2020年中考数学二轮冲刺核心重点第08讲 三角形的存在性-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版（免费下载）

1、硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点1、 两点间距离公式2、 等腰三角形“三线合一”3、 勾股定理4、 锐角三角函数5、 全等三角形的判定6、 相似三角形的性质与判定一、等腰三角形与直角三角形的存在性（1）“两圆一中垂”满足等腰三角形的点的存在性的作图方法探究1: 如图，在坐标轴上找出所有的点C，使ABC 为等腰三角形。方法：分类讨论：当A为顶点时，即AB=AC时，以A为圆心，AB为半径画圆，得目标点C1，C2，C3，C4当B为顶点时，即BA=BC时，以B为圆心，BA为半径画圆，得目标点C5，C6，C7，C8当C为顶点时，即CA=CB时，作线段AB的垂直平分线，得目标点C9，C10故，满

2、足条件的点C共有10个.（2）“一圆两垂直”满足直角三角形的点的存在性的作图方法探究2: 如图，在坐标轴上找出所有的点C，使ABC 为直角三角形。方法：分类讨论：当A=90°时，过点A作线段AB的垂线，得目标点C1，C2当B=90°时，过点B作线段AB的垂线，得目标点C3，C4当C=90°时，以AB为直径作圆，得目标点C5，C6，C7，C8故，满足条件的点C共有8个.（3）“代数求值解法”满足等腰/直角三角形的点的坐标计算方法写出或设出三角形三个顶点的坐标；利用两点间距离公式，计算三角形三条边长的平方；若是等腰三角形，则由等腰三角形的三边长（的平方）可以两两相等，

3、需分三类，列方程求解；若是直角三角形，则表示出三边的平方，利用勾股定理列出方程即可求解.检验求出的点是否符合题意，即能否构成三角形。二、相似三角形的存在性（1）导边法，（“SAS”法）先找到一组关键的等角，有时明显，有时隐蔽；以这两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程如图，在ABC和DEF中，若已确定A=D, 则要使ABC与DEF相似，需要分两种情形讨论：或，再列方程求解即可.（1）导角法，（AA”法）先找到一组关键的等角；另两个内角分两类对应相如图，在ABC和DEF中，若已确定A=D, 则要使ABC与DEF相似，需要分两种情形讨论：B=E或B=F，再进行分析处理即可.【例题1】在平面直

4、角坐标系中，点A坐标为（2，1），点B坐标为（2，3），点C为x轴上的一个动点，记作（a，0）（1）求AC+BC的最小值，并求AC+BC的最小值时点C的坐标（2）若ABC为等腰三角形，求点C坐标（3）若ABC为直角三角形，求点C坐标（4）若点D坐标为（a+1，0），求四边形ACDB的周长的最小值，并求出C点坐标【解析】（1）点A坐标为（2，1）点A坐标关于x轴的对称点为A'（2，1）根据两点之间，线段最短可得：当点C，点A'，点B三点共线时，AC+BC值最小AC+BC最小值为为A'B的长度，即A'B4设直线A'B解析式ykx+b，解得：k1，b1解析式y

5、x+1当y0时，a1点C（1，0）（2）ABC为等腰三角形，ABAC或ACBC或ABBC若ABAC时，点A坐标为（2，1），点B坐标为（2，3），点C（a，0）（2+2）2+（31）2（a+2）2+（10）2a±2点C坐标为（，2），（，2）若ABBC时，（2+2）2+（31）2（a2）2+（30）2a2±点C坐标为（2+，0），（2，0）若BCAC时，（a2）2+（30）2（a+2）2+（10）2a1点C（1，0）（3）若ABC为直角三角形，ABC90°或ACB90°或BAC90°，若ABC90°，则ABBC点A坐标为（2，1），点

6、B坐标为（2，3），直线AB的解析式yx+2设直线BC解析式y2x+b过点B34+bb7解析式y2x+7当y0时，x点C（，0）若BAC90°，则ACAB设直线AC解析式y2x+m过点A14+mm3解析式y2x3当y0时，x，点C（，0）当ACB90°时，AB2AC2+BC220（a+2）2+1+（a2）2+9a±1点C（1，0），（1，0）（4）点D坐标为（a+1，0），点C（a，0）CD1，CD1，AB2，四边形ACDB的周长AB+AC+CD+DB1+2+AC+DB要使四边形ACDB的周长最小即AC+DB的值最小将点B向左平移1个单位得B'（1，3），

