非线性方程的数值解法习题解答

1、第六章非线性方程的数值解法习题解答填空题:1.求方程"/（劝根的牛顿迭代格式是Ans:g兀一/（冷）1-/U）2求解方程产二/ + "1在2）内根的下列迭代法中,（1） xfc+i二*心十心十11 1 1 弘1 = 1亠十飞收敛的迭代法是（A）.A(1)和(2)B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)3若/（o）/（b）< ° ,则fM = °在（么»内一定有根。（）4.用二分法求方程fM = Q + x_ 1 = °在区间o川内的根，进行一步后根的所在区间为，进行两步后根的所在区间为（答案M M）计算题

2、：1、已知方程x3-x2-l-0在乳=出附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式: X 1 + 4 : X » x/1 + X2 : X = £试判断以上三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。 2 2解：令（x）-l + p-,则估（15）卜讨“5926<1,故迭代收敛： 2 2 令©（兀）也 + / ,则p2（x）-x（l + x2P, |2（1.5）|«0.4558<1 ,故迭代收敛；|(1.5)|«1.4142>1,故迭代发散。令皿）倍则小一詁以上三中以第二种迭代格式较好。2、设方程/（x）-（）有根，且0&

3、lt;mo试证明由迭代格式心-入/'（心）(k 0,1,2,)产生的迭代序列»二对任总的初值x0 6 (-oo,+oo),0 < 2 V J时，均收敛于方程的根。证明：设0x)x-"(x),则0(x)l 一几八X),故1- M A < <p(X)<1- mZ 1进而可知， 当OvxlvZ时，-l<p(x)<l,即|°(x)|vl，从而由压缩映像定理可知结论成立。M3、试分别用法和割线法求以下方程的根X-COSX=0取初值心0.5心彳，比较计算结果。4解：Newton 法：- 0.75522242, =().7391416

4、6rr3 =0.739()8513 ；割线法：勺-0.736384143=0.739058144=().739085155=0.739()8513 :比较可知NeMo”法比割线法收敛速度稍快。4. 已知一元方程x3-3x-1.2 = 0o1) 求方程的一个含正根的区间；2) 给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3) 给出在有根区间的Newton迭代法公式。解：(1) /(°)= -1.2<0,/(2) = 1.8>0又/连续故在(0,2)内有一个正根(2) _1 1 x = #3x + 1.2,0"(x) = (3x + 1.2) 3, max |

5、0"(x)| < -< 1,. xn+1 =+ 1.2收敛叽>1.2 f'(x) = 3x2 - 3, xn+1 = x” -3疋-35、用二分法求方程f(x) = x3-x-在区间1,1.习内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1)需要二分几次；(2)给岀满足要求的近似根。解：6次：x心1.32 o6. 为求方程附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立和应的迭代公式。4)迭代公式5)迭代公式6)迭代公式试分斤每种迭代公式的收敛性。解：7、已知何将在区间丙只有一根,化为适于达代邸形式而当试问如将化为适十迭代1勺形式，并求(弧皮)附近的根。8、能不能用

6、迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求 解的形式。(2)(1)解：（1对所冇的有牧能丿I迭代法求根。(21，2方程为。故有根区间为故不能用此时，来迭由代。将原方秽改写为披可口迭代公式来求解。9.用牛顿（切线）法求的的近他值。取xo=,计算三次，保留五位小数。解：血是/U）= a-2-3 = 0的正很，广（x） = 2x,牛顿迭代公式为n123XnW 柿号圭（52,）取xo=,歹|J表如下:10.给定方程/(x) = (x-l)el=01）分析该方程存在儿个根；2）用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字;敛的。解：1）将方程(x-l)护一1 = 0(1)3）说明所用的迭代格式是收作函数= fiM =y的图形（略）知（2）有唯一根 “）。2）将方程（2）改写为改打为(2)x-1k123456789£+1 = 1 +e_" 兀)=1.5计算结果列表如下:伙=0,12)构造迭代格式Xk3）（px） = 1 +e_A ? （px） = -e-&