湖南铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

1、一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1若复数的实部与虚部相等，则实数（ ） a（a）（b）（c）（d）2.已知 ，猜想的表达式为（ ）. a. b. c. d.3等比数列中，则“”是“”的 b（a）充分而不必要条件（b）必要而不充分条件（c）充分必要条件（d）既不充分也不必要条件4从甲、乙等名志愿者中选出名，分别从事，四项不同的工作，每人承担一项若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有 b（a）种（b）种（c）种（d）种5.已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若函数在区间（）上有零点，则的值为 a（a）或 （b）或 （c）或 （d）或6已知函数，其中若对于任意的，都

2、有，则的取值范围是 d（a）（b）（c）（d）7.已知函数有且仅有两个不同的零点，则 ba当时， b. 当时，c. 当时， d. 当时，8如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是 a（a）线段（b）圆弧（c）椭圆的一部分（d）抛物线的一部分第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9设等差数列的公差不为，其前项和是若，则_510.的展开式中的系数是 1601设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则_.12在直角坐标系中，点与点关于原点对称点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则_13. 数列的通项公式，前项和为，则 _。301814记实数中的最大

3、数为，最小数为.设的三边边长分别为，且，定义的倾斜度为（）若为等腰三角形，则_；1（）设，则的取值范围是_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题共14分）已知函数 （）当时，求曲线在点处的切线方程；（）讨论的单调性； （iii）若存在最大值，且，求的取值范围（18）（共14分）解：（）当时， 所以又，所以曲线在点处的切线方程是，即（）函数的定义域为， 当时，由知恒成立，此时在区间上单调递减当时，由知恒成立，此时在区间上单调递增 当时，由，得，由，得，此时在区间内单调递增，在区间内单调递减 （iii）由（）知函数的定义域为，当或时，在区间上

4、单调，此时函数无最大值 当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时函数有最大值 最大值因为，所以有，解之得所以的取值范围是 16（本小题满分13分）已知函数的一个零点是 （）求实数的值； （）设，求的单调递增区间 （）解：依题意，得， 1分 即 ， 3分解得 5分（）解：由（）得 6分 7分 8分 9分 10分由 ，得 ， 12分所以 的单调递增区间为， 13分117. （本小题满分13分）已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求数列bn的通项公式bn;(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1)记sn是数列an的前n项和，试比较sn与l

5、ogabn+1的大小，并证明你的结论.(1)解：设数列bn的公差为d,由题意得,bn=3n2(2)证明：由bn=3n2知sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+ )而logabn+1=loga,于是，比较sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)(1+)与的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测：(1+1)(1+)(1+) (*)当n=1时，已验证(*)式成立.假设n=k(k1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+)则当n=k+1时，,即当n=k+1时，(*)式成立由知，(*)式对任意正整数n都成立.于

6、是，当a1时，snlogabn+1,当 0a1时，snlogabn+118（本小题满分13分）已知函数，其中（）求的极值；（）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围18.（本小题满分13分）（）解：的定义域为， 1分且 2分 当时，故在上单调递减 从而没有极大值，也没有极小值 3分 当时，令，得 和的情况如下：故的单调减区间为；单调增区间为从而的极小值为；没有极大值 5分（）解：的定义域为，且 6分 当时，显然 ，从而在上单调递增 由（）得，此时在上单调递增，符合题意 8分 当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意9分 当时，令，得和的情况如下表：当时，此时在上单调递增，由于

7、在上单调递减，不合题意 11分当时，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意 综上，的取值范围是 13分19（本小题满分14分）如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 （）求该椭圆的离心率；（）设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点记的面积为，（为原点）的面积为，求的取值范围19（本小题满分14分）（）解：依题意，当直线经过椭圆的顶点时，其倾斜角为 1分设 ，则 2分将 代入 ，解得 3分所以椭圆的离心率为 4分（）解：由（），椭圆的方程可设为 5分设，依题意，直线不能与轴垂直，故设直线的方程为，将其代入，整理得 7分则 ， 8分因为 ，所以 ， 9分因为 ，所以 11分 13分所以的取值范围是 14分（20）（本小题共13分）设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中 称为数组的“元”，称为的下标. 如果数组中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”，则称为的子数组. 定义两个数组，的关系数为. （）若，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；（）若，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值.（20）（共13分）解：（）依据题意，当时，取得最大值为2 （）当