7、点A关于x轴的对称点为A'（2，1）连接A'B'交x轴为点C此时AC+DB的最小值为A'B'的长度A'（2，1），B'（1，3）A'B'5四边形ACDB的周长最小值1+2+56+2A'（2，1），B'（1，3）直线A'B'解析式yx+，当y0时，x点C（，0）【例题2】如图，在菱形ABCD中，ABC60°，AB2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为【解析】若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱

8、形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，为2；若以边PC为底，PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC（除点C外）上的所有点都满足PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD最小，最小值为232；若以边PB为底，PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，PD的最小值为22【例题3】已知：在矩形ABCD中，AB6，点E为边AB上一点，满足AE2，连接DE

9、，在矩形内部作DEF45°，交边BC于点F（不与端点重合），交边DC的延长线于点G（1）如果DFEG，求DEG的面积；（2）设ADx，BFy，请用含有x，y的式子表示线段DG的长；求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果DEF是等腰三角形，试求此时AD的长【解析】（1）如图1，DFEF，DEF45°，DEF是等腰直角三角形，EFDF，四边形ABCD是矩形，BFCD90°，BEF+BFEBFE+DFC90°，BEFDFC，EBFFCD（AAS），CFBE624，BFCD6，由勾股定理得：EFDF2，BECG，EBFGCF，FG，EGEF+FG

10、2+，SDEG；（2）BFy，ADBCx，CFxy，BECG，EBFGCF，CG4，DGDC+CG6+42+；如图2，过D作DMDE，交EG的延长线于M，过E作EHEG，交AD于H，HEG90°，AEH+BEF90°，BEF+BFE90°，AEHBFE，AB90°，HAEEBF，AH，DHx，DEF45°，HEGEDM90°，HED45°，EDM是等腰直角三角形，DEDM，M45°，MHED45°，ADE+EDCEDC+GDM，ADEGDM，DHEDGM（ASA），DHDG，x2+，y4+，yx，4+x，

11、4（x2）+16x（x2），x26x80，设mx26x8，当m0时，x26x80，x13，x23+，如图3所示，当m0时，x3+，则y关于x的函数关系式为：y4+，定义域是x3+；（3）DEF是等腰三角形时，存在三种情况，当EFDF时，由勾股定理得：BE2+BF2CF2+DC2，42+y262+（xy）2，1636+x22xy，把y4+代入得：020+x22x（4+），x310x2+4x400，x2（x10）+4（x10）0，（x10）（x2+4）0，x10，AD10；当EDDF时，DEFDFE45°EDF90°不符合题意；当DEEF时，由勾股定理得：BE2+BF2AE2+

12、AD2，42+y2x2+22，把y4+代入得：16+（4+）2x2+4，x44x324x216x1120，x424x21124x（x2+4）0，（x2+4）（x228）4x（x2+4）0，（x2+4）（x24x28）0，x24x280，x124（舍），x22+4，即AD2+4，综上，此时AD的长为10或2+4【例题4】（2020沈阳一模）如图，抛物线yax2+bx+2交x轴于点A（3，0）和点B（1，0），交y轴于点C已知点D的坐标为（1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD（1）求这个抛物线的表达式（2）当四边形ADCP面积等于4时，求点P的坐标（3）点M在平面内，

13、当CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点M的坐标；在的条件下，点N在抛物线对称轴上，当MNC45°时，直接写出满足条件的所有点N的坐标【解析】（1）抛物线yax2+bx+2交x轴于点A（3，0）和点B（1，0），抛物线的表达式为：ya（x+3）（x1）a（x2+2x3）ax2+2ax3a，即3a2，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2x+2；（2）连接OP，设点P（x，x2x+2），抛物线yx2x+2交y轴于点C，点C（0，2），SS四边形ADCPSAPO+SCPOSODC×AO×yP+×OC×|xP|×CO

