第十二次：隐函数及参数方程

1、第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 31xy一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程0),(yxf可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 0),(yxf0),(ddyxfx两边对 x 求导(含导数 的方程)y机动 目录 上页 下页

2、 返回 结束 例例1. 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 时 y = 0 , 故210ddxxy0确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求)0(sinxxyx的导数

3、. 解解: 两边取对数 , 化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 对幂指函数vuy 可用对数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明说明: :按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxln

4、lnlnxbalnlnaxb机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxy21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x机动 目录 上页 下页 返回 结束 )4321(xxx或或)(xyy 由方程eyxey确定 , , )0(y解解: 方程两边对 x 求导, 得0yxyyey再求导, 得2yey yxey)(02 y当0 x时, 1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求. )0(y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、由参数方程所确

5、定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 )()(tytx 若参数方程若参数方程如如 ,22tytx2xt 2ty42x xy21 t参数方程参数方程 称此为由称此为由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数.22 x 消参数困难或无法消参数消参数困难或无法消参数 如何求导如何求导.消去参数消去参数,间的函数关系间的函数关系与与确定确定xy,)(),(都都可可导导再再设设函函数数tytx xyddtydd )()(tt txtyxydddddd 即即,)()(中中在方程在方程 tytx 具有具有设函数设函数)(tx 所以所以,tyddxtdd 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及

6、由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率),(1xt 单调连续的单调连续的反函数反函数由由复合函数及反函数的求导法则复合函数及反函数的求导法则得得txdd1 , 0)( t 且且 y)(1x 例例解解txtyxydddddd ttcos1sin taatacossin 2cos12sindd2 txy. 1 .方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率,2时时当当 t 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即 )cos1()s

7、in(tayttax),12( ax. ay 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率设由方程设由方程 )10(1sin 222 yytttx确定函数确定函数, )(xyy 求求.ddxy方程组两边对方程组两边对t 求导求导, ,得得故故 xydd)cos1)(1(ytt txdd t 2 ytcos12 22 tycos tydd 0 例例解解 txddtxddtydd tydd)1(2 t tydd隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率若上述参数方程中)(, )(tt二阶可导,22

8、ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数 .利用新的参数方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(dd22ttxy,)()(ttxydd?已知,1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t例例:注意注意 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 已知 ，求32ttxeye 22d ydx解：解：2(2 )2(3)32( 1)3tttttdyeedxeee22223222433(3)3( 1)9ttttteed yedxee

9、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率例例4. 设)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 解解:)()(tftfty)(, )(tyytxx 为两可导函数为两可导函数yx ,之间有联系之间有联系tytxdd,dd之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率解法三步骤相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t 求导求导相关变化率相关变化率求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率三、相关变化率三、相关变化率相关变化率相关变化率0),( yxftytxd

10、ddd和和之间的关系式之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率例例解解,秒后秒后设气球上升设气球上升t500tanh 求求导导得得两两边边对对t 2sec 0),( hf (1)(2)?,500./140,500多少多少员视线的仰角增加率是员视线的仰角增加率是观察观察米时米时当气球高度为当气球高度为秒秒米米其速率为其速率为米处离地面铅直上升米处离地面铅直上升一气球从离开观察员一气球从离开观察员),(th其高度为其高度为则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线),(t tdd 5001 thdd ,/140dd秒秒米米 th tdd 仰角增加率仰角增加率(3)2sec2 140500121 )/(14. 0秒弧度 h 22tan1sec 500, 1tan,500 时时当当h隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率内容小结内容小结1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