关于曲线上存在两条互相垂直的切线问题模型探究

1、曲线上存在两条互相垂直的切线问题模型探究例题1 （2013天津预赛5）如果曲线y 2sin 2的两条互相垂直的切线交于点p,则p点的坐标不可能2(a)，(b) 3 ,(c) 5，(d) 7 ,k1k21 ,其中 k1 cosx1, k2 2cosx2 ；即有2x1 x2,cos cos1 .22因此，当x1 cos 2例题x21, 1 cos一 2x2 cos 21时,x1x21 ,贝u有 1 coscos22cos'cos1 ,即可知221,当且仅当x1x22k2(k 1)cos-2x2 cos21时，等号成立.那么评注2 c2 （2013山东预赛10）假设实数b, c满足b2ax

2、bsin x c cos x的图象上存在解析 设曲线y 2sin 在点a（x1,2sin上）,b（x2,2sin当的切线交于点p,那么由题意可知: 222两条切线互相垂直，则 a的取值范围是解析 f (x) ax bsin x ccosx axb2 c2 sin(xax sin(x）;设图象上两条切线在曲线上的切点分别为 a(x1,y1), b(x2, y2),则有 k1k2f ' x1 f ' x21 .即:a cos(x1) a cos(x2)1 在中，令ticos(xi),(i 1,2),展开后有a2a(t1t2)他1 0,由a r可知0,又2(t1 t2)2 4(也 1

3、)(t1t2)24 在中，由于ti 1,1,那么t1 t22,即 (t1t2)24 0，因此由可知0,t1t21,代入到中解得a 0.综上可知：a的取值范围是a 0.评注此题可溯源到如下例题：例题3已知函数f(x) x3 ,(i )记(x) f (x) - f '(x)(t r),求(x)的极小值； 3的值及相应的切点坐标(ii)若函数h(x) f (x) sin x的图象上存在互相垂直的两条切线，求实数 x(ii)解析h(x) 3 xsin x ,那么h'(x) 3 cosx ,设切点分别为ti ,h tii 1,2.由题意知h' t1 h' t21 ,即有

4、3cost1 3 cost23(cost1 cost2)(cost1cost2 1)在中，由r可知,29(cost cost2)36(cost cost21) 0 ,即(costi2/cost2)4 .又 costicost20,cost1cost21,代入得0 .并且切点坐标为(2 m ,0) , (2n,0),其中(m,n z).例题4 (2014年南京市、盐城市高三二模第12题)设函数f(x)= ax+sinx+ cosx,若函数f(x)的图象上存在不同的两点a, b,使得曲线y=f(x)在点a,b处的切线互相垂直，则实数 a的取值范围为解析 f' xsin x cosx a .

5、/2sin(xa v2,a 夜；那么，要使得函数 f(x)的图象上存在两个不同点使得x1f ' x2f ' x11f' x21iii万那么得到:a1 2 21,1.例题4.1已知函数f (x) 1x3 2x2 33x(x r)的图象为曲线c .(1)求过曲线c上任意一点的切线的斜率的取值范围;(2)若在曲线c上存在两条互相垂直的切线,略求其中一条切线与曲线c的切点的横坐标的取值范围;解析 f'(x)-24x 3 (x 2)11；(2)由(1)可知:,22 i (1,3)1 22,例题4.2设函数f(x)3ax 2bx cx 4d(a,b,c,d r)的图象关于原

6、点对称，且x 1时，f(x)取极小/c、24(d) 一5一. 2 一一一一1 ,即 4x02(2 a)x0 2a 1 0.又 y0= x02 2x0 + 2 与 y0=x02+ax0+b,得至ij 2 x02 (2+a) x0+2 b=0 ;亦即 4劭22(2 a)x0 2(2 b) 0 ；因此，可得2a 1 4 2b,即a b万.a,b 0珈 14 2 ，14、 2 ， b 4a、故 ab( )(1 4)a b 5 a b 5 a b当且仅当5-细时，等号成立a b例题6已知函数f (x) x22x的图象在 a(x1, f(x1), b(x2, f (x2) (x1 x2 0)处的切线互相垂

7、直，则x2为的最小值为()13(a) 21(c) 2(d) 2解析f'(x1)f'x2(2x1 2)(2x2 2)1 ,由 x1 x 0可知 2x 2 0 2x2 2 .那么x2 x1(2x2 2) (2x1 2) 2(2x2 2)(2- 2)1;其中，当且仅当2x2 2(2x1 2),即3(1)求 a,b,c,d 的值；(2)当x 1,1时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.(3)略解析(2)不存在这样的两点由(1)得f '(x) x2 1，假设图象上存在两点a(x” y) b(x1 ,丫2),使得过此两点处的切线互相垂直，则f ' xi f ' x21 ,即 x2 1 x22 11 .因为1,1,那么x； 1 0,x22 1 0,得到x12 1 x22 10,故不成立.例题5 (2010年雅安三模)二次函数y = x2 2*+2与丫= x2+ax+b(a>0,b>0)的图象在它们的一个交点14处互相