14、×OD4，×3×（x2x+2）+×2×（x）×1×24，x11，x22，点P（1，）或（2，2）；（3）如图2，若点M在CD左侧，连接AM，MDC90°，MDA+CDO90°，且CDO+DCO90°，MDACDO，且ADCO2，MDCD，MADDOC（SAS）AMDO，MADDOC90°，点M坐标（3，1），若点M在CD右侧，同理可求点M'（1，1）；如图3，抛物线的表达式为：yx2x+2（x+1）2+；对称轴为：直线x1，点D在对称轴上，MDCDM'D，MDCM

15、9;DC90°，点D是MM'的中点，MCDM'CD45°，MCM'90°，点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，M'NCM'MC45°，符合题意，点C（0，2），点D（1，0）DC，DNDN'，且点N在抛物线对称轴上，点N（1，），点N'（1，）延长M'C交对称轴与N''，点M'（1，1），点C（0，2），直线M'C解析式为：y3x+2，当x1时，y5，点N''的坐标（1，5），点N&

16、#39;'的坐标（1，5），点M'（1，1），点C（0，2），N''CM'C，且MCM'90°，MM'MN''，MM'CMN''C45°点N''（1，5）符合题意，综上所述：点N的坐标为：（1，）或（1，）或（1，5）【例题5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x1，与x轴交于点H（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线ykx+1（k0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在

17、y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）对称轴x1，则点B（2，0），则抛物线的表达式为：ya（x+2）（x4）a（x22x8），即8a2，解得：a故抛物线的表达式为：y；（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，CPQ的面积×CE×（nm），即nm2，联立抛物线与直线PQ的表达式得：kx+1，整理得

18、：，m+n24k，mn4，nm2，解得：k0（舍去）或1；将k1代入式并解得：x，故点P、Q的坐标分别为：（，、（，）；（3）设点K（1，m），A（4，0），C（0，2），AC的表达式为yx+2，联立PQ和AC的表达式得x+1x+2，解得：x，故点G（，），过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M，交过点R与y轴的平行线于点N，则KMGGNR（AAS），GM1NR，MK，故点R的纵坐标为：，则点R（m1，）将该坐标代入抛物线表达式解得：x，故m，故点K（1，）【例题6】如图，直线yx+3交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线yax2+bx+c经过A、C，与x轴交于另一点B（1，0），顶点为D（1）求

19、抛物线的解析式；（2）过A点作射线AE交直线AC下方的抛物线上于点E，使DAE45°，求点E的坐标；（3）若（2）中AE交y轴于点F，N是线段AC上一点，在抛物线上是否存在点M，使AMN与ACF相似？若存在，请直接写出点M及相应的N点的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）直线yx+3交x轴于点A，交y轴于点C，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）将A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入yax2+bx+c，得：，解得：，抛物线的解析式为yx22x+3（2）yx22x+3（x+1）2+4，点D的坐标为（1，4）A（3，0），C（0，3），OACOCA45°，

20、AD2，CD，AC3AD2CD2+AC2，ACD90°，tanDAC在y轴上取点F（0，1），连接AF交抛物线与点E，如图1所示OF1，OA3，tanOAFtanDAC，OAFDACCAF+OAF45°，DAFDAC+CAF45°设直线AE的解析式为ykx+d（k0），将A（3，0）、F（0，1）代入ykx+d，得：，解得：，直线AE的解析式为yx+1联立直线AE、抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，点E的坐标为（，）（3）A（3，0），C（0，3），F（0，1），CF2，AC3，AF分MANACF、MANCAF及MANAFC三种情况考虑当MANACF时，点M与

21、点B重合，如图2所示，点B（1，0），点M的坐标为（1，0），AM4或，即或，AN6或AN点N在直线yx+3上，点A（3，0），点N的坐标为（3，6）或（，），又点N为线段AC上的点，点N的坐标为（，）；当MANCAF时，点M与点E重合，如图3所示，点E（，），点M的坐标为（，），AM或，即或，AN或AN点N在直线yx+3上，点A（3，0），点N的坐标为（，）或（，），又点N为线段AC上的点，点N的坐标为（，）；过点C作CMx轴，交抛物线于点M，连接AM，如图4所示ACF45°，ACM45°ACF当y3时，x22x+33，解得：x12，x20，点M的坐标为（2，3），CMC

