密文矩阵等于解密算法解密时，采用下面的矩阵乘法：其中，是的逆矩阵。 例如，针对上面的加密密钥矩阵，解密密钥矩阵为如果密文矩阵为，则相应的明文矩阵应等于加密矩阵的生成初等矩阵是可逆的，而且初等矩阵的矩阵也是可逆的。因此，通信中可以考虑利用若干个初等矩阵的成绩乘积作为编码矩阵。它的生成方法如下：从单位矩阵出发，反复利用第一类和第三类初等变换去乘它，而其中的乘数必须取整数。这样得到的矩阵将满足，而也将具有整数元素。应用实例例：小明的朋友给小强发来一封密信，他有一个三阶矩阵：，他们约定：消息的每一个英文字母用一个整数来表示：约好的密码矩阵是：，试求小明的朋友发来的密信的内容。解：试求密信内容，先假设密信内容矩阵为，则：或 即 或 然后利用软件求解此题，容易得到满足题意的只有一个矩阵：由英文字母与整数间的对应可得到密信内容为“I LOVE