22、F2在ACF和ACM中，ACFACM（SAS），点M的坐标为（2，3），点N的坐标为（0，3）；当点M的坐标为（2，3）时，MACFAC，在AC上还存在一点N，使得AMNACF点A的坐标为（3，0），AM，即，AN，点N的坐标为（，）当MANAFC时，如图5所示，即，AP3，点P的坐标为（0，6），直线AP的解析式为y2x6联立直线AP与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，点M的坐标为（3，12），AM6或，即或，AN6，AN15点N在直线yx+3上，点A（3，0），点N的坐标为（3，6）或（9，15），又点N在线段AC上，该情况不存在综上所述：在抛物线上是否存在点M，使AMN与ACF相似，

23、当点M的坐标为（1，0）时，点N的坐标为（，）；当点M的坐标为（，）时，点N的坐标为（，）；当点M的坐标为（2，3）时，点N的坐标为（0，3）或（，）【例题7】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线C1：yax2bx（a0）经过点A和x轴上的点B，AOOB2，AOB120°（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM，求SAOM；（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果MBF与AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式【解析】（1）过A作AHx轴，垂足为H，OB2，B（2，0），AOB120°，AOH60

24、°，HAO30°OA2，在RtAHO中，OH2+AH2OA2，抛物线C1：yax2+bx经过点A、B得：，解得：，这条抛物线的表达式为（2）过M作MGx轴，垂足为G，顶点M是，得，则直线AM为：直线AM与x轴的交点N为：，SAOMONMG+ONAH××+×；（3）B（2，0）、，在RtBGM中，MBG30°MBF150°由抛物线的轴对称性得：MOMB，MBOMOB150°AOB120°，AOM150°AOMMBF当MBF与AOM相似时，有：或，即或，BF2或F（4，0）或；设向上平移后的抛物线C

25、2为：，当F（4，0）时，抛物线C2为：当时，抛物线C2为：；综上，抛物线C2的表达式为：yx2+x+或yx2+x+1如图，AB90°，AB7，BC3，AD2，在边AB上取点P，使得PAD与PBC相似，则满足条件的AP长为2.8或1或6【解析】AB90°若APDBPC则，解得AP2.8若APDBCP则，解得AP1或6则满足条件的AP长为2.8或1或6故答案为：2.8或1或62如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+b交x轴、y轴于B、A两点，且B点坐标为（8，0），将直线AB沿y轴翻折交x轴于点C（1）直接写出A、C两点的坐标；（2）设点P为BC上一点，作APDC，交AB于

26、点D，在点P移动的过程中，当APD为直角三角形时，求点P的坐标【解析】（1）将点B的坐标代入一次函数表达式得：0×8+b，解得：b6，故点A（0，6），则点C（8，0）；（2）设：APDCB，由（1）知：A（0，6），点C（8，0）；点B（8，0），则AB10，OBOC8，OA6，则sin，cos，当PAD90°时，PB，则OPPBOB，故点P（，0）；当PDA90°时，APDABC，而PDA90°，故点P与点O重合，故点P（0，0）；综上，点P（0，0）或（，0）3已知，A（4，0），B（8，0），C（0，4）动直线EF（EFx轴）从点C出发，以每秒1

27、个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动（1）请分别用t表示BF，BP；（2）是否存在t的值，使得BPF与ABC相似？若存在，求出t的值【解析】（1）在RtBOC中，OC4，OB8，BC4，EFOB，BF（4t），BP2t（0t4）（2）当FPAC时，BFPBCA，解得t当时，BFPBAC，解得t，综上所述，满足条件的t的值为s或s4（2020历下区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c交x轴于A（4，0）、B（2，0），在y轴上有一点E（0，2），连接AE（1）求二次函数的

28、表达式；（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点若tanAED，求此时点D坐标；（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长【解析】（1）将A（4，0），B（2，0）代入yax2+bx+6（a0），可得a，b，yx2x+6；（2）过点A作ANDE，DE与x轴交于点F，tanAED，AN，NE3，RtAFNRtEFO，EF2OF2+4，NF3EF，OF2，F（2，0），EF直线解析式为yx2，x2x2x+6时，x，D（，）；（3）Q点随P点运动而运动，P点

29、在线段AC上运动，Q点的运动轨迹是线段，当P点在A点时，Q（4，4），当P点在C点时，Q（6，6），Q点的轨迹长为2，故答案为25. 如图，二次函数ya（x22mx3m2）（其中a，m是常数，且a0，m0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，3），点D在二次函数的图象上，CDAB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分DAE（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点

30、G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由【解析】（1）解：将C（0，3）代入二次函数ya（x22mx3m2），则3a（003m2），解得 a（2）方法一：证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N由a（x22mx3m2）0，解得 x1m，x23m，则 A（m，0），B（3m，0）CDAB，D点的纵坐标为3，又D点在抛物线上，将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为（2m，3）AB平分DAE，DAMEAN，DMAENA90°，ADMAEN设E坐标为（x，），x4m，E（4m，5），AMAO+OMm+2m3m，ANAO+ONm+4m5m，即为定值方法二

31、：过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N，a（x22mx3m2）0，x1m，x23m，则A（m，0），B（3m，0），CDAB，D点的纵坐标为3，D（2m，3），AB平分DAE，KAD+KAE0，A（m，0），D（2m，3），KAD，KAE，x23mx4m20，x1m（舍），x24m，E（4m，5），DAMEAN90°ADMAEN，DM3，EN5，（3）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，4），过点F作FHx轴于点H连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点GtanCGO，tanFGH，OC3，HF4，OHm，OG3mGF4， AD3，AD：GF：AE

32、3：4：5，以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为3m6如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）C（8，0）D（8，8）抛物线yax2+bx过A，C两点，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式（2）过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G，当t为何值时，线段EG最长？（3）连接EQ，在点P，Q运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以C，E，Q为顶点的CEQ为等腰三角形？如果存

33、在，请直接写出相应的t值；如果不存在，请说明理由【解析】（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，ADx轴，ABy轴，所以点A的坐标为（4，8）将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入yax2+bx，得，故抛物线的解析式为：yx2+4x；（2）PEBC，APEABC，即，PEAPt，PB8t点E的坐标为（4+t，8t）点G的纵坐标为：（4+t）2+4（4+t）t2+8EGt2+8（8t）t2+t0，当t4时，线段EG最长为2；Q（8，t），E（4+t，8t），C（8，0），EQ2（t4）2+（82t）2，QC2t2，EC2（4+t8）2+（8t）2当CEQ为等腰三角形时，分三种情况：（

34、）当EQQC时，（t4）2+（82t）2t2，整理得13t2144t+3200，解得t或t8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）；（）当ECCQ时，（4+t8）2+（8t）2t2，整理得t280t+3200，解得t4016，t40+168（此时Q不在矩形的边上，舍去）；（）当EQEC时，（t4）2+（82t）2（4+t8）2+（8t）2，解得t0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t综上所述，存在时刻t1，t2，t34016，能够使得以C，E，Q为顶点的CEQ为等腰三角形7如图，已知RtABC中，C90°，AC8，BC6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒

35、2个单位的速度从ABC方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（2.24，结果保留一位小数）【解析】（1）如图1，过Q作QEAC于E，连接PQ，C90°，QEBC，ABCAQE，AQ2t，APt，C90°，AC8，BC6，AB10，PE，QE，PQ2QE2+PE2，PQt，当Q与B重合时，PQ的值最大，当t5时，PQ的最大

36、值3；（2）如图1，ABC被直线PQ扫过的面积SAQP，当Q在AB边上时，SAPQEt，（0t5）当Q在BC边上时，ABC被直线PQ扫过的面积S四边形ABQP，S四边形ABQPSABCSPQC×8×6（8t）（162t）t2+16t40，（5t8）；经过t秒的运动，ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式是：S（3）存在当点Q在AB边上时，如图2，连接CQ，PQ，由（1）知QE，CEACAE8，PQt，CQ2，当CQCP时，即：28t，解得；t，当PQCQ时，即；t2，解得：t，t8（不合题意舍去），当PQPC时，即t8t，解得：t3.4；当点Q在BC边上时，ACB

37、90°，PQC是等腰直角三角形，CQCP，8t162t，t8，P，Q，C重合，不合题意，综上所述：当t，t，t3.4时，PQC为等腰三角形8数学活动求重叠部分的面积问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片ABC和DEF叠放在一起，其中ACBE90°，BCDE6，ACFE8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点C求重叠部分（DCG）的面积（1）独立思考：请解答老师提出的问题（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将DEF绕点D旋转，使DEAB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求出重叠部分（DGH）的面积，请写出

38、解答过程（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题“爱心”小组提出的问题是：如图3，将DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DMMN，求重叠部分（DMN）的面积任务：请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出DMN的面积是【解析】（1）【独立思考】ACB90°，D是AB的中点，DCDADB，BDCB又ABCFDE，FDEBFDEDCB，DGBCAGDACB90°，DGAC又DCDA，G是AC的中点，CGAC×84，DGBC×63，SDGCCGDG×4×36（2）【合

39、作交流】如下图所示：ABCFDE，B1C90°，EDAB，A+B90°，A+290°，B2，12，GHGDA+290°，1+390°，A3，AGGD，AGGH，即点G为AH的中点在RtABC中，AB10，D是AB中点，ADAB5在ADH与ACB中，AA，ADHACB90°，ADHACB，即，解得DH，SDGHSADH××DHAD××5（3）【提出问题】解决“爱心”小组提出的问题如答图4，过点D作DKAC于点K，则DKBC，又点D为AB中点，DKBC3DMMN，MNDMDN，由（2）可知MDNB，

40、MNDB，又DKNC90°，DKNACB，即，得KN设DMMNx，则MKx在RtDMK中，由勾股定理得：MK2+DK2MD2，即：（x）2+32x2，解得x，SDMNMNDK××39（2017乌鲁木齐）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与直线yx+1相交于A（1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PDx轴于点D，交直线AB于点E当PE2ED时，求P点坐标；是否存在点P使BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）点B（

41、4，m）在直线yx+1上，m4+15，B（4，5），把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为yx2+4x+5；（2）设P（x，x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），则PE|x2+4x+5（x+1）|x2+3x+4|，DE|x+1|，PE2ED，|x2+3x+4|2|x+1|，当x2+3x+42（x+1）时，解得x1或x2，但当x1时，P与A重合不合题意，舍去，P（2，9）；当x2+3x+42（x+1）时，解得x1或x6，但当x1时，P与A重合不合题意，舍去，P（6，7）；综上可知P点坐标为（2，9）或（6，7）；设P（x，x2+4x+5），则E（x，x+1）

42、，且B（4，5），C（5，0），BE|x4|，CE，BC，当BEC为等腰三角形时，则有BECE、BEBC或CEBC三种情况，当BECE时，则|x4|，解得x，此时P点坐标为（，）；当BEBC时，则|x4|，解得x4+或x4，此时P点坐标为（4+，48）或（4，48）；当CEBC时，则，解得x0或x4，当x4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）10（2017钦州模拟）如图，已知抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式（2）设点D在抛物线上，点E在抛物

43、线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标（3）联接BC交x轴于点Fy轴上是否存在点P，使得POC与BOF相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）设抛物线的解析式为yax2+bx+c（a0），将点A（2，0），B（3，3），O（0，0），代入可得：，解得：，故抛物线函数解析式为：yx2+2x；（2）AO为平行四边形的一边，DEAO，DEAO，A（2，0），DEAO2，四边形AODE是平行四边形，D在对称轴x1的右侧，D点横坐标为：1+21，代入抛物线解析式得y3，D的坐标为（1，3）；（3）在y轴上存在点P，使得POC与BOF相似，理由如下：由yx2+2x

44、，顶点C的坐标为（1，1），tanBOF1，BOF45°，当点P在y轴的负半轴时，tanCOP1，COP45°，BOFCOP，设BC的解析式为ykx+b（k0），图象经过B（3，3），C（1，1），y2x3；令y0，则x1.5F（1.5，0），OB3，OF1.5，OC，当POCFOB时，则，即，OP，P（0，）；当POCBOF时，OP4，P（0，4），当POC与BOF相似时，点P的坐标为（0，）或（0，4）11（2019剑阁县模拟）如图，二次函数yax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQBC，垂足为点Q，连接PC求线段PQ的最大值；若以点P、C、Q为顶点的三角形与ABC相似，求点P的坐标【解析】（1）抛物线解析式为